2 de - Distanciel - Séance 15

(1)

2 ^de - Distanciel - Séance 15

Instructions

● Lire et comprendre la correction des exercices 808, 704 et 705 en vous aidant de la vidéo suivante:

https://youtu.be/C0U_5STg4GA

Bien regarder la vidéo car j'explique le fonctionnement de la calculatrice pour remplir le tableau de valeurs de l'activité 704

● Lire et comprendre le cours en s'aidant de la vidéo suivante:

https://youtu.be/Bolv4Xo-DM8

● Faire les exercices 810, 811, 707, 708 et 809 (ce dernier exercice uniquement pour ceux d'entre vous qui veulent prendre la spécialité maths en 1ère) avant dimanche 31 janvier au soir.

La prochaine séance devrait être envoyée le WE prochain.

Inutile de me les envoyer, je n'arrive plus à trouver du temps pour les corriger.

Néanmoins, si vous voulez que je regarde vos exercices pour avoir des conseils ou des explications, vous pouvez me les envoyer à l'adresse suivante: [email protected]

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● Lire et comprendre la correction des exercices 808, 704 et 705 en vous aidant de la vidéo suivante:

https://youtu.be/C0U_5STg4GA

Bien regarder la vidéo car j'explique le fonctionnement de la calculatrice pour remplir le tableau de valeurs de l'activité 704

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Exercice 808 - Corrigé

G(x) = (x + 5)² − (3x + 4)²

G(x) = ^_



^{x 5}^

 

^ ^3x^⁴

 

^{ }_{ } ^{x 5}^

 

^ ^3x^⁴



^_

G(x) =



^{x 5 3x}^{ } ^^{4 x 5 3x}



^{ } ^⁴



G(x) =



^4x^⁹



^^{2x 1}^



H(x) = (2x – 7)² − (4x + 8)²

H(x) = ^_



^2x^⁷

 

^ ^{4x 8}^

 

^{ }_{ } ^{2x 7}^

 

^ ^{4x 8}^



^_

H(x) =



^2x^{ }⁷ ^{4x 8 2x}^



^{ }⁷ ^4x^⁸



H(x) =



^{6x 1}^



^^{2x 15}^



I(x) = (5x – 8)² − (3x – 1)²

I(x) = ^_



^5x^⁸

 

^ ^{3x 1}^

 

^{ }_{ } ^5x^⁸

 

^ ^{3x 1}^



^_

I(x) =



^5x^{ }^{8 3x 1 5x}^



^{ }^{8 3x 1}^



I(x) =



^8x^^{9 2x}



^⁷



J(x) = (2x + 5)² − (7x + 1)²

(2)

J(x) = ^_



^{2x 5}^

 

^ ^{7x 1}^

 

^{ }_{ } ^{2x 5}^

 

^ ^{7x 1}^



^_

J(x) =



2x 5 7x 1 2x  



 5 7x 1



J(x) =



^9x^⁶



^^5x^⁴



Activité 704 - Corrigé

1) a) Lorsque N est au milieu du segment [BC], on a alors:

BN = 2 cm AM = BN = 2 cm

BM = AB - AM = 6 − 2 = 4 cm

BMN

BN BM 2 4 2 2 4

 

  

a cm²

b) Lorsque M est au milieu du segment [AB], on a alors:

AM = 3 cm BN = AM = 3 cm

BM = AB − AM = 6 − 3 = 3 cm

BMN

BN BM 3 3 2 2 4,5

 

  

a cm²

2) Lorsque BN = x, on a alors:

AM = BN = x

BM = AB − BN = 6 − x

 

BMN

x 6 x

BN BM

2 2

 

  

a =

6x x2

2



3) Pour remplir le tableau ci-dessous, dans l'expression 6x x2

2

 , on remplace x par 0, puis par 0,5, puis par 1, puis par 1,5 etc.... (inutile de remplacer x par 2 ou par 3, les calculs ont déjà été faits aux

questions 1) a) et b)).

pour x = 0, on a:

2 BMN

6 0 0 2 0

   

a pour x = 0,5, on a:

2 BMN

6 0,5 0,5 3 0, 25 2, 75

1,375

2 2 2

  

   

a pour x = 1, on a:

2 BMN

6 1 1 6 1 5

2 2 2 2,5

  

   

a

longueur du segment [BN] (en cm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Aire du triangle BMN (en cm²) 0 1,375 2,5 3,375 4 4,375 4,5 4,375 4

(3)

4) Voir courbe ci-contre

5) Lorsque l'aire du triangle BMN vaut 3 cm², la longueur du segment [BN] est alors environ égale à 1,3 cm (voir flèches violettes sur la figure ci-contre).

Activité 705 - Corrigé

L'entreprise n'est pas déficitaire lorsqu'elle réalise un bénéfice, c'est à dire lorsque la recette est supérieure au coût de production.

Graphiquement, on doit donc regarder pour quelles valeurs de x la droite d (qui représente la recette) est au dessus de la courbe

c

(qui représente le coût de production). Cela se produit quand x appartient à l'intervalle



^{10; 50}



L'artisan doit donc vendre entre 10 et 50 vases pour ne pas que son entreprise soit déficitaire.

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● Lire et comprendre le cours en s'aidant de la vidéo suivante:

https://youtu.be/Bolv4Xo-DM8

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Cours: 2de – Chapitre 08 – Fonctions – Partie 1

A quoi ça sert ?

Les fonctions permettent de modéliser des situations où deux grandeurs sont liées (c'est à dire

dépendantes l'une de l'autre) et permettent de voir l'évolution de ces deux grandeurs l'une par rapport à l'autre.

● Dans certains cas, une fonction se dégage de façon évidente.

