Résolution de l’équation f(x) = 0

(1)

Lundi 20 Octobre

Résolution de l’équation f(x) = 0

On cherche à résoudre numériquement des équations de la forme f(x) = 0.

I Etude de la fonction x → f(x)

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient α et β deux réels tels que α < β et f une fonction continue et monotone de [α, β ] → R alors f prend une fois et une seule toutes les valeurs comprises entre f(α) et f(β) pour x ∈[α, β ] Si f(α).f(β) < 0, f prend une fois et une seule la valeur 0 pour une valeur x = γ ∈[α, β ]

L’étude des variations de f permet donc d’isoler les racines de l’équation dans des intervalles Exemple 1

f :x → -x

³

+ 3x +1 . On cherche les solutions de f(x) = 0:

Etude des variations ;

f ’(x) = -3x

²

+3 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ -1 ,1 ]

x - ∞ -1 1 +∞

f’(x) - + - f(x)

-1

f(-2) = 3 et f(-1) = -1 et f continue et monotone sur [ -2, -1] donc f prend la valeur 0 pour un x ∈ [ -2 , -1]

f(-1) = -1 et f(1) = 2 et f continue et monotone sur [ -1, 1] donc f prend la valeur 0 pour un x ∈ [ -1 , 1]

f(2) = -1 et f(1) = 2 et f continue et monotone sur [1, 2] donc f prend la valeur 0 pour un x ∈ [ 1 , 2]

L’équation f(x) = 0 a trois solutions α∈[ -2,-1], β∈[ -1, 1], γ∈[ 1, 2]

Exemple 2

g :x → 6ln(x) – 2x domaine de définition R

^*+

g’ (x) = 6

x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3

x 0 3 + ∞ g’(x) + -

g(x)

g(1) = -2 et g(3) = 0.6 et g continue et monotone sur [ 1, 3] donc g prend la valeur 0 pour un x

0

∈ [ 1 , 3]

g(5) = - 0 ;34 et g(3) = 0.6 et f continue et monotone sur [ 3, 5] donc g prend la valeur 0 pour un x

1

∈ [ 3 , 5]

L’équation g(x) = 0 a deux solutions α∈[ 1, 3], β∈[ 3, 5].

+ ∞

2

- ∞

- ∞ - ∞

0.6

(2)

Dichotomie

Considérons un intervalle [a, b] tel que une racine α de f(x)= 0 appartienne à [a, b]

On prend le milieu de l’intervalle : c = 1

2 (a + b) ; si α < c, alors f(a).f(c) < 0 sinon f(b).f(c) < 0 Pour déterminer α on utilise l’algorithme dichotomique :

On construit une suite dont les premiers termes sont : a

0

= a,

b

0

= b.

1

^er

test : on pose c = 1

2 ( a + b ) , si . f(a).f(c) < 0, alors α ∈[ a, c] sinon α ∈[ c, b]

Dans tous les cas la zone d’incertitude est réduite de moitié.

2

^ème

test : si . f(a).f(c) < 0, on pose a

1

=

a , b

1

= c , c

1

= 1 2 (a

1

+ b

1

)

si f(c)f(b) < 0, on pose a

1

=

c, b

1

= b, c

1

= 1 2 (a

1

+ b

1

) Au kième test : b

k -

a

k

=

1

2

^k

(b

-

a), la taille de l’intervalle de recherche suit une progression géométrique de raison 1

2 et donc la largeur de l’intervalle tend vers zéro quand k tend vers l’infini Exemple : reprenons f(x) = -x

³

+ 3x +1 = 0 et la racine α∈[ -2,-1]

c = 1

2 ( -3) = - 1.5 , f(-2) = 3 , f(-1.5) = - 1

8 donc α∈[ -2, - 1.5]

c

1

=

1 2 ( - 3.5) = -1 ;75, f(-1.75) = 1,4375 donc α∈[ -.1,75, -1,5]

c

2

=

1 2 ( -3,25) = -1, 625, f(-1,625) = 0.416 donc α∈[ -1.625, -1.5]

c

3

= 1

2 ( -3,125) = - 1.375, f(- 1.5625) = 0.127 donc α∈[ -1.5625, -1.5]

et ainsi de suite …

l’algorithme dichotomique converge très lentement.

Exercice 1 : isoler les deux autres racines de f(x) = 0 dans deux intervalles de largeur 0.5

Réponses : β ∈[ -0.5, 0 ] ; γ ∈[ 1.5, 2 ]

Exercice 2 : isoler les deux racines de g(x) = 0 dans deux intervalles de largeur 0.5 Réponses : x

0

∈[ 1.5 , 2] , x

1

∈[ 4.5 ,5 ] Méthode du point fixe

1) Introduction

On cherche à construire une suite récurrente convergente vers la racine de l’équation f(x) = 0, cette racine appartenant à l’intervalle [a , b]

u

0

= a u

n+1

=

g(u

n )

Si la suite u

n

converge vers l, g(l) = l

(3)

2) Condition nécessaire de convergence : théorème des accroissements finis :

