Les fonctions de référence

Seconde – Lycée Desfontaines – Melle

Cours 09 – Les fonctions de référence

I. Fonctions affines

1. Définition :

On appelle fonction affine toute fonction f définie sur IR par f(x)=mx+p où m et p sont des réels donnés.

Exemples :

Parmi les fonctions suivantes, entourer celles qui sont affines :

f : x→ 2x²−3 ; f : x→ -5x+2 ; f : x→ 3 x−7 ; f : x→ 2×x+9 ; f : x→ 3x ; f : x→ 7×1

x −5 ; f : x→ -4 2. Représentation graphique :

Rappel : La représentation graphique d’une fonction f dans unrepère

(

^O;Åi;Åj

)

est l’ensemble des points decoordonnées (x;y) tels que y=f(x).

On dit alors que la représentation graphique de f admet pour équation y=f(x).

Soit f une fonction affine définie par f(x)=mx+p.

La représentation graphique de f dans un repère

(

^{O; Å}i; Åj

)

est donc l’ensemble des points de coordonnées (x;y) tels que y=f(x) càd tels que y=mx+p.

Le "cours 07 – droites" nous permet donc de conclure que la représentation graphique de f est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées et que les droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont les représentations graphiques des fonctions affines.

En conclusion : soit f une fonction. Pour m et p deux réels donnés :

Dire que f est une fonction affine revient à dire que f est représentée par

définie par f(x)=mx+p la droite d’équation y=mx+p

3. Cas particuliers :

Soit une fonction affine f définie sur IR par f(x)=mx+p.

° Lorsque m = 0 alors f(x)=p pour tout x réel.

On dit que f est une fonction constante.

Sa représentation graphique est la droite d’équation y=p. Elle est parallèle à l’axe des abscisses.

° Lorsque p = 0 alors f(x)=mx pour tout x réel.

On dit que f est une fonction linéaire.

Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.

i→ j→ O i^→ j→ O

y=mx

i→ j→

0 i^→ j→

Y = p

_________________________________________________________________________________________________

4. Caractérisation d’une fonction affine :

a. Théorème caractéristique d’une fonction affine.

Théorème 1 : Si une fonction est affine alors l’accroissement de l’image est proportionnel à l’accroissement de la variable et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur

càd si f(x)=mx+p alors pour tout x1∈ IR et tout x2∈ IR avec x1ýx₂, on a : accroissement de l’image

f

( )

^{x1 −f}

( )

^x2

x1−x2

=m accroissement de la variable

Démonstration : f une fonction affine définie sur IR par f(x)=mx+p.

Soient x1 et x2 deux réels distincts alors : f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 =}

[

^mx1+p

]

⁻

[

^mx2+p

]

^=m

(

^x1−x2

)

On déduit donc que f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 (accroisst} de l’image) est bien proportionnel à x₁−x₂(accroiss^t de la variable) et le coefficient de proportionnalité est bien le coefficient directeur m.

Théorème 2 (réciproque) : Soit f une fonction définie sur Ë. Si l’accroissement de l’image est proportionnel à l’accroissement de la variable, alors cette fonction est affine.

Démonstration :

Soit f une fonction définie sur IR telle qu’il existe un réel m tel que pour tous réels x1 et x2distincts, on a : f

( )

^{x1 −f}

( )

^x2

x1−x2

=m

Alors pour tout réel x ≠ 0, on obtient : f(x)−f(0)

x−0 =m donc f(x)−f(0)=mx.

D’où : f(x)=mx+f(0)=mx+p en posant f(0) = p. La relation f(x)=mx+p est donc également vraie pour x=0. On déduit donc que f est une fonction affine.

Conséquence : Les fonctions affines sont les seules fonctions dont l’accroissement de l’image soit proportionnel à l’accroissement de la variable.

b. Application : Comment déterminer le coefficient directeur m ? :

5. Sens de variation :

Théorème 3 : Soit f une fonction affine définie par f(x)=mx+p. ° Si m > 0 alors f est strictement croissante sur IR

° Si m< 0 alors f est strictement décroissante sur IR.

° Si m = 0 alors f est constante sur IR Démonstration :

Soient x1 et x2 deux réels tels que x1<x₂.

f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 =}

[

^mx1+p

]

⁻

[

^mx2+p

]

^=mx1−mx2=m

(

^x1−x2

)

^{. Or x1<x2 donc x1−x2<0.}

° Si m > 0 alors f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 <0 (}produit de deux facteurs de signes contraires), et donc f est strictement croissante sur IR.

° Si m < 0 alors f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 >0 (}produit de deux facteurs de même signe), et donc f est strictement décroissante sur IR.

° Si m = 0 alors f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 =0 (}produit par zéro), et donc f est constante sur IR.

A

B

O I^→ J→

A

B

O I^→ J→

Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x)=mx+p et soit D la représentation graphique de f dans un repère.

