Partie no1 : Étude d’un exemple Dans cette partie, on cherche tous les nombres complexesx solutions de l’équation (E

Problème : Méthode de Cardan pour la résolution de l’équation de degré 3

L’objectif de se problème est de présenter et d’appliquer la méthode de Cardan, méthode servant à résoudre les équations de type

(E) : x³+bx²+cx+d= 0 oùb, c, d∈C. Partie n^o1 : Étude d’un exemple

Dans cette partie, on cherche tous les nombres complexesx solutions de l’équation (E) : x³+ 3x²+ 3(1−i)x+ 2−4i= 0.

1. Soient x et z deux complexes tels que x = z−1. Montrer que x est solution de (E) si, et seulement si,z est solution de

(E⁰) : z³−3iz+ 1−i= 0.

2. On pose z=u+v avec u etv deux complexes. Montrer que siz est solution de(E⁰) alors u³+v³+ (u+v)(−3i+ 3uv) + 1−i= 0.

3. On décide alors de chercher uetv de sorte que (S) :

u³+v³+ 1−i= 0,

−3i+ 3uv= 0.

Dans ce cas, que vautu³v³?

4. En déduire que le couple(u³, v³) est solution d’un système somme-produit que l’on résolvera.

5. À l’aide de la valeur de uv, en déduire les valeurs possibles pour le couple(u, v).

6. En déduire une factorisation de l’équation (E⁰) et résoudre(E⁰).

7. Résoudre (E).

Partie n^o2 : Cas général

Dans cette partie, on adapte la méthode de l’exemple précédent au cas général.

On considère dorénavant l’équation suivante

(E) : x³+bx²+cx+d= 0 oùb, c, d∈C.

1. Déterminer h ∈ Cpour que x ∈ Csoit solution de (E) si, et seulement si, x =z−h ∈ Csoit solution de

(E⁰) : z³+pz+q = 0 où p= ^−b2₃^+3c etq= ^{2b3+27d−9bc}₂₇ .

Que dire sip=q = 0? Dans toute la suite, on supposera (p, q)6= (0,0).

2. On considère le système d’inconnue (u, v)∈C² suivant : (S) :

u³+v³=−q, uv=−^p₃.

Montrer que si (u, v) est solution de (S) alorsz=u+v est solution de (E⁰).

1

3. Montrer que si (u, v) est solution de (S) alorsu³ etv³ sont les solutions de l’équation t²+qt− p³

27 = 0 (X)

d’inconnue t∈C.

4. Montrer qu’il existe α une racine cubique d’une solution non nulle à l’équation(X).

5. D’après 2., c’est naturellement que l’on posez0 =α−_3α^p ,z1 =jα−_3α^p j² etz2 =j²α−_3α^p j.

(a) Montrer que(z−z0)(z−z1)(z−z2) =z³−σ1z²+σ2z−σ3 où







σ₁ =z₀+z₁+z₂ σ₂ =z₀z₁+z₁z₂+z₀z₂ σ3 =z0z1z2

(b) Prouver que (z−z₀)(z−z₁)(z−z₃) =z³+pz+q.

6. En déduire les solutions de (E⁰).

7. En déduire les solutions de (E).

8. Dans cette question, on suppose quea, b, c∈R. On pose∆ = 4p³+ 27q². (a) Montrer que si (E⁰) possède une racine double alors ∆ = 0.

(b) Si∆>0, montrer que(E)possède trois racines distinctes : une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.

(c) Si∆<0, montrer que(E) possède trois racines réelles distinctes.

(d) Si∆ = 0, montrer qu’il est possible de choisirα² =−^p₃ et en déduire que (E)possède deux racines distinctes : une racine réelle simple et une racine réelle double.

* * * FIN DU SUJET * * *

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