Tsinee - Distanciel - Séance 09

(1)

Tsinee - Distanciel - Séance 09

Instructions

● Lire et comprendre le cours en vous aidant des vidéos suivantes:

https://youtu.be/c6CseeVKHI8 Primitives https://youtu.be/4g8ZGWMH9bA Intégrales

● Faire les exercices 701, 704, 705, 706, 708 et 709 .

Inutile de m'envoyer les exercices, je n'arrive plus à trouver du temps pour les corriger.

Néanmoins, si vous voulez que je les regarde pour avoir des conseils ou des explications, vous pouvez me les faire parvenir à l'adresse suivante: [email protected]

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● Lire et comprendre le cours en vous aidant des vidéos suivantes:

https://youtu.be/c6CseeVKHI8 Primitives https://youtu.be/4g8ZGWMH9bA Intégrales

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Cours:

Terminale STI2D - Chapitre 7 - Intégration

I Primitives

1) Définition

Définition:

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On appelle primitive de f sur I, une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est égale à f(x) Ainsi, pour tout x  I, on a: F '(x) = f(x)

Exemple:

Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 2x

La fonction F telle que ₁ F (x) = ₁ x² + 3 est une primitive de f car F '(x) = 2x = f(x) ₁ La fonction F telle que ₂ F (x) = ₂ x² + 9 est aussi une primitive de f car F '(x) = 2x = f(x) ₂ La fonction F telle que ₃ F (x) = ₃ x² − 5 est aussi une primitive de f car F '(x) = 2x = f(x) ₃ La fonction F telle que ₄ F (x) = ₄ x² − 90 000 est aussi une primitive de f car F '(x) = 2x = f(x) ₄

(2)

Plus généralement, les fonctions F telles que F(x) = x² + k sont des primitives de f car F’(x) = 2x = f(x) Autre exemple:

Soit f la fonction définie sur  par f(x) =



^24x^^{34 e}



^6x

Montrer que la fonction F définie sur  par F(x) =



^{4x 5 e}^



^6x est une primitive de f sur .

Méthode: On calcule F '(x) et on vérifie que F '(x) = f(x)

F est de la forme uv donc F ' est de la forme u'v + uv' avec: u(x) = 4x + 5 u'(x) = 4 v(x) = e^6x v'(x) = 6e^6x On a donc: F '(x) = ^{4 e}^ ^6x ^



^{4x 5}^



^^6e^6x

F '(x) = ^4e^6x^^{6 4x 5 e}



^



^6x

F '(x) = ^e^6x^_^{4 6 4x 5}^



^



^_

F '(x) = ^e^6x



^{4 24x}^ ^³⁰



F '(x) = ^e^6x



^24x^³⁴



F '(x) = f(x)

On a bien montré que F est une primitive de f sur .

2) Propriétés (admises)

● Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sont les fonctions G définies sur I par:

G(x) = F(x) + k

● Soit x un réel appartenant à I et y₀ 0 un réel quelconque.

Il existe une unique primitive F de f telle que:

F(x ) = y₀ 0

Exemple:

Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 3x² 1) Déterminer toutes les primitives de f

Les primitives de f sont les fonctions F telles que F(x) = x³ + k car F’(x) = 3x² = f(x) 2) Déterminer la primitive de f qui s'annule en 2

La primitive de f qui s’annule en 2 vérifie l’équation suivante: F(2) = 0 2³ + k = 0 8 + k = 0 k = − 8

La primitive de f qui s’annule en 2 est donc la fonction F telle que F(x) = x³ − 8

Suite du cours: voir page suivante

k

l’inconnue de l’équation est k

(3)

3) Primitives des fonctions usuelles

Fonction f Primitive F Intervalle de validité

f(x)= a F(x) = ax pour x  

f(x) = x F(x) =

x2

2 pour x  

f(x) = x ² F(x) =

x3

3 pour x  

f(x) = xⁿ, n entier naturel non nul F(x) = xn 1

n 1



 pour x  

f(x) = ¹₂

x F(x) = ¹

x pour x  0

f(x) = ¹

x F(x) = ln(x) pour x > 0

f(x) = e ^x F(x) = e^x pour x  

f(x) = 1

x F(x) = 2 x pour x > 0

f(x) = cos(x) F(x) = sin(x) pour x  

f(x) = sin(x) F(x) = − cos(x) pour x  

4) Primitives et opérations sur les fonctions

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel quelconque.

Soient F et G deux primitives respectives de f et g.

● Une primitive de la fonction kf est la fonction kF Exemple:

h(x) = 5x⁶

Soit H une primitive de h

h est de la forme 5 × f donc H est de la forme 5 × F avec:

f(x) = x ⁶ F(x) = x7

7 H(x) = 5 ×

7 7

x 5x

7  7

● Une primitive de la fonction f + g est la fonction F + G Exemple:

h(x) = 4x + 3⁵ x ² Soit H une primitive de h

h est de la forme f + g donc H est de la forme F + G avec:

f(x) = 4x⁵ F(x) =

6 6

x 2x

4 6  3

g(x) = 3x² G(x) =

x3

3 3 = x³

(4)

H(x) = 2x6

3 + ^x³

●Une primitive de la fonction x  e^kx est la fonction x  ¹e^kx k

Exemple:

f(x) = e^5x F(x) = ¹e^5x

5 (avec k = 5)

Cas particulier (à connaître par coeur): f(x) = e^^x

F(x) = ¹ e ^x e ^x 1

 

  

● Une primitive de la fonction t  ^{A cos}



^{  }^t



est la fonction t  ^A^sin



^{  }^t





Une primitive de la fonction t  ^{A sin}



^{  }^t



est la fonction t  ^^A^cos



^{  }^t





Exemples:

f(t) = 10 cos 5t 3

 

