TD1 : Vitesses de convergence.

TD1 : Vitesses de convergence.

MNO, L3, Dauphine, 2020-2021 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

Vitesse de convergence de séries et de suites classiques

Exercice 1.

Pour chacune des suites suivantes, déterminer la limite, et estimer la vitesse de convergence :

(a) x n =

n

X

k=1

1

k(k + 1) , (b) x n =

n

X

k=0

e ⁻ⁿ , (c) x n = sin 1

n

+ cos 1

n

− ln n + 1

n

, (d) x n =





1 2

1 3

1 4





Exercice 2.

Soit f : R → R ⁺ une fonction positive intégrable à l’infini et décroissante.

a/ Montrer que, pour tout n ∈ N ^∗ ,

Z ∞ n

f (x)dx ≤

∞

X

k=n

f (k) ≤ Z ∞

n−1

f (x)dx.

b/ En déduire que la suite x n := P n

k=1 f (k) converge.

c/ Estimez la vitesse de convergence des suites suivantes :

(c1) x n =

n

X

k=1

1

k ^s avec s > 1, (c2) x n =

n

X

k=1

ke ^−k

.

Exercice 3.

Dans cet exercice on s’intéresse à la suite u _n := sin

π(1 + √ 2) ⁿ

. a/ Montrer que, pour tout n ∈ N , on a (1 + √

2) ⁿ + (1 − √

2) ⁿ ∈ 2 N . b/ En déduire que u n = sin

−π(1 − √ 2) ⁿ

.

c/ Quelle est la limite de la suite (u n ), et quelle est la vitesse de convergence ?

Vitesse de convergence de suites définies par récurrence

Exercice 4.

Soit (x n ) la suite définie par x 0 = α avec 0 < α < 1, et x n+1 = 2x n − x ² _n . On pose Φ(x) = 2x − x ² . a/ Montrer que Φ(x) est strictement croissante sur (0, 1). En déduire que 0 < x n < 1 pour tout n.

b/ Montrer que Φ(x) > x sur (0, 1). En déduire que (x _n ) est une suite croissante.

c/ Monter que la suite (x _n ) est convergente. Quelle est sa limite ? d/ On pose ε _n := 1 − x _n . Montrer que ε _n+1 = ε ² _n .

e/ En déduire une formule pour (x _n ), puis calculer la vitesse de convergence.

Exercice 5.

Soit x 0 = 1 et (x n ) définie par x n+1 = ^x ₂

+ _x ¹

n

.

a/ Montrer qu’on a (x n+1 − x n ) ² = x ² _n+1 − 2, puis que x n ≥ √

2 pour tout n ∈ N ^∗ . b/ En déduire qu’on a

|x _n+1 − x _n | = |x _n − x _n−1 | ² 2|x n | . c/ Montrer que la suite (x n ) est convergente.

d/ Quelle est la limite ? Montrer que la vitesse est au moins quadratique.

Exercice 6.

Soit x 0 = 1 et (x n ) définie par x n+1 = x n − ^x ₂

+ 1.

a/ Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , on a 1 ≤ x n ≤ ³ ₂ .

b/ En déduire que |x n+1 − x n | ≤ ¹ ₂ |x n − x n−1 |, puis que la suite (x n ) est convergente.

c/ Quelle est la limite x ^∗ de la suite ? Montrer que |x n − x ^∗ | ≤ 2 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ .

Exercice 7. (Partiel 2019)

Soit (x n ) la suite définie par x 0 = 1/2, x 1 = 1/16, puis

x n+1 = 1

2 x ² _n x _n−1 . a/ Montrer que la suite (x n ) converge vers 0.

b/ Montrer qu’il existe C > 0 tel que la suite u n := log(Cx n ) vérifie

u n+1 = 2u n + u n−1 .

c/ Calculer ρ la solution positive de ρ ² = 2ρ + 1.

d/ Montrer que u _n < −ρ ⁿ pour tout n ∈ N (on donne log(1/2) ≈ −0.7 et √

2 ≈ 1.4).

e/ Quelle est la vitesse de convergence de la suite (x _n ) initiale ?

Exercice 8. (Algorithme d’Archimède) On pose t ₀ = ^{√ 1}

3 puis

t _n+1 =

p t ² _n + 1 − 1 t _n . 1/ Montrer par récurrence que t n = tan _6·2 ^π

.

2/ Montrer que u n := 12 · 2 ⁿ · t n est le périmètre du polygone circonscrit au cercle de rayon 1, ayant 6 · 2 ⁿ arêtes.

3/ Quelle est la limite de (u n ) ? Quelle est la vitesse de convergence ?

Autour d’un point fixe

Exercice 9.

Soit Φ : R → R de classe C ² , et soit x ^∗ tel que Φ(x ^∗ ) = x ^∗ . On suppose qu’il existe 0 < α < 1 tel que

|Φ ⁰ (x ^∗ )| < α.

a/ Montrer qu’il existe ε > 0 tel que pour tout x ∈ (x ^∗ − ε, x ^∗ + ε), on a |Φ ⁰ (x)| ≤ α.

b/ Soit x 0 ∈ (x ^∗ − ε, x ^∗ + ε), et soit (x n ) la suite définie par récurrence par x n+1 = Φ(x n ). Montrer que la suite (x n ) converge linéairement à taux au moins α vers x ^∗ .

c/ On suppose que Φ ⁰ (x ^∗ ) = 0. Montrer que si x ₀ est suffisamment proche de x ^∗ , alors la suite (x _n ) converge vers x ^∗ à l’ordre au moins 2.

Exercice 10.

Soit f : R → R de classe C ^∞ avec f(x ^∗ ) = 0 et f ⁰ (x ^∗ ) > 0.

a/ Montrer qu’il existe ε > 0 tel que pour tout x ∈ (x ^∗ − ε, x ^∗ + ε), on a f ⁰ (x) > 0.

b/ Soit Φ : x 7→ x − [f ⁰ (x)] ⁻¹ f (x). Montrer que pour tout x ∈ (x ^∗ − ε, x ^∗ + ε), Φ(x) = x ssi x = x ^∗ .

c/ En utilisant l’Exercice précédent, montrer que, si x 0 est suffisamment proche de x ^∗ , alors la suite (x n ) définie par x n+1 = Φ(x n ) converge quadratiquement vers x ^∗ .

Exercice 11. (Partiel 2018)

Soit Φ(x) := x + sin(x). On pose x 0 ∈ R et x n+1 = Φ(x n ).

a/ Montrer que Φ est une fonction strictement croissante, et calculer ses points fixes.

b/ Soit k ∈ N , et x 0 ∈ (kπ, (k + 1)π). Montrer que pour tout n ∈ N , on a x n ∈ (kπ, (k + 1)π), puis montrer que la suite (x _n ) est croissante si k est pair, et décroissante si k est impair.

c/ Montrer que si x ₀ = 3, alors la suite (x _n ) converge vers π.

d/ Montrer que pour tout x ∈ R , on a

|Φ(x) − Φ(π)| ≤ 1

6 max |Φ ⁰⁰⁰ | · |x − π| ³ . e/ En déduire que si x ₀ = 3, alors la suite (x _n ) converge vers π à l’ordre 3.

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