1.2 Méthode des rectangles

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TSI Lombards 1 APPROXIMATIONS D'INTÉGRALES

Chapitre 8 : Analyse numérique Table des matières

1 Approximations d'intégrales

1.1 Introduction

On considère une fonctionf dénie et continue sur un intervalle[a, b]. Comment calculerZ b a

f(x)dx? 1. Si on connaît une primitive def alors, c'est très facile !

2. Sinon, comment faire ? On peut approximer la valeur de l'intégrale ...

On a besoin de construire une subdivision de l'intervalle[a, b]. Fixonsnun entier naturel non nul.

1. Donner la subdivision régulière de[a, b]à n+ 1 points :

x0=a, x1= x2= , . . . , xk = , . . . , xn=b.

2. Donner la distance entrexk+1et xk :

3. Pour chaque k = 0, . . . , n−1, prenons α_k ∈ [x_k, x_k+1]. Donner l'aire du rectangle de base [x_k, x_k+1] et de hauteur f(α_k).

Donner alors une approximation :Z b a

f(x)dx≈

1.2 Méthode des rectangles

1.2.1 Méthode des rectangles à gauche

On dit que l'on eectue l'approximation par la méthode des rectangles à gauche si pour chaquek= 0, . . . , n−1, on a : αk=xk.

On noteS_n⁻= la somme qui approximeZ b

a

f(x)dxassociée à(αk)k=0,...,n−1.

Ecrire une fonction rectangle_g qui prend en arguments :

une fonctionf,

deux nombresaet b(a < b),

un entiernnon nul

et qui renvoie l'approximation deZ b a

f(x)dx par la méthode des rectangles à gauche avec une subdivision àn+ 1 points.

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1.2.2 Méthode des rectangles à droite

On dit que l'on eectue l'approximation par la méthode des rectangles à droite si pour chaquek= 0, . . . , n−1, on a : αk =xk+1.

On noteS_n⁺= la somme qui approximeZ b

a

f(x)dxassociée à(αk)k=0,...,n−1.

Ecrire une fonction rectangle_d qui prend en arguments :

une fonctionf,

deux nombresaet b(a < b),

un entiernnon nul

et qui renvoie l'approximation deZ b a

f(x)dx par la méthode des rectangles à gauche avec une subdivision àn+ 1 points.

Remarque 1.1

Il existe de nombreuses autres façons de choisirf(αk): 1. αk= ^x^k^+x₂^k+1 : méthode des milieux

2. ^f(x^k^)+f(x₂ ^k+1⁾ : méthode des trapèzes 3. ^x^k+1₆^−x^k

f(x_k) + 4f_x

k+x_k+1 2

+f(x_k+1)

: méthode de Simpson

1.2.3 Précision ?

Les sommesS_n⁻ etS_n⁺ sont appelées les sommes de Riemann associées àf sur[a, b].

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Supposons quef est croissante sur [a, b]. On peut montrer que les suites(S_n⁻)et (S_n⁺)sont adjacentes et convergent versRb

a f(x)dx. De plus, pour toutn∈N^∗ on a : S_n⁻≤

Z b

a

f(x)dx≤S_n⁺.

Ecrire un algorithme qui renvoie à10⁻⁴près la valeur approchée de Z b a

f(x)dx.

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TSI Lombards 2 APPROXIMATION DE SOLUTION(S) DEF(X) = 0

2 Approximation de solution(s) de f (x) = 0

2.1 Introduction

On considère une fonctionf dénie et continue sur un intervalle[a, b]. En supposant qu'une solution def(x) = 0existe, comment en calculer une valeur approchée ?

1. Sif est une fonction usuelle (exp,ln,cos,sin...) ! 2. Sif est un polynôme de degré1,2,3 ou4 . . . 3. Sinon ?

On note une solution (théorique)αdef(x) = 0. On a doncf(α) = 0et on cherche à approcher la valeur deα. Supposons quef est strictement monotone sur[a, b]un voisinage deα.

2.2 Méthode de Newton

2.2.1 Présentation

La méthode de Newton est un processus récursif de recherche de la solution α. Le principe est le suivant : partant d'un pointx₀dans l'intervalle[a, b], on construitx₁comme étant le point d'intersection de la tangente à la courbe représentative def en(x0, f(x0))et de l'axe des abscisses. Connaissantx1, on peut construirex2 de la même façon ...

Construire la suite(xn)sur le graphique ci-dessus avecx0= 4.

Sous certaines hypothèses, la suite(x_n)ainsi construite converge vers la solutionα. 2.2.2 Un peu de théorie

1. Donner l'équation de la tangente àCf en(x0, f(x0)): Tx₀(x) =

2. Expliciter alors le point d'intersection entreT_x₀(x)et(Ox): x₁=

3. En déduire la relation de récurrence pour construirex_n+1 à partir dex_n : xn+1=

4. Préciser les hypothèses que l'on doit supposer surf pour que la méthode soit envisageable :

Théorème 2.1 (Résultat de convergence)

Si f est de classeC² sur[a, b]un intervalle stable parf et sif⁰ 6= 0sur[a, b]alors pour toutx₀ susamment proche de α, la suite(x_n)converge versα. De plus la convergence est dite quadratique.

Idée démonstration.

Théorème 2.2 (Admis)

Sif est de classeC² et sif⁰⁰≥0surI alors la méthode converge pour toutx₀∈I.

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TSI Lombards 2 APPROXIMATION DE SOLUTION(S) DEF(X) = 0

2.2.3 Algorithme

Ecrire deux fonctionsnewton_eetnewton_itqui implémentent l'algorithme de Newton : 1. Entrée : une fonction f, un pointx₀, un critère d'arrêt e >0(|f(x_n)| ≤e).

Sortie : la valeur approchée deαsolution de f(x) = 0.

Commentaire : la contrainte sur l'erreur porte sur l'ordonnée f(xn) et donc on n'a pas d'information sur l'erreur commise en approximantαparx_n à l'étapen.

2. Entrée : une fonction f, un pointx₀, un nombre d'itérations n.

Sortie : une liste comprenant le numéro de l'itérationiet la valeur de xi jusqu'ài=n.

2.3 Méthode de Lagrange (ou méthode de la sécante)

2.3.1 Présentation

La méthode de Newton nécessite le fait de calculer la fonction dérivée f⁰ de f, ce qui n'est pas toujours facile dans la pratique. La méthode de la sécante est similaire à celle de Newton en remplaçantf⁰(x_n)par

f(xn)−f(x_n−1) x_n−x_n−1 .

Sous les mêmes hypothèses que le théorème pour la convergence de la méthode de Newton, la suite(x_n)ainsi construite, avec deux conditions initialesx0 etx1, converge vers la solution α.

2.3.2 Algorithme

Ecrire une fonction qui implémente l'algorithme de Lagrange à la manière denewton_it.