UNIVERSIT´E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ee 2007/2008
MIME 23/24 LM 125
Feuille d’exercices 4
Exercice 1 Soit f :R3→R2 l’application lin´eaire d´efinie par f(x, y, z) = (x+y, y+z).
1. D´eterminer la matrice associ´ee `af dans les bases canoniques.
2. Donner une base deKer(f)et deIm(f). L’applicationf est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Exercice 2 Soit ϕ:R4[X]→R3[X]l’application qui associe `a un polynˆomef le reste de la division euclidienne deXf parX4−1.
1. Montrer queϕest lin´eaire.
2. D´eterminer la matrice associ´ee `a ϕ dans les bases (1, X, X2, X3, X4) et (1, X, X2, X3).
3. Donner une base deKer(ϕ). L’application ϕest-elle surjective ?
Exercice 3 Dans R3, donner P et P−1 o`u P est la matrice de passage de la base canonique `a la base{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}.
Exercice 4 Soit f ∈L(R3)d´efinie parf(x, y, z) = (2y+z, x−4y,3x). Trouver la matrice de f dans la base{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.
Exercice 5 On note p (resp. s) la projection orthogonale (resp. la sym´etrie orthogonale) sur la droite D d’´equationx+ 2y = 0dansR2.
1. Montrer quepets sont des applications lin´eaires et d´eterminer leur ma- trice dans la base canonique de R2.
2. Quelle est leur matrice dans la base{u, v} o`u u= (1,2) etv= (−2,1)? Exercice 6 Soit u∈L(R2)repr´esent´e dans la base canonique B de R2 par la matrice
Aa =
k+ sina cosa cosa k−sina
.
1. ´Etant donn´e Ba la base {v1, v2} o`u v1 = (cosa,−1 −sina) et v2 = (cosa,1−sina), d´eterminer la matriceD de udans la baseBa.
2. SoitP la matrice de passage de la baseB`a la baseBa. Donner l’expression deP. En d´eduire l’expression de A`a l’aide des matrices P,P−1 etD.
3. D´eterminerAna poura=±π/2.
Exercice 7 Soit u∈L(R3[X]) d´efinie par :
u(P) =X2P′′+ (X+ 1)P′−3P.
1. Quel est le rang deu?
1
2. Trouver une base deKer(u).
3. SoitPun polynˆome unitaire dansKer(u). Montrer queB ={u(1), u(X), u(X3), P} est une base deR3[X]et calculer la matrice de upar rapport `aB.
Exercice 8 Soit E=C∞(R,R).
1. Soit x1(t) = costcosht,x2(t) = sintcosht, x3(t) = costsinht etx4(t) = sintsinht. Soit F = Vect(x1, x2, x3, x4). Trouver une base de F.
2. Montrer que l’application u(f) =f′ d´efinie un endomorphisme de F et trouver sa matriceM par rapport `a la base du 1.
3. CalculerMn.
Exercice 9 Soit u:M2(R)→M2(R)l’application lin´eaire d´efinie par :
a b
b c
7→
a+c b
b a+b+c
.
1. D´eterminer la matrice M de u par rapport `a la base canonique B de M2(R). Calculer celle deu2.
2. D´eterminer le rang deM, une baseB1deIm(u)et une baseB2deKer(u).
3. Montrer queB′ =B1∪B2est une base deM2(R). Que peut-on en d´eduire ? 4. D´eterminer les matrices de passagesP deB`aB′etQdeB′`aB. Calculer
sans utiliserP etQla matrice M′ deupar rapport `aB′. Exercice 10 La famille(2,1,0),(1,3,1),(5,2,1)est-elle libre ?
Exercice 11 Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie netϕ∈ L(E) telle que ϕ2=−idE.
1. Donner des exemples de telles applications dans le casn= 2 ou4.
2. Montrer que de telles applications existent si et seulement sin est pair.
Exercice 12 1. SoientA∈Mp(R)etB∈Mq(R). Calculer (en fonction de det(A)et det(B)) le d´eterminant de la matrice
M =
A 0
0 B
∈Mp+q(R).
(On pourra pour cela d´ecomposer M comme produit de deux matrices de d´eterminant ´evident et utiliser la multiplicativit´e du d´eterminant.) 2. SoientA∈Mp(R), B ∈Mq(R)et C∈Mp,q(R). Calculer le d´eterminant
de la matrice
M =
A C
0 B
∈Mp+q(R).
(On pourra g´en´eraliser la m´ethode de 1.)
Exercice 13 Soit ∆(x) = det(ai,j(x))de taille n= 2 ou 3 avec ai,j des fonc- tions d´erivables.
1. Montrer que∆′(x)est la somme desnd´eterminants obtenus en remplaant successivement dans∆(x)chaque colonne par sa d´eriv´ee.
2. Calculer
x+a1 x x
x x+a2 x
x x x+a3
et
1 +x 1 1
1 1 +x 1
1 1 1 +x
.
2
