II . P ol ynô m es

ECE1-B2015-201

C H II :R app el s et appr ofo ndi ss em en ts C alc ul élé m en ta ir e, po ly nô m es ,r és olu tio n d’é quations et d’iné quatio ns I. R èg les de ca lc ul él ém en ta ir e

I.1.Manipulationdefractions Lesrèglesci-dessoussontvalablespourtouta,b,cetdréelssous réservequelesdénominateursdesfractionsconsidéréesnesontpasnuls. Sommea b+c d=ad+bc bd Produita b⇥c d=ac bd Quantitéconjuguéea bc=a(b+c) b2c2 Divisiona b c=a bc a b c=ac b a b c d=ad bc

CE1-B2015-2016

ExerciceSimplifierlesexpressionssuivantes.

a. 323

b. 23 712 + 59 16

c. 2 5⇥25⇥3 4⇥3638⇥45⇥100 d.( p2+5 p3)(2 p3)

e. 3 p72

2 p162

f. 1

53 p2 + 33 p27

I.2.PuissancesentièresLeségalitéssuivantessontvérifiéespourn,m2Zetpourtoutaetbréels,sousréservequelesdénominateursdesfractionsconsidéréesnesontpasnuls.a0=1

a1=a (an)m=an⇥m

(a⇥b)n=an⇥bn

⇣ab ⌘n= an

bn

(an⇥am)=an+m

✓an

am ◆

=a nm

an= 1anCeslistesneseveulentpasexhaustives.Ellessontàcompléteraufuretàmesuredel’année.

2

ECE1-B2015-201

II . P ol ynô m es

II.1.Définitionsetnotations Définition •UnpolynômenonnulPestunélémentdelaforme: P(X)=anXn +an1Xn1 +···+a2X2 +a1X+a0 où ⇥an6=0, ⇥lesélémentsaisontdesréelsappeléslescœfficientsdeP, ⇥l’élémentXestl’indéterminéedupolynômeP, ⇥nestappeléledegrédePetonnoten=deg(P), ⇥lesélémentsaiXisontlestermesdupolynômeP, ⇥l’élémentanXnestletermedeplushautdegrédupolynôme, ⇥anestdonclecœfficientdutermedeplushautdegrédeP, ⇥a0estappeléletermeconstantdeP. •UnpolynômePestconstantsitoussescœfficients,excepté(éventuel- lement)lecœfficienta0,sontnuls. Lespolynômesconstantsnonnulssontdedegré0. •Parmilespolynômesconstants,ondistinguelepolynômenulP=0. Parconvention,ledegrédupolynômenulest1(deg0=1). •OnappellefonctionpolynomialeassociéeàPlafonction P:R!R x7!anxn+an1xn1+···+a2x2+a1x+a0 (onpourraconfondrepolynômeetfonctionpolynomialeassociée) •OnnoteR[X]l’ensembledespolynômesàcœfficientsdansRetd’indé- terminéeX. •Enfin,onnoteRn[X]l’ensembledespolynômesdeR[X]dontledegré estinférieurouégalàn.

ECE1-B2015-201

•Conclusion:résolutionde(I)a)Danscepremiercas,l’ensembledessolutionsde(I)estdonc:

S1=D(I)\]1,1]\(]1,x1[[]x2,+1[)=]1,x1[

b)Danscedeuxièmecas,l’ensembledessolutionsde(I)estdonc:

S2=D(I)\]1,+1[= ⇥73,+1 ⇥L’ensembleSdessolutionsdel’inéquation(I)estdonc: S=S1[S2=]1,x1[[ ⇥73,+1 ⇥

ExerciceRésoudredansRlesinéquationssuivantes.

a.x+2> px+5 b.x+1> p3x22x7

c.x26 px1 d. px+3<x+4

e. 2x3x24 <1

21 CE1-B2015-2016

Exemple

•L’élémentP(X)=3X2+5X+2estunpolynômei.e.unélémentdeR[X].

