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Centre Universitaire d´Ain Temouchent IST

Physique 2 2^me semestre 2010-2011

E&M http://sites.google.com/site/cuatist/

Fiche TD 1: Rappels mathématiques

Chargés du module: K.Demmouche & M.Dine El Hannani 27.02.2011

Exercice 1.1: Calcul vectoriel

Soit f un champ scalaire et soit A,~ B~ et C~ des champs vectoriels. On demande de vérifier les relations suivantes:

div(f ~A) = f div ~A+A~·−−→gradf

−→

rot(f ~A) = −−→gradf ×A~+f−rot ~→A A~×(B~ ×C) =~ B~(A~·C)~ −(A~·B)~ C~

div(A~×B~) = B~ ·−rot ~→A−A~·−rot ~→B.

- Calculer −−→

grad ¹_r .

- Si V(r)est un champ scalaire central, montrer que −−→gradV(r) est un champ vectoriel radial.

Exercice 1.2: Intégrale de surface

En utilisant l´intégrale de surface trouver l´aire d´un cylindre d´hauteur L. (voir l´exemple dans le cours).

Exercice 1.3: Le flux du champ électrique

• Calculer le flux Φ_S2 d´un champ central à travers une sphère (S²) de rayon R centrée en O.

• Quelle est la valeur de ce flux pour le champ électrique E~ = k_r^Q₂^r_r crée par une charge positiveQ se trouvant à l´interieur du volume délimité parS².

• Sachant que Q est distribuée dans le volume V par Q = R

V ρdV oú ρ est la densité de charge volumique, trouver la relation entre div ~E et ρ en utilisant le théorème de Gauss- Ostrogradsky.

Exercice 1.4: Le flux du champ homogène

Montrer que le flux d´un champ homogène (A~ =−−−→const) à travers un cube est nul.

Exercice 1.5: Le champ électrique

Soit le potentiel:

ϕ=ϕ0− α 6r², avec α, ϕ0 sont des constantes etr =p

x²+y²+z². Calculer:

• le champ E~ définit parE~ =−−−→

gradϕ.

• la divergence de E.~

• le rotationnel de E~

• le flux deE~ à travers une sphère centrée enO, vérifier ce résultat en appliquant le théorème de Gauss-Ostrogradsky.

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