Une belle collection d'angles
Problème D180 de Diophante
Les angles aux sommets B et C d'un triangle ABC valent respectivement 80° et 60°. Sur la droite BC, on trace le point D de l'autre côté de B par rapport à C tel que l'angle ADB est égal à 40°.On porte sur le côté AC entre A et C le point E tel que l'angle ABE est égal à 10°. A l'intérieur du segment BE, on trace le point F tel que l'angle ACF est égal à 20°. Sur le droite AF on porte le point G du même côté que F par rapport à BC tel que CG = CD.Enfin à l'intérieur du segment BC, on trace le point H tel que EH + HB = EC + CH. Trouver les trois angles que font respectivement les droites AF, CG et EH avec la droite BC.
Nota : une solution purement géométrique est évidemment la bienvenue.
Solution
Pour trouver en abondance des angles de 10°, 20°, etc. procurons nous un polygone régulier de dix-huit côtés.
Notons O son centre et S1, S2, … , S18 ses sommets, U le milieu de S6S8 et V le milieu de S9 S11, conformément à la figure ci-dessous.
Q
O R
T P
U
V S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
W S9
S10
S11
S12
S13
S14 S15
S16
S17
S18
S8
Soit P le point d’intersection des droites S1S6 et OS7. Alors le quadrilatère OS6PS8 est un losange de centre U. Par ailleurs, le triangle OUV est équilatéral et U se projette orthogonalement à OV au milieu de OV donc P se projette
orthogonalement à OV en V. Autrement dit, P est sur la droite S9S11.
Soit Q le point d’intersection des droites PV et OS8. Alors par symétrie par rapport à OQ, le point Q est sur la droite S5S7.
Soit R le point d’intersection des droites OV et S7S9.
Enfin, soit W le point d’intersection des droites OV et S5S11. Alors, on constate que la droite S8S13 passe par P (comme symétrique de S1S6 par rapport à OS7) et par W (comme symétrique de OV par rapport à S5S11). De même, passent par W les deux droites S9S15 et S7S12.
On constate aussi que R est le symétrique de W par rapport à PV car les angles VRS9 et VW S9 valent respectivement 50° et –50°.
Il est maintenant possible d’indiquer, pour chaque droite, l’angle orienté qu’elle fait avec l’axe VO, qui est un multiple entier de 10°. Nous le faisons sans l’écrire pour ne pas surcharger la figure, que nous présentons autrement ci-dessous.
H G
F
E
D C
B A
On reconnaît là la figure décrite dans l’énoncé et on peut répondre : FA et CG font respectivement 90° et 160° avec BC.
Pour le point H, voici une construction purement géométrique.
D A
C B
E
M
P H
Q
R K
Ci-dessus, HP = HC + CE et BK = BH + HE.
L’égalité HP = BK équivaut à BP et HK ont même milieu M.
Construisons P puis M. Il s’agit alors de trouver H tel que HE = 2 HM. Donc H est sur le cercle de diamètre QR, lieu des points X tels que XE = 2 XM.
Ceci étant, je suis incapable d’évaluer l’angle de HE avec BC.
Par le calcul, on vérifie que HE fait un angle de 100° avec BC.
