Centre Universitaire d´Ain Temouchent IST
Physique 1 1er semestre 2010-2011
Fiche TD 1: Vecteurs, Analyse dimensionelle et Incertitudes
17.10.2010
Remarque: La notation en lettre écrite engrasveut dire un vecteur, c.à.d.
a=~a. (1)
Exercice 1: Calcul Vectoriel
• Le vecteur v= (1, α, β) est perpendiculaire au deux vecteurs a= (4,3,0) etb = (5,1,7).
Trouver α etβ.
• Calculer le produit vectoriel a×b poura= (1,7,0) etb= (1,1,1).
• Monter que :
(a×b)2=a2b2−(a·b)2. (2)
• Calculer (en utilisant le produit vectoriel) l´aire du triangle se trouvant dans le plan (xOy) de sommets: a(1,1),b(4,1) etc(2,3).
• Montrer les relations suivantes:
a×(b×c) = b(a·c)−c(a·b), (3) a×(b×c) + b×(c×a) +c×(a×b) = 0 (Identité de Jaccobi) (4)
• Calculer la quantité scalaire V =a·(b×c). Que représente cette quantité ? (Utliser une repésentation graphique pour bien visualiser le produit).
• On considère dans le plan xOy d´un repère orthonormé Oxyz, deux vecteurs unitaires perpendiculaires uetv d´origine O. Leurs sens est tel queu,v etOzforment un trièdre direct; u etvtournant autour de Oz. On pose (\Ox,u) =θ, calculer
du dθ et dv
dθ. (5)
• Soit φ(r) un champ scalaire et A(r) un champ vectoriel. Montrer que
div(φA) = φdivA+a·grad(φ), (6)
rot(f(r)r) = 0, où f est une fonction de r. (7) (8)
• Application : Le champ électrique Ecrée par une charge q est donné par E= q
4πǫ0r r
r. (9)
Calculerrot(E)etdiv(E).
Exercice 2: Analyse dimensionnelle
• La force gravitationnelle F entre deux massesm1,m2 séparées de la distancer est donnée par
F =Gm1m2
r2 . (10)
Donner la dimension de la constante G.
• La force de Lorenz qui s´applique sur une charge q qui se déplace avec une vitessev dans un champ magnétique B est donnée par
F=q(v×B). (11)
Si on plus v⊥B, la charge décrit un cercle.
– Donner la dimension de[B]en posant [q] =Q.
– La vitesse angulaire ω doit dépendre donc deq, B etm. On écrit donc
ω =kqαBβmγ, (12)
où k est une constante sans dimension et α, β etγ son des constantes qu´on cherche à déterminer.
– Sachant que ω à la dimension[ω] = [2Tπ] =T−1, trouver par l´analyse dimensionnelle α, β etγ.
Exercice 3: Incertitudes
• La hauteurz parcouru par une bille en chute libre est donnée par z(t) = 1
2gt2, (13)
oùg est l´accélération de la pesanteur ettest le temps pour parcourir la distance z. Dans une expérience on obtient
z = (15±0.1) cm, (14)
t = (174±0.1) ms. (15)
Donner g=g0±∆g0 et ∆gg0
0
2