Exemple:

Le prix de l'essence sans plomb est de 1,40 € le litre. Gaëlle veut faire le plein de sa voiture. Son

réservoir a une contenance de 40 litres. La station dans laquelle Gaëlle se sert ne délivre pas moins de 5 litres.

On modélise cette situation par une fonction f définie sur l'intervalle



^{5; 40}



Soit x le nombre de litres que Gaëlle met dans son réservoir et soit f(x) le prix payé pour x litres.

On a: f(x) = 1,4 × x = 1,4x

● Dans d'autres cas, des relevés de données peuvent amener à choisir un modèle parmi toutes les fonctions connues.

(4)

Exemple:

Un industriel produit et vend des engrais bio. Chaque mois, il vend entre 1000 et 6000 litres.Il a relevé, dans le tableau suivant,quelques valeurs de son bénéfice suivant la quantité d'engrais vendus. Le bénéfice est en milliers d'euros et les quantités en milliers de litres.

Les points sur le graphique ci-contre correspondent à ces valeurs.

milliers de litres 1 2 3 4 6 milliers d'euros 5,5 10 13,2 12,5 4 A l'aide d'un logiciel, on approche ces points par la courbe

représentant une fonction f. Ici, on a: f(x)= − 1,5x² + 10,2x – 4

I Définition et vocabulaire

Définition:

Soit d une partie de  (intervalle ou réunion d’intervalles).

On appelle fonction f définie sur d un procédé qui, à tout réel x de d, associe un unique réel y noté f(x) On note : f : d → 

x  y = f(x)

Remarques:

● x est la variable

●d est l'ensemble des valeurs pour lesquelles f(x) existe

est calculable





: d est le domaine de définition de f.

Par exemple, si on considère la fonction f: x  ¹

x, on sait que 0 n'appartient pas au domaine de définition de f car on ne peut pas remplacer x par 0: En effet, il est interdit de diviser par 0.

● f(x) est l'image de x par f (l'image de x est unique).

● Si y est l'image de x par f, alors x est un antécédent de y par f (y peut avoir d'autres antécédents) f est une fonction

f(x) est un nombre

(5)

Exemples:

1) Soit f la fonction définie sur [0; 10] par f(x) = x + 5 ²

● 4 appartient à l'intervalle [0; 10] donc l'image de 4 existe et s'obtient en remplaçant x par 4 dans la formule.

f(4) = 4²5 = 16 + 5 = 21 donc l'image de 4 est égale à 21 et un antécédent de 21 est égal à 4.

● 11 n'appartient pas à l'intervalle [0; 10] donc l'image de 11 n'existe pas.

2) Soit f la fonction telle que f(x) = ¹ x 3

● L'image de 1 est égale à f(1) = ¹ ¹ ¹ 1 3 2 2

 

● L'image de 2 est égale à f(2) = ¹ ¹ 1 2 3 1 

 

● Si on remplace x par 3, on obtient 0 au dénominateur, ce qui est impossible: 3 est donc un nombre dont l'image n'existe pas.

3 étant la seule solution de l'équation x − 3 = 0, on en déduit que 3 est le seul nombre dont l'image par f n'existe pas.

On écrit donc que le domaine de définition de la fonction f est égal à  \

 

³

(ensemble des réels sauf le nombre 3).

On peut aussi écrire que l'ensemble de définition de f est:



^{ }^{; 3}

 

^ ^3;^{ }



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

● Faire les exercices 810, 811, 707, 708 et 809 (ce dernier exercice uniquement pour ceux d'entre vous qui veulent prendre la spécialité maths en 1ère) avant dimanche 31 janvier au soir.

La prochaine séance devrait être envoyée le WE prochain.

Inutile de me les envoyer, je n'arrive plus à trouver du temps pour les corriger.

Néanmoins, si vous voulez que je regarde vos exercices pour avoir des conseils ou des explications, vous pouvez me les envoyer à l'adresse suivante: [email protected]

Exercice 810

Résoudre les équations suivantes:

a) x²8x 16 = 0 b) x²81 = 0 c) x²12x36 = 0 Rappel:

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins des facteurs est nul.... Il faut donc factoriser les membres de gauche de chacune des équations ci-dessus.

Exercice 811

Résoudre les équations suivantes:

b) 25x²20x = − 4 d) 7x²25x0

(6)

e)



^3x^⁷



²^{ }



^5x^⁴



²^{= 0} ^f)^9x² ^¹⁶

g) x⁴81 0 Aide:

Comme dans l'exercice précédent, il faut un produit nul: S'il n'y a pas 0 à droite, il faut d'abord « passer ce qui est à droite de l'autre côté » et ensuite, factoriser ce qui est à gauche.

Exercice 707

Donner l'expression algébrique f(x) de l'image du réel x par la fonction f définie par chacune des phrases suivantes:

a) « A tout réel, on associe le produit du carré de la somme de ce réel et de 1 par le cube de ce réel » b) « A tout réel non nul, on associe le triple de son carré diminué du triple de son inverse »

c) « A tout réel, on associe le quotient de ce réel par la somme du carré de ce réel et de 1 »

Exercice 708

Parmi les fonctions suivantes, indiquez celles pour lesquelles l'image de 0 est 3 puis celles pour lesquelles un antécédent de 5 est 1.

f : x 1  2x + 3 f : x ₂  2x² − x + 3

f : x 3  22x 3 f : x ₄  20

x3

Exercice 809

Uniquement pour les élèves voulant faire spé maths en 1ère

Factoriser les expressions suivantes à l'aide de la 3^ème identité remarquable:

K(x) = 16(3x − 5)² − (x + 1)²

M(x) = 36(4x + 3)² − 100(x − 1)² N(x) = 8x − 32 ²