D154. Le tranchet du cordonnier
L’outil préféré de Sutor est un tranchet en acier trempé dont le contour est délimité par trois demi-cercles tangents 2 à 2, de centres , , , et de diamètres tous distincts 2, 2 et 2 tels que 2 2 2.
Sutor a gravé sur le tranchet le segment de longueur d tangent aux demi-cercles intérieurs et le cercle inscrit de centre et de rayon tangent aux trois demi-cercles. Toutes les longueurs ,, , et s’expriment en nombres entiers de millimètres.
Sachant que le diamètre du plus grand cercle tient dans l’empan de la main droite de Sutor, déterminer les dimensions , , du tranchet.
Pour les amateurs de géométrie:
• Donner une construction à la règle et au compas de et du cercle inscrit de centre I tangent aux demi- cercles.
• D est à l’intersection de la perpendiculaire en à avec la circonférence du plus grand cercle. et sont les points de tangence du cercle inscrit de centre avec les cercles de centres et .
Quels sont en millimètres les rayons respectifs :
o du cercle de centre tangent à et aux cercles de centres et , o du cercle de centre tangent à et aux cercles de centres et , o du plus grand cercle de centre tangent à PQ et au cercle de centre , o du cercle de centre qui passe par les trois points , et .
Solution
Expression des dimensions du tranchet
Une application du théorème de Pythagore dans le triangle de la figure ci-dessus donne immédiatement : 2√.
On utilise la formule de Héron d’Alexandrie (donnant l’aire d’un triangle, fonction de ses côtés) pour exprimer que et ont même hauteur issue de :
!
!
C P
O1 O2
Q
b c
d
c c
b-c
I
O1 O O2
b+c-r b+r
c b
c+r
Dimensions entières du tranchet
Remarquons d’abord que l’homogénéité des formules précédentes permet d’affirmer : , , , , solution " #, #, #, #, # solution.
On se contentera donc de chercher les solutions « primitives ».
De façon à réduire le champ des recherches, écrivons l’expression de sous la forme d’une équation de second degré en . Son discriminant doit nécessairement être un carré pour en fournir une racine entière :
∆ % 2&
'∆ (
2
Les solutions « primitives » de cette dernière relation sont les triplets pythagoriciens donnés par :
)
∆* |, -| 2 2,- , -
. avec , pair, - impair
En supposant , , majorés par / 150, on obtient les majorations 3 456378, puis de 3/ 200 et 2 3/ 100.
On établit les tableaux suivants, donnant les différentes grandeurs , 2, et ∆
*, en fonction de , et -, et en tenant compte des majorations précédentes :
2 ∆
*
1 3 5 7 9 11 13 1 3 5 7 9 11 13 1 3 5 7 9 11 13
2 5 13 29 53 85 125 173 2 4 12 20 28 36 44 52 2 3 5 21 45 77 117 165 4 17 25 41 65 97 137 185 4 8 24 40 56 72 88 4 15 7 9 33 65 105
6 37 45 61 85 117 157 6 12 36 60 84 6 35 27 11 13
8 65 73 89 113 145 185 8 16 48 80 8 63 55 39
10 101 109 125 149 181 10 20 60 100 10 99 91 75
12 145 153 169 193 12 24 72 12 143 135
14 197 14 28 14 195
On établit ensuite, sur le même principe, les tableaux complémentaires donnant , et . On tient en outre compte que est un entier, que 9 et que est également entier :
1 3 5 7 9 11 13 1 3 5 7 9 11 13 1 3 5 7 9 11 13
2 3 7 19 39 67 103 147 2 14 2
4 13 13 21 37 61 93 4 39 84 4 84
6 31 27 31 43 6 6
8 57 49 49 8 8
10 91 79 75 10 10
12 133 117 12 39 12 Une unique solution échappe à ce crible :
, , , , 105,21,84,84,20
C O2 O5
P1
D
O1
P
O
Q
b+c b b-c b-c
b+c
b-2·r5
2·r5
c
O6
S
O1 C
I
R
O2 c r
b
c b
r
Dimensions des autres cercles
On appelle le rayon du cercle de centre considéré et on établit la figure ci-contre. Le théorème de Pythagore appliqué aux deux triangles rectangles permet d’obtenir :
16,8
Le même raisonnement pour le cercle de centre et de rayon fournit également :
16,8
Soit tel que soit un rectangle. Les triangles et sont rectangles. Leur hypoténuse, et l’un de leurs autres côtés, sont respectivement de même longueur. Les triangles sont donc isométriques.
Donc = =, soit > > et ? . Le cercle de centre et de rayon tangent à passe par le point .
On obtient finalement la figure ci-contre. Le théorème de Thalès appliqué aux triangles homothétiques (bas de la figure) donne :
2
2
16,8
Les triangles , et étant isocèles, les perpendiculaires à , , menées en , , , se coupent en équidistant de , , , et centre du cercle inscrit à . Le rayon de ce cercle inscrit peut être déduit des longueurs des trois côtés grâce à la relation :
Compte tenu de l’expression de démontrée dans la première partie, on déduit enfin :
16,8
O3
O O1
b+r3
b-c-r3 b-r3
b+c-r3
Constructions géométriques
On conclut de tout ce qui précède les constructions suivantes :
On construit le point (respectivement à l’intersection de la parallèle à en (respectivement ) et du demi-cercle de centre (respectivement ) et de rayon (respectivement ).
On construit au milieu du segment joignant avec l’intersection de et , puis sur %& en reportant la longueur .
Le cercle de centre passant par coupe le demi-cercle de centre (respectivement ) et de rayon (respectivement ) en (respectivement en ).
On construit le point à l’intersection de et .