Soient A

(

^xA;yA

)

^{et B}

(

^xB;yB

)

deux points distincts de Ι. Alors : m=f

( )

^{xB −f}

( )

^xA

x_B−x_A =y_B−y_A x_B−x_A

x_B yB=f

( )

^xB

yA=f

( )

^xA

xB−x_A

yB−y_A

xA

II. Fonctions carré et inverse : x → x

²

et x → 1 x

Fonction carré

Définition :

On appelle fonction carré, la fonction définie sur IR par f(x) = x²

Parité :

La fonction carré est paire.

Sa représentation graphique, dans un repère

orthogonal, est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Sens de variation :

° La fonction carré est strictement décroissante sur ]- ∞ ; 0]

càd si x₁<x₂Â0 alors x₁²>x₂²Ã0.

° La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + ∞[

càd si 0Âx1<x2 alors 0Âx₁²<x2 2

Tableau de variation :

Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction carré est une parabole. Elle a pour équation y=x²

Fonction inverse

Définition :

On appelle fonction inverse la fonction définie sur IR^* par f(x) = 1

x

Parité :

La fonction inverse est impaire.

Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.

Sens de variation :

La fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[ càd si x₁<x₂ <0 alors 1

x1

>1 x2

si 0<x₁<x₂ alors 1 x1

>1 x2

Tableau de variation :

Représentation graphique :

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. Elle a pour équation y=1

x

x f

−∞ 0

0

+∞

2 3 4

-1 -2 -3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1

1

x f

−∞

0

+∞

0 1

1 y

_________________________________________________________________________________________________

III. Exercices

Exercice 1 :

Dans un repère orthogonal

(

O; Åi; Åj

)

(unités : 2 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour unité sur l’axe des ordonnées), représenter graphiquement les fonctions affines f, g, h, l et k définies sur Ë par :

f(x)=3x−4 ; g(x)=-1 3x+7

3 ; h(x)=2

3x−4 ; l(x)=-2 ; k(x)=-5x. Exercice 2 :

Dans un repère, on considère les points A(-4;-1) et B(2;2).

Justifier que la droite (AB) est la représentation graphique d’une fonction affine. Déterminer alors cette fonction affine.

Exercice 3 :

Soit f une fonction affine telle que f(-1)=3 et f(2)=1. Déterminer f.

Exercice 4 :

Déterminer l’équation des droites D₁, D₂ et D₃ représentées ci-contre et en déduire, lorsque c’est le cas,

l’expression des fonctions affines qu’elles représentent.

Exercice 5 :

On considère les fonctions affines suivantes définies par :

f(x)=4x−6 ; g(x)=-5

4x+2 ; h(x)=-7 ; i(x)=3x ; j(x)=-3x+8 5 . 1. Donner, en j ustifiant, le sens de variation de chacune de ces fonctions.

2. Déterminer, en fonction de x, le signe de chacune de ces fonctions.

3. Représenter graphiquement les fonctions f et g.

4. Résoudre graphiquement f(x)>0 et g(x)<0.

Exercice 6 :

Une agence propose deux types de contrat de location d’une voiture pour une journée : Premier type : un montant fixe de 40€ et 0.20€ par kilomètre.

Deuxième type : un montant fixe de 20€ et 0.30€ par kilomètre.

Pour x kilomètres parcourus, le prix à payer est noté f(x) pour le premier type de contrat et g(x) pour le second.

1. Donner les expressions de f(x) et g(x). Construire dans un même repère orthogonal (unités : 1 cm pour 50 kms sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 20€ sur l’axe des ordonnées), les représentations graphiques de ces fonctions pour x positif.

2. Indiquer, en utilisant le graphique, le contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomètres parcourus.

3. Retrouver ces résultats par le calcul.

Activité 1 :

Soit f la fonction carré définie par f(x)=x²; Notons P sa courbe représentative dans un repère

(

^{O; Åi; Åj}

)

orthonormal.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire?

3.

(a) Soient x1 et x2 deux réels. Montrer que f

( )

^{x1 −f}

( )

^{x2 =}

(

^x1−x2

) (

^x1+x2

)

(b) En déduire le sens de variation de f sur [0;+õ[.

(c) Déduire de 2. et de 3.b. le sens de variation de f sur ]-õ;0].

(d) Dresser le tableau de variations de f.

4. Compléter le tableau suivant :

x 0 1

2 1 3

2 2 5

2 3

f(x)

5. En utilisant le tableau de variation de f et le tableau de valeurs, tracer soigneusement P sur [0;+õ[ puis sur ]-õ;0].

On choisira comme unité du repère 2 cm et on placera l’origine du repère au centre de la page.

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

2 3

-1

-2

0 1

1

x y

D₁

D₂

D₃

Exercice 7 :

En utilisant les propriétés de la fonction carré, que peut-on dire de x² si x est un réel tel que :

(a) x>3 (b) 1ÂxÂ2 (c) x<-3 (d) -3<x<-1 (e) -1ÂxÂ3 Activité 2 :

Soit f la fonction carré définie par f(x)= 1

x; Notons H sa courbe représentative dans un repère

(

O; Åi; Åj

)

orthonormal.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire?

3.