⇥deg(P)=2,

⇥Pa3cœfficients:a2=3,a1=5eta0=2,

⇥PestunélémentdeR2[X].C’estaussiunélémentdeR5[X]puisquedeg(P)65.

•Q(X)=7X3+ p2estunpolynômei.e.unélémentdeR[X].

⇥deg(Q)=3,

⇥Qa4cœfficients:b3=7,b2=0etb1=0,b0= p2,

⇥QestunélémentdeR3[X].(c’estaussiunélémentdeR5[X],R7[X],R523[X],...)

Conditiond’égalitédedeuxpolynômesConsidéronsdeuxpolynômes:

P(X)=anXn+an1Xn1+···+a2X2+a1X+a0(avecan6=0) Q(X)=bmXm+bm1Xm1+···+b2X2+b1X+b0(avecbm6=0)

•Unpolynômeestnulsietseulementsitoussescœfficientssontnuls.

•Onendéduitlaconditiond’égalitédedeuxpolynômesPetQpuisque:

P=Q,PQ=0

Ainsi,deuxpolynômesPetQsontégauxsietseulementsi:

⇥ilssontdemêmedegré,(deg(P)=deg(Q))

⇥lescœfficientsdeleurstermesdemêmedegrésontégaux.(8i2J1,nK,ai=bi)

4

ECE1-B2015-2016 Dansnotreexemple: ⇥p 3x24x7>0(uneracineesttoujourspositive), ⇥x+1>0six2]1,1]etx+1<0six2]1,+1]. a)six+1>0 Six2]1,1],onaleséquivalencessuivantes. x+1<p 3x24x7 ,(x+1)2<3x24x7 ,x22x+1<3x24x7 ,0<2x2 2x8 ,0<x2 x4 b)six+1<0 Six2]1,+1[,larecherchedessolutionsdel’inéquationesttriviale puisqueondoitalorstrouvertouslesélémentsxtelsque: p 3x24x7>x+1oùx+1<0 Orona:p 3x24x7>0>x+1(uneracineesttoujours positive). Toutréelx(dans]1,+1[)estsolutiondel’inéquation(I0 ). •Étape2:résolutionde(I0 ) Seullecasa)doitêtredétaillépuisquelarésolutionesttrivialedansle casb).Ils’agitdoncdedéterminerlesignedutrinômeP(x)=x2x4. Cetrinômepossèdedeuxracines: x1=1p 17 2etx2=1+p 17 2 AinsiP(x)>0six2]1,x1[[]x2,+1[. 20 ECE1-B2015-201 Proposition1. SoientPetQdeuxpolynômesdeR[X]. Onaalors: 1)deg(P⇥Q)=deg(P)+deg(Q) 2)deg(P+Q)6max(deg(P),deg(Q)) Démonstration. Onnedétaillepasicilecasoù(aumoins)l’undesdeuxpolynômesest nul(enexo!).Danslasuite,onsupposedoncPetQnonnuls. LespolynômesPetQs’écriventdoncsouslaforme: P(X)=anXn+···+a1X+a0(avecan6=0), Q(X)=bmXm+···+b1X+b0(avecbm6=0). 1)LecœfficientdeplushautdegrédupolynômeP⇥Qest: (anXn )⇥(bmXm )=anbmXn+m Ainsi,deg(P⇥Q)=n+m. 2)•Sin6=metn>m(réciproquementn<m)onadeg(P+Q)=n (réciproquementdeg(P+Q)=m). •Sin=m,onn’apasforcémentdeg(P+Q)=n. Eneffet,onpeutavoirbn=an. Cetteremarqueestaussivalablepourlesautrescœfficients. Sibienqu’onpeutjusteaffirmerdeg(P+Q)6n. II.2.Racinesd’unpolynôme DéfinitionRacined’unpolynôme SoitPunpolynômedeR[X]. •L’élément↵deRestuneracinedePsiP(↵)=0. Lethéorèmesuivantstipulequetoutpolynômepeutêtrefactorisé grâceàladonnéedesesracines.