  

  et g(t) = 27 sin 3t 6

 

  

 

f(t) = ¹⁰sin 5t 2sin 5t

5 3 3

 

   

  

   

   

et G(t) = ²⁷cos 3t 9cos 3t

3 6 6

 

   

       

   

II Intégrale

Définition

f est une fonction définie et continue sur un intervalle I F est une primitive de f sur I

a et b sont deux réels appartenant à I

On appelle intégrale de f entre a et b le nombre noté

b

a

f (x)dx



et égal à F(b) – F(a)

 

b

a

f x dx



se lit « intégrale de a à b de f(x) dx » ou « somme de a à b de f(x) dx » a est la borne inférieure de l'intégrale

b est la borne supérieure de l'intégrale

La variable x est muette et peut être remplacée par n’importe quelle lettre :

   

b b

a a

f x dx f t dt

 

Par contre, écrire

 

b

a

f a da



ne veut rien dire, idem pour

 

b

a

f b db



Exemple:

Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 3x² + 8x − 6

(5)

Calculons I =

 

3

1

f x dx



F(x) =

3 2

x x

3 8 6 x x 4x 6x

3 2

       

F(1) = 1³ + 4 × 1² − 6 × 1 = 1 + 4 – 6 = − 1 F(3) = 3³ + 4 × 3² − 6 × 3 = 27 + 36 – 18 = 45 donc I = F(3) – F(1) = 45 – ( − 1) = 45 + 1 = 46 Calculatrice:

Il y a moyen de vérifier son résultat sur la calculatrice. Je vous conseille de le faire systématiquement.

Texas Instrument:

Touche math puis ligne 9: IntégrFonct(

La machine affiche:

_  

^d , il suffit de remplir les « trous »

III Cas particuliers des fonctions continues et positives

1) Unité d'aire

(O ; I ; J) est un repère orthogonal du plan.

L’unité d’aire (ua) est l’aire du rectangle OIKJ, K étant le point de coordonnées (1 ; 1)

Sur le graphique ci-contre, 1 ua = 10 × 2 cm² = 20 cm²

2) Exemple

● Calculons l'aire du trapèze ABCD dessiné ci-contre:

a

ABCD = ^{B b} h ^CD ^AB AD ^{5 3} 2 ⁸ 2 8

2 2 2 2

  

        ua

● Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x Calculons

5

3

f (x)dx



: F(x) = x2

2

 

5

3

f x dx



= F(5) – F(3) =

2 2

5 3 25 9 16

2 2 2 2 8

    

Petit conseil: Procéder étape par étape pour ne pas s'embrouiller.

D'abord F(1) puis F(3) puis F(3) – F(1) Attention à ne pas calculer F(1) – F(3)

à la place de F(3) – F(1)

(6)

On remarque que

5

3

f (x)dx



est égale à l'aire du domaine située entre la courbe représentant f, les droites d'équation x = 3 et x = 5 et l'axe des abscisses. Plus généralement, on obtient la propriété suivante:

3) Propriété (admise)

f est une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a ; b] (a < b)

c

est sa courbe représentative.

L’aire (en ua) du domaine situé sous la courbe, c’est à dire l’aire du domaine d délimité par

c

, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b est égale à l'intégrale de a à b de la fonction f

b

a

f (x)dx



= Aire (d)

4) Cas particulier: fonction constante

si a  b et si f(x) = k (où k est un réel positif quelconque) alors F(x) = kx et

b

a

f (x)dx



= kb – ka = k(b – a)

IV Application du calcul intégral

1) Calcul d'aire

Aire du domaine entre deux courbes

Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] telles que f(x)  g(x) pour tout x  [a; b] alors l'aire (en ua) du domaine d compris entre

c

f ,

c

g et les droites d'équation x = a et x = b. est égale à:

   

b

a

f x g x dx

 

 



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

voir page suivante pour les exercices à faire

k

a b

(7)

Exercice 701

Soit f et F les fonctions définies sur  par f(x) = 3x² − 4x + 3 et F(x) = x − 2x³ ² + 3x − 9 1) Montrer que F est une primitive de f sur .

2) Déterminer la primitive G de la fonction f sur  telle que G(1) = 7

Exercice 704

Calculer (On donnera la valeur exacte puis, si nécessaire, une valeur approchée à 0,01 près):

I =

 

5 2 2

6x 4x 1 dx



^{J =}

^ ^

3

2

2x 5 dx



 



^{K =} ^{cos x dx}

^{ }



 



L =

e

1

1dx



x ^{M =}

 

ln 5 x ln 3



e dx ^{N =}

7 4x 5

e^ dx





Exercice 705

Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 3x − 10x + 40 ² a) Déterminer toutes les primitives de f sur 

b) Déterminer la primitive F de f telle que F(5) = 8 c) Calculer la valeur exacte de l'intégrale

 

5

1

f t dt



Exercice 706

Soit la fonction f définie sur [0; 5] par f(x) = (5 − x)e^^0,1x

1) Montrer que la fonction F définie sur [0; 5] par F(x) = (10x + 50)e^^0,1x est une primitive de f sur [0; 5].

2) Calculer la valeur exacte de l'intégrale

 

5

0

f x dx



puis une valeur approchée à 0,01 près.

Exercice 708

La courbe

c

ci-contre est formée de segments. Elle représente une fonction f.

Calculer les intégrales suivantes:

a)

 

3

5

f t dt





b)

 

2

3

f x dx





c)

 

5

2

f z dz



d)

 

5

f a da





Exercice 709

Calculer l'aire du domaine colorié ci-contre sachant que

c

représente la fonction x  x²