Soit f une fonction continue et dérivable sur [a , b], il existe c∈ [a , b] , tel que : f(b) – f(a) = (b –a) f ’(c)

Inégalité : si M = sup(| g’(x)|) pour x ∈ [a , b], | f(b) – f(a) | < | b –a | ×M On applique ce théorème à l’intervalle [u

n-1 ,

u

n

] : |u

n+1

- u

_n |

= |g(u

n )

– g(u

n-1

) |< M| u

n

-

u

n-1

|, avec M = sup(| g’(x)|)

| u

n

-

u

n-1

| < M| u

n-1

- u

n-2

| :

:

| u

2 -

u

1

| < M | u

1

- u

0

|

En multipliant membre à membre, on a |u

n+1

- u

_n

|

< M

ⁿ⁺¹

| u

1

- u

0

|

| u

1

- u

0

| < | b –a | donc |u

n+1

- u

_n

|

→ 0 si M < 1 3) Théorème du point fixe

Soit f une fonction qui s’annule pour x = l ∈ [a , b]

f(x) = 0 ⇔ x = g(x) La suite u

n+1

=

g(u

n )

converge vers l = g(l) si et seulement si a) sup(| g’(x)|) ≤ k < 1 sur x ∈ [a , b]

b) g[a,b] ⊂ [a , b])

4) Applications : résoudre l’ équation f(x) = 0

On reprend les exemples précédents -x

³

+3x +1 = 0 ⇔ x = x

³

- 1

3 , on considère la suite récurrente u

n+1

=

u

n 3

- 1

3 = g(u

n

) g’(x) = x

²

< 1 si

-1 <

x

< 1

La suite ne peut converger que vers la racine β ∈[ -1 , 0]

g’(x) >0 donc g est croissante et g [ -1 , 0] = [ -2 3 , -1

3 ] ⊂ [ -1 , 0]

La suite converge vers β u

0

= -1

,

u

1

= ^-2 ₃ , u

2

=

-35

81 = - 0,432 .. ; u

3

=

-0.36022…. u

4

= -0.34891, u

5

= -0.347492 b) Pour les autres racines, il faut trouver d’autres suites

Par exemple, x =

³

3x+1 ou u

n+1

=

³

3u

n

+1 ou g(x) =

³

3x+1 g’(x) = 1

(3x+1)

2 3

; g’(x) > 0 et g’(x) < 1 si (3x+1)

2

3

> 1 ⇔ 3x+1 > 1 ⇔ x > 0 g[ 1.5, 2] = [ 1.765…, 1.91 ….] ⊂ [ 1.5, 2]

Cette suite converge vers γ .

u

0

=

1.5 , u

1

=

³

5.5 = 1.765 .., u

2

=

³

3×1.83 +1 = 1.846…. ; u

3

=1.870. ;

c) Pour α , on peut vérifier que f(x) = 0 est équivalent à x = x +0.1 f(x)

(4)

donc g(x) = -0.1x

³

+1.3x +1

g’(x) = -0.3 x

²

+ 1.3 ; prenons x ∈] 2,-1[ , x

²

∈ ]1, 4[ , -0.3 x

²

∈ ] -1.2 , -0.3[donc : g(x) ∈]0.1 , 1[

De plus g(]-2 , -1[ ) = ] g(-2) , g(-1) [ puisque g’(x) > 0 ; donc g(]-2 , -1[ ) = ]-0.8, -0.2[

La suite converge vers α

Partie TP sur Matlab

1) Tracer à l’aide de Matlab le graphique de f(x) = -x

³

+ 3x +1 pour x ∈[-4,3]

Pour cela taper en fenêtre de commande : x = -4:0.1:3;

plot(x,-x.^3+-3*x+1) ;grid on

D’après ce graphique donner un encadrement de chacune des trios racines de f(x) = 0 2) Sur une autre figure,tracer sur un même graphique les courbes représentatives de : y

1

= (x

³

– 1 )/3 et y

2

= x

Pour cela taper en fenêtre de commande : Figure

plot(x,(x.^3-1)/3,’r’,x,x,’b’); grid on

3) Programmer le calcul des racines par dichotomie

% Programme % calcul de la racine α α α α de f(x)) = 0 par dichotomie a=-2; b=-1;

erreur = 10^(-4) ; eps=abs(b-a);

while eps > erreur c=0.5*(a+b);

if f(a)*f(c) <0;

b = c;

else a = c;

end

eps =abs(b-a) ; end

a

Ce programme nécessite un autre sous programme ou fonction ( function pour Matlab) qui calcule les valeurs numériques de la fonction f pour des valeurs numériques de x passées en paramètres.

Exemple :

function y = f (x)

y = - x^3 +3*x +1 ;

(5)

Méthode du point fixe

* On considère la suite récurrente du type { x

0

; x

n+1

= f1(x

n

) = (x

n

3

–1)/3}

On veut savoir sur quel intervalle f1 est contractante.

La dérivée f1’(x) est : f1’(x) = x

²

, la suite ne peut converger que vers la racine β comprise entre -1 et 0. g1([-1,0] = [-1, -0.66], l’inclusion est respectée. La suite converge vers β.