L1-MS2 - 2007/2008 - Examen du 14 mai 2008
Examen de Mathématiques pour les Sciences (MS2) Durée: 3 heures
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Exercice 1 : Calculer les primitives suivantes (à une constante près) : 1. F3(x) =
Z sin(2x)
pa2+b2sin2x dx.où (a, b)∈R2\ {(0,0)}. (On discutera séparement le cas b= 0).
2. F1(x) =
Z (1 +x4)x
1 +x6 dx. (On pourra poserx2=t).
3. F2(x) =
Z rx2−x+ 1 x2+x+ 1
³ 1− 1
x2
´ dx. (Poser x2+ 1 =xt, ensuite
rt−1
t+ 1 =y, ensuite IPP).
Exercice 2 : Résoudre l'équation diérentielle :
(E) y00+ 4y= (x+ 1)e3x+ sin(2x).
1. Trouver l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre (E0) y00+ 4y= 0.
2. Trouver une solution particulière de(E). (Indication : principe de superposition des solutions).
3. Exprimer la solution générale de l'équation(E).
Exercice 3 : Soit la fonction f :R2→R dénie parf(x, y) =xcosy. 1. Quel est son domaine de dénition ? Est-elle continue sur ce domaine ? 2. Calculer ses dérivées partielles (qu'on notera par fx0 ≡ ∂f∂x etfy0 ≡ ∂f∂y).
3. Trouver l'ensemble des points critiques de f.
4. Parmi les points critiques def y a-t-il un point d'extremum local def? (Justier la réponse).
Exercice 4 : Soit f : R → R une fonction de classe C1 qui est paire et périodique de période T. On se propose de montrer que
Z 2T
0
xf0(x)
1 +f2(x)dx= 0.
1. Etudier la parité des fonctionsf0 et f0 1 +f2. 2. Montrer que f0 et f0
1 +f2 sont aussi périodiques de période T. 3. En déduire que
Z T
0
f0(x)
1 +f2(x)dx= 0. 4. Posonsg(x) = xf0(x)
1 +f2(x),∀x∈R.
(a) Calculerg(x+ 2T)−g(x) et en déduire sa parité et sa périodicité.
(b) Montrer que Z T
0
g(x+ 2T)dx= Z T
0
g(x)dx. (c) Conclure, en montrant que R2T
0 g(x)dx= 0.
(Indication : utiliser (b) et un changement de variable convenable)
Barème indicatif : 25 pts.
Nota bene : Réponses concises + trêve au bla-bla = temps épargné + correcteur bienveillant
