D20494. Segment tangent
On trace la tangente commune à une ellipse donnée et à un cercle de même centre. Quand le rayon du cercle varie, quelle est la plus grande distance entre les deux points de contact ?
Solution
Soitt l’angle de la tangente avec le petit axe de l’ellipse x2/a2+y2/b2 = 1.
Son point de contact a pour coordonnées x=rcost−ssint,y=rsint+scost.
La distance entre ce point et le point de contact avec le cercle de rayon r ests=ycost−xsint.
Les paramètres directeurs de la normale à l’ellipse sont (x/a2, y/b2) = (cost,sint), d’où les égalités
a2cost
x = b2sint
y = sintcost(b2−a2)
s =±pa2cos2t+b2sin2t.
On en tire (a2−b2)2/s2 = (a+b)2+ (acott−btant)2, d’où le maximum de s=a−bpour tant=pa/b,r=√
ab.
