équiprobables) successivement et avec remise deux entiers dans cette ensemble.

(1)

On considère l’ensemble des n premiers entiers naturels non nuls

{ }

1; n = 1; 2 ;...; n

c f

d g

e h

. On choisit au hasard (on suppose les tirages

équiprobables) successivement et avec remise deux entiers dans cette ensemble.

On définit trois variables aléatoires X, Y et Z de la façon suivante :

• X correspond au plus grand des deux entiers obtenus.

• Y correspond au plus petit des deux entiers obtenus.

• Z X Y = − .

1. Pour chacune des lois X et Y, donner la fonction de répartition, la loi de probabilité, l’espérance et la variance.

2. Déterminer la loi du couple ( X, Y . Les variables aléatoires X et Y )

sont-elles indépendantes ?

3. Déterminer la loi de Z puis donner son espérance et sa variance.

En déduire cov X, Y . ( )

Analyse

Un exercice complet autour des notions de couple de variables aléatoires, d’espérance, de variance et de covariance. La situation proposée est générale puisque le nombre n n’est pas fixé. Les calculs sont donc fondamentalement des calculs littéraux constituant un excellent entraînement. On peut-même facilement effectuer des simulations numériques à partir de cette situation.

Résolution

Question 1.

A titre de préambule, soulignons qu’il y a n² façons de choisir deux entiers successivement avec remise dans l’ensemble

a b

^1;ⁿ (n possibilités pour le premier et autant pour le second puisqu’il y a remise).

(2)

Variable aléatoire X

Les deux entiers choisis pouvant tous les deux être égaux en prenant n’importe quelle valeur dans

a b

^1;ⁿ , le support de la loi X est donc cet ensemble : ^X

( )

^{Ω =}

a b

^1;ⁿ ^.

Notons F_X la fonction de répartition de la variable aléatoire X.

X étant discrète, on cