D2912 . Un cercle tangent à un côté : Problème proposé par Jean-Louis Aymé
Soit un carré ABCD.
On désigne par : K un point sur [CD],
M, L deux points sur (AB) tels que le triangle KLM soit équilatéral,
P, Q les points d'intersection respectivement de (LK) et (AC) et de (MK) et (BC), R le point d'intersection de (PC) et (QK),
Démontrer que le cercle circonscrit au triangle PQR est tangent à (BC) en Q.
--- Solution proposée par Nicolas Petroff
Soit le repère (DC,DA) et soit k l’abscisse du point K et a l’abscisse du point C.
Dans ce repère on considère les droites KP , PC , KQ.
- Droite KP : elle passe par K(k,0) et a pour pente -tg(60) = y = . - Droite PC : elle passe par C(a,0) et a pour pente –tg(45) = -1 y = -1(x-a) .
- Droite KQ : elle passe par K(k,0) et a pour pente tg(60) = y = . Le point P a donc pour abscisse
et pour ordonnée
. Le point Q a donc pour abscisse et pour ordonnée KQ = = 2(a-k) ,
PQ = = .
Soit l’angle (PK,PQ) , dans le triangle PKQ , on utilise les relations sin(60)/PQ = sin( /KQ Sin( = sin(60)
=
=
= = 45 degrés dans le triangle PQK : angle (QK,QP) = 180-60-45 = 75 degrés .
Dans le triangle inscrit PQR , (RQ,RP) = 75 degrés , et si O est le centre du cercle exinscrit à PQR , (OQ,OP) = 150 degrés , (QO,QP) = 15 degrés (QO,QK) = 60 degrés .
Or l’angle (CQ,CK) = 180-60-90 = 30 degrés OQ perpendiculaire à CQ le cercle est bien tangent à CQ .
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