ECE1-B2015-201

V . R és olut io n d’ inéq ua tio ns

Danslecasdesinéquations,seulleraisonnementparéquivalenceestadapté.Leproblèmeavecleraisonnementparimplicationprovientdel’étapeconsistantàtesterlessolutionsde(I 0)surl’équation(I).Cetteétapeestgénéralementdifficileàmettreenplacelorsdelarésolutiond’inéquations(généralement(I 0)admetnonpasunnombrefinidesolu-tionsmaisunensembleinfinidesolutions).Onpréféreradonctoujoursleraisonnementparéquivalencedanslecasd’inéquations.

V.1.Illustrationdelaméthodesurunexemple

Onconsidèrel’inéquationsuivante.

x+1< p3x24x7(I)

•Étape0:déterminerl’ensembleD(I)Onremarqueque3x24x7=3(x+1)x73. D(I)={x2R|3x 24x7>0}=]1,1][ ⇥73,+1 ⇥.

D(I)=]1,1][ ⇥73,+1 ⇥

•Étape1:obtention,paréquivalence,del’inéquation(I0)Commedanslecasprécédent:u<v,u 2<v 2.Entoutegénéralité,comme pu2=|u|(pourtoutu2R),ona:

8u2R,8v2R,(|u|<|v|,u2<v2)

Ils’agitdoncdeprocéderpardisjonctiondecas,enfonctiondusignedesquantitésquel’onconsidère.

19 CE1-B2015-2016

Théorème1.SoitPunpolynômedeR[X].Soit↵unélémentdeR.

•Onaalors:

P(↵)=0,9Q2R[X],P(X)=(X↵)Q(X)

•Autrementdit,↵estuneracinedePsietseulementsiPpeuts’écriresouslaformeP(X)=(X↵)Q(X)oùQestunpolynômedeR[X].

RemarqueGrâceàlaproposition1,onobtient:

deg(P)=deg((X↵)Q(X))=deg(X↵)+deg(Q)=1+deg(Q)

Onendéduitque:deg(Q)=deg(P)1.

ExerciceOnconsidèrelepolynômeP(X)=3X 2X2.1)Montrerque1estuneracinedeP.2)TrouverunpolynômeQtelqueP(X)=(X1)Q(X).

Démonstration.1)P(1)=312=0donc1estuneracinedeP.2)D’aprèslethéorème1,ilexisteQ2R[X]telque:P(X)=(X1)Q(X).Onaalorsdeg(P)=1+deg(Q)etdoncdeg(Q)=1.Ainsi,ilexisteaetbréelstelsqueQ(X)=aX+betdonc:

P(X)=(X1)(aX+b)=aX2+(ba)Xb=3X2X2

6

ECE1-B2015-2016 Résolvonsl’équation(E):p x2=2x1paréquivalence. •Étape0:D(E)=R. •Étape1:obtention,paréquivalence,del’équation(E0) Afinquel’élévationaucarrésefassesanspertedeprécision,ilfautfaire uneétudeprécisedessignesdesquantitésconsidérées.Ona:p x2>0 (uneracineesttoujourspositive).Deuxcasseprésententalorspour 2x1: a)2x1>0:ceciestréalisépourx>1 2.Danscecas,ona: 8x2 1 2,+1 ,(p x2=2x1,x2 =(2x1)2 ) b)2x1<0:larecherchedesolutionsesttrivialedanscecaspuis- qu’onaalors,sixestsolutionde(E):06p x2=2x1<0. Impossible! •Étape2:résolutionde(E0) L’équation(E0):3x24x+1=0admetx=1etx=1 3commeseules solutions. •Conclusion:résolutionde(E) a)(E)estéquivalenteà(E0 )sur⇥ 1 2,+1⇥ .Comme1 362⇥ 1 2,+1⇥ ,onen conclutque(E)admet1pouruniquesolutionsurcetintervalle. b)(E)n’admetpasdesolutionsurl’intervalle]1,1 2[. Exercice Résoudrel’équationp x+1+p x3p 3x1=0enprocédantpar équivalence. IV.2.c)Doit-onprocéderparimplicationouparéquivalence? Lorsqu’ils’agitderésoudreuneéquation,laméthodeconsistantà procéderparimplication,plussimple,seratoujourspréféréeàlaméthode deraisonnementparéquivalence. 18 ECE1-B2015-201 Commedeuxpolynômessontégauxsietseulementsileurscœfficients sontégaux,onaquea=3,ba=1etb=2. Etainsi:P(X)=(X1)(3X+2). Lorsdeladémonstrationprécédente,onaidentifiélescœfficientsde PaveclescœfficientsdeaX2+(ba)Xb. Onditqu’onprocèdeparidentification. II.3.Rappelssurletrinômeduseconddegré Soienta,b,créelsaveca6=0. Onconsidèrel’équationsuivanted’inconnuex: ax2 +bx+c=0(1) II.3.a)Résolutiondanslecasgénéral L’idéedelarésolutionestdefactoriserletermeax2 +bx+cense servantdel’identitéremarquableu2 v2 =(uv)(u+v). •1èreétape:reconnaîtredansax2+bxledébutdudéveloppementd’un carré. ax2 +bx=a✓ x2 +b ax◆ =a" ✓

x+b 2a

◆2 b2 4a2

# •2èmeétape:obtentiondelaformecanoniquedutrinôme. ax2 +bx+c=0,a" ✓

x+b 2a

◆2 b2 4a2

# +c=0 ,a" ✓

x+b 2a

◆2 b2 4a2+c a

# =0 ,✓ x+b 2a◆2 b2 4ac 4a2=0

ECE1-B2015-201

IV.2.a)Résolutionparimplication:fonctionnement

Commeonl’avu,(E)et(E0)n’ontpasforcémentlesmêmessolutions.Celaprovientdesmanipulationsfaitespourtransformer(E)en(E0):ellesontpumodifierl’ensembledessolutions.Explicitonspourquoi.Nousavonsprocédéparimplication,cequis’écritformellement:

xsolutionde(E))xsolutionde(E 0)

Cetteimplicationpermetd’affirmerque:

•sixestsolutionde(E)alorsxestsolutionde(E 0) ,!toutesolutionde(E)estunesolutionde(E0)i.e.S✓S0

•xpeutêtresolutionde(E)sansquexsoitsolutionde(E 0)Enmodifiant(E)en(E0),onneperdenrouteaucunesolutionde(E)(puisqueS0◆S)maisonapucréerde«nouvellessolutions»(i.e.dessolutionsde(E0)quinesontpassolutionsde(E)).C’estpourquoilessolutionsde(E)sontexactementcellesde(E0)quivérifientl’équation(E).ExerciceRésoudrel’équation px+1+ px3 p3x1=0.

IV.2.b)Est-ilpossibledeprocéderparéquivalence?

Dansl’exempleprécédent,unemanipulationacrééunepertedepré-cision:ils’agitdel’élévationaucarré.Demanièregénérale:

u=v()u 2=v 2

Évidemment,l’implicationu=v)u2=v2esttoujoursvérifiée.Parcontre,onpeutexhiberuncontre-exempledelaréciproque:(3)2=32et36=3.Ilfautdoncfaireattentionauxsignesdesquantitésuetv.Entoutegénéralité,comme pu2=|u|(pourtoutu2R),ona:

8u2R,8v2R,(|u|=|v|,u 2=v 2)

17 CE1-B2015-2016

•3 èmeétape:utilisationdel’identitéremarquableetrésolution.Notons=b24ac.Troiscasseprésententalors.

⇥si>0,onpeutalorsécrire:

b24ac4a2 = rb24ac4a2 !2

= pb24acp4a2 !2

= p

2a !2

Ayantfaitapparaîtrececarré,onaalors:

ax2+bx+c=0, ✓

x+ b2a ◆2p

2a !2

=0

,x+ b2a p

2a !

x+ b2a + p

2a !

=0

,x b+ p

2a !

x b p

2a !

=0

Danscecas,l’équation(1)admetdeuxsolutions:

x+= b+ p

2a etx= b p

2a

⇥si=0,onaalors:ax 2+bx+c=0, ✓

x+ b2a ◆2=0Danscecas,l’équation(1)admetunesolutiondouble:

x= b2a

⇥si<0,l’équation(1)n’admetpasdesolutioncar:

ax2+bx+c=0,(06) ✓x+ b2a ◆2=4a2 (<0)

8

ECE1-B2015-2016 •Étape2:résolutionde(E0) Ayantobtenul’équation(E0),ils’agitmaintenantdelarésoudre. LepolynômeP(X)=3X24X+1admetx1=1commeracine évidente. Sonautreracinex2vérifiex1x2=c a=1 3.Ainsi,x2=1 3. L’ensembledessolutionsde(E0 )estS0 =⇢ 1,1 3 •Étape3:testdessolutionsde(E0)surl’équation(E) Onarésolul’équation(E0)maisa-t-onrésolul’équationinitiale(E) pourautant?Testonslessolutionsde(E0 )surl’équation(E): ⇥Toutd’abord,ona:12D(E)(=R). D’autrepart:p 122⇥1=1. Ainsi,1estbiensolutionde(E). ⇥Onaaussi:1 32D(E)(=R). D’autrepart:s ✓ 1 3◆2 2⇥1 3=1 32 3=1 36=1. Ainsi,1 3n’estpassolutionde(E). •Conclusion L’équation(E)admetpouruniquesolutionleréel1. Autrementdit,l’ensembledessolutionsde(E)estS={1} IV.2.Analysedelaméthode Àl’issuedecetexemple,onpeutseposerdeuxquestions: 1)A-t-onbientrouvétouteslessolutionsde(E)? 2)Pourquoi(E)et(E0)n’ont-ellespaslesmêmessolutions? 16 ECE1-B2015-201 Enrésumé,onatroiscas: >0x±=b±p 2adeuxracinesdifférentes =0x=b 2auneracinedouble <0pasderacineréelle RemarqueDiscriminantréduit Sibs’écritb=2b0,onpeututiliserlediscriminantréduit0 =(b0 )2 ac Danslecasoù0>0,l’équationadmetlesdeuxracines: x1=b0 +p 0 aetx2=b0p 0 a Théorème2. SoitP(X)=aX2+bX+c(a6=0)unpolynômededegré2. Supposonsque>0etnotonsx1etx2lesracinesdeP. AlorsP(X)=a(Xx1)(Xx2). Démonstration. Ilsuffitdereprendreladémonstrationprécédente. Onadémontré(pardesmanipulationsarithmétiques)que: P(X)=aX2 +bX+c=a0 B B @Xb+p 2a |{z} x1

1 C C A

0 B B @Xbp 2a |{z} x2

1 C C A

ECE1-B2015-201 onélèveaucarré.Plusprécisément,ona:px22x=1

, px2=2x1 ) ⇣px2 ⌘2=(2x1)2

,x 2=4x 24x+1 ,3x 24x+1=0(E0)

15 CE1-B2015-2016

II.3.b)Relationsentrecœfficientsetracines

Théorème3.SoitP(X)=aX2+bX+c(a6=0)unpolynômededegré2.Supposonsque>0etnotonsx1etx2lesracinesdeP.

Onaalors:x1+x2= ba etx1⇥x2= ca

Démonstration.D’aprèslethéorèmeprécédent,ona:

aX2+bX+c=a(Xx1)(Xx2)

=a(X 2(x1+x2)X+x1x2

=aX2a(x1+x2)X+ax1x2

Paridentification,onendéduitlesystèmesuivant:8<

: a=aa(x1+x2)=bax1x2=c

D’oùlerésultatsouhaité.

ApplicationCasdesracinesévidentes

•ConsidéronslepolynômeP(X)=5X 2+6X11=0.

⇥Padmetx1=1pourracineévidente.

⇥Padmetdoncuneautreracine,x2,quivérifiex1⇥x2= ca.Ainsi,x2= cax1 = 115 .

•Inversement,sil’onchercheàdéterminerdeuxréelsx1etx2dontonconnaîtuniquementlasommeS(=x1+x2)etleproduitP(=x1⇥x2),ilsuffitderésoudrel’équation:

X 2SX+P=0

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ECE1-B2015-2016

IV . R és ol ut io n d’ éq ua ti ons

IV.1.Illustrationdelaméthodesurunexemple Explicitonslaméthodederésolutionsurunexemplesimple. Onconsidèrel’équationsuivante. p x22x=1(E) Laméthodederésolutionde(E)peutseprésenterenquatregrandes étapes. •Étape0:déterminerl’ensembleD(E) Avantd’essayerderésoudre(E),oncommenceparétudiersondomaine dedéfinitionD(E).C’estuneremarquegénérale:lorsdel’étuded’un objetmathématique,oncommencetoujourspardéterminersonlieude définition. L’équation(E)comportel’opérateurracine(quiestdéfinisurR+). Or,commex2>0,laquantitép x2estbiendéfinie. OnendéduitqueD(E)=R •Étape1:obtentiondel’équation(E0 ) Souscetteforme,l’équation(E)n’estpasfacileàrésoudre.Onvadonc opérerdesmanipulationsafindetransformerl’équation(E)enune équationplussimple,notée(E0). Soitxunesolutionde(E)(onanotammentx2D(E)). Afindesedébarrasserdel’opérateurracine,onisoleletermep x2et 14 ECE1-B2015-201 II.3.c)Signedutrinôme Lesignedutrinômeax2 +bx+cdépend: •dusignedea, •del’existencederacinesréelles. Précisonscettedépendance. 1)Encasd’absencederacineréelle,letrinômeax2 +bx+cestdesigne constant,égalausignedea. Legraphedex7!ax2+bx+cestdelaforme: x

y a>0

x

y a<0 2)Encasderacineréelledouble,letrinômeestalorsaussidesigne constant(nulenlaracine),égalausignedea. Legraphedex7!ax2+bx+cestdelaforme: x

y a>0

x

y a<0 3)Encasdedeuxracinesréellesx1etx2: (a)sia>0,alorsletrinômeeststrictementnégatifsur]x1,x2[et positifailleurs:a(xx1)(xx2)<0,x1<x<x2 (b)sia<0,alorsletrinômeeststrictementpositifsur]x1,x2[et négatifailleurs:a(xx1)(xx2)>0,x1<x<x2 11

ECE1-B2015-201 ExerciceÉcrireletableaudesignedelaquantité (4x1)(7x3)(x2) .

II I. Iden tit és rem ar qua bl es

Ci-dessousuneliste(nonexhaustive!)d’identitésremarquables.Cettelisteestàcompléteraufuretàmesuredel’année.

Identitésremarquablesduseconddegré:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(ab)2=a22ab+b2

(ab)(a+b)=a 2b 2

(a+b) 2(ab) 2=4ab

Identitésremarquablesdutroisièmedegré:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(ab)3=a33a2b+3ab2b3

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a3b3=(ab)(a2+ab+b2) Endegréquelconquen2N ⇤: a nb n=(ab)(a n1+a n2b+···+ab n2+b n1)

Onanotamment:

1a n=(1a)(1+a+a 2+...+a n1) ExerciceMontrerque:8x2R+,8t2R+,2 pxet6x+et.

13 CE1-B2015-2016

Cequel’onpeutrésumerdansletableausuivant.

x>0Lesignedeax2+bx+c 1x1x2+1

signedea 0 signeopposédea 0 signedea Legraphedex7!ax2+bx+cestdelaforme:

x y

a>0x y

a<0

Petitaparté:déterminerlesigned’unproduitLorsquel’onsouhaitedéterminerlesigned’unequantités’écrivantcommeunproduit,onutilisesouventuntableaudesignes.Considéronsparexemple,leproduitP(x)=(4x1)(7x3)(x2).Letableaudesignecorrespondantest:

x

4x1

7x3

x2

P(x) 12 14 37+1

0++

0+

+0

++

12