(a) Soient x₁ et x₂ deux réels non nuls. Ecrire f

( )

^{x1 −f}

( )

^x2 sous la forme d’un quotient.

(b) En déduire le sens de variation de f sur ]0;+õ[.

(c) Déduire de 2. et de 3.b. le sens de variation de f sur ]-õ;0[.

(d) Dresser le tableau de variations de f.

4. Compléter le tableau suivant :

5. En utilisant le tableau de variation de f et le tableau de valeurs, tracer soigneusement H sur ]0;+õ[ puis sur ]-õ;0[.

On choisira comme unité du repère 2 cm et on placera l’origine du repère au centre de la page.

Exercice 8 :

En utilisant les propriétés de la fonction inverse, que peut-on dire de 1

x si x est un réel tel que : (a) x>3

(b) 1ÂxÂ2

(c) x<-3 (d) -3<x<-1 Exercice 9 :

Dans chacun des cas suivants, comparer 1 a et 1

b :

1. a=2 et b=5. 2. a=-2 et b=-3. 3. a=-1 et b=3.

Exercice 10 :

Associer à chaque phrase la fonction qui lui correspond :

(a) Doubler 1. x→2x+3

(b) Prendre la moitié 2. x→2(x+3) (c) Doubler puis ajouter 3 3. x→2x (d) Ajouter 3 puis doubler 4. x→2(x−4) (e) Soustraire 4 puis doubler 5. x→x

2 (f) Soustraire 4 puis prendre la moitié 6. x→2x−4

(g) Doubler puis soustraire 4 7. x→ x−4 2

Exercice 11 : (éléments de correction en fin de chapitre)

1. On définit une fonction f par le procédé de calcul suivant : "on choisit x quelconque, on multiplie par 3, on ajoute 7 puis on élève au carré". Déterminer l’expression de f(x).

2. On définit une fonction g par le procédé de calcul suivant : "on choisit x différent de 1, on prend son opposé, on ajoute 1, on prend l’inverse, puis on multiplie par -2". Déterminer l’expression de g(x).

3. On définit une fonction h par le procédé de calcul suivant : "on choisit x supérieur ou égal à -3 ; on ajoute 3, on prend la racine carrée du résultat". Déterminer l’expression de h(x).

Exercice 12 :

On donne maintenant les fonctions f, g et h définies respectivement sur Ë, Ë\{-3} et ]-õ;2] par : f(x)=-(x−3)²+4 ; g(x)= -2

(3+x)² ; h(x)= 2−x

Donner les procédés de calcul permettant de passer de x à f(x), de x à g(x) et de x à h(x).

x 1

6

1 4

1

2 1 2 4

f(x)

Réponses

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

_________________________________________________________________________________________________

Exercice 13 : exercice guidé

Le but de cet exercice est d’étudier les variations d’une fonction par inégalités successives A. Exemple : étudions les variations de la fonction f définie sur ]-1;+õ[ par f(x)= 4

x+1. 1. Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à f(x).

2. Compléter les étapes suivantes pour étudier les variations de f sur ]-1;+õ[ en raisonnant par inégalités successives :

Soient x1 et x2 deux réels tels que -1<x₁<x₂

Alors ..…<x₁+1…..<x₂+1 car ………

Alors 1

x1+1 ….. 1

x2+1 car ………...

Alors 4

x1+1 ….. 4

x2+1 car ………

Cad f

( )

^{x1 …..f}

( )

^{x2 . D’}où f est ………. sur ………..

B. A vous de jouer :

Soit la fonction f définie sur ]-õ;2] par f(x)=(3x−6)²+5

1. Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à f(x).

2. Démontrer que la fonction f est décroissante sur ]-õ;2].

Exercice 14:

Soit la fonction f définie sur Ë\{3} par f(x)=- 2 x−3.

1. Conjecturer les variations de la fonction f à l’aide de votre calculatrice graphique.

2.

(a) Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à f(x).

(b) Valider votre conjecture du 1.

Exercice 15 :

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A tel que AB=AC=6. Soit M un point du segment [AB].

La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AC] en P.

On pose AM=x.

1. Quel est l’intervalle des valeurs possibles de x ? 2. Démontrer que le quadrilatère AMNP est un rectangle.

3.

(a) Justifier que BM

BA =MN AC . (b) En déduire que MN=6−x.

(c) En déduire que l’aire A(x) du rectangle AMNP est donnée par A(x)=6x−x². 4.

(a) Vérifier que A(x)=-(x−3)²+9.

(b) Donner alors le procédé de calcul permettant de passer de x à A(x).

(c) Etudier, en raisonnant par inégalités successives, alors les variations de A sur [0;3] puis sur [3;6].

(d) Dresser le tableau de variation de A.

5. Quelle est la position du point M pour laquelle l’aire du rectangle AMNP est maximale ? 6. Quelles sont les positions possibles du point M pour lesquelles l’aire du rectangle AMNP est :

(a) égale à 8 ?

(b) supérieure ou égale à 8 ? Eléments de correction :

Exercice 11 :

1. f(x)=(3x+7)² 2. g(x)=- 2

-x+1

3. _{h(x)= x+3}