D154 : Le tranchet du cordonnier
Rappelons quelques propriétés que nous utiliserons : une inversion de pole O et de puissance p réel est une transformation ponctuelle involutive qui à tout point M fait correspondre M’ colinéaire avec O et M, tel que OM*OM’=p (mesures orientées) ; une droite passant par le pole, ainsi qu’un cercle par rapport auquel la puissance du pole est p (puissance d’inversion) sont globalement invariants. Une droite ne passant pas par le pole a pour inverse un cercle passant par le pole. Enfin l’inverse d’un cercle (C) ne passant pas par le pole est un autre cercle, le rapport des rayons étant égal au rapport, en valeur absolue, de la puissance du pole par rapport à (C), à la puissance de
l’inversion.
Pour alléger la rédaction, nous désignerons par (O) le cercle de centre O, de rayon a, etc…
La perpendiculaire ∆ en C à AB coupe PQ en M ; puisque MC est tangente aux deux cercles, MC=MP et MC=MQ, donc M est milieu de PQ ; C appartient au cercle de diamètre PQ (de centre M) ; O1 est sur la bissectrice de l’angle CMP, et O2 sur celle de CMQ : l’angle O1MO2 est droit, et C est le pied de la hauteur issue de M dans le triangle rectangle O1MO2, donc MC2=O1M*O2M, ou encore (PQ/2)2=bc, soit d=2√(bc). Au
passage, notons la construction de PQ : on construit le cercle de diamètre O1O2 et la perpendiculaire en C à AB, dont l’intersection est le point M ; le cercle de centre M et de rayon MC recoupe les deux demi-cercles tangents en P et Q.
Dans l’inversion de pole C et de puissance –4bc, le cercle (O1) se transforme en la droite ∆1 perpendiculaire à AB en B, et le cercle (O2) en la droite ∆2 perpendiculaire en A à AB. Par ailleurs le cercle (O) de rayon est globalement invariant. Le transformé du cercle tangent à ces trois cercles est donc un cercle tangent à D1 et D2 ainsi qu’au cercle (O). Il est donc de rayon a, et son centre J est situé sur la perpendiculaire en O à AB, tel que OJ=2a.
La puissance de C par rapport à ce cercle est donc égale à
CJ2-a2=OC2+OJ2-a2=(b-c)2+3(b+c)2=4(b2+bc+c2), le rapport des rayons à bc/(b2+bc+c2).
Le rayon r cherché est donc : r=bc(b+c)/(b2+bc+c2).
Posons u=b/c (u>1); alors d=2c√u et r=cu(1+u)/(u2+u+1). Pour que d soit entier, u doit être carré d’un rationnel : u=p2/q2, avec p et q entiers premiers entre eux : donc d=2cp/q et r=cq(p4+p2q2)/(p4+p2q2+q4). Le reste de la fraction étant irréductible, il faut que c soit divisible par p4+p2q2+q4 pour que r soit entier, et par q pour que d soit entier.
La valeur minimale de c est donc q2(p4+p2q2+q4), donc celle de a, (p2+q2)(p4+p2q2+q4) avec p>q : or, pour p=3, q=1 cette expression vaut déjà 910, ce qui excède un empan normal. La seule solution admissible est donc obtenue pour p=2 q=1, soit c=21, b=84, a=105, d=84, r=20 .
Soit T le point de contact du cercle (I) avec le cercle (O) ; les inverses R’, S’, T’ de R, S et T appartiennent respectivement à D1, D2 et (O) tels que BR’=2a, AS’=2a et T’ milieu de l’arc AB sur le demi-cercle complétant (O). R, S et T sont alors les intersections des droites CR’, CS’, CT’ avec les demi-cercles ; et on construit (I) à partir de R S et T.
La tangente commune ∆ aux deux demi-cercles reste globalement invariante dans l’inversion : l’inverse du cercle (O3) sera donc un cercle tangent à ∆, à ∆1 et
extérieurement à (O). Il a donc pour rayon c, et son centre O’3 est situé sur la
perpendiculaire en O2 à AB, tel que OO’3=a+c. La puissance de C par rapport à (O’3) est donc CO’32-c2=CO22+OO’32-OO22-c2=(a+c)2-b2=4ac, et le rayon de (O3) vaut c*4bc/(4ac) soit bc/a.
Même raisonnement pour le cercle (O4), en permutant b et c, et le rayon de (O4) vaut encore bc/a.
La distance de O à la droite PQ vaut (b2+c2)/a ; le rayon du plus grand cercle tangent à PQ et à (O) est donc (a-(b2+c2)/a)/2 soit encore bc/a.
Enfin, nous avons vu que R’S’ est parallèle à AB, à une distance égale à 2a. Le point diamétralement opposé à C sur le cercle (O6) est l’inverse du pied de la perpendiculaire menée de C à R’S’ ; le rayon du cercle (O6) vaut donc (4bc/2a)/2 soit encore bc/a.
Les quatre cercles (O3), (O4), (O5) et (O6) ont même rayon bc/a=16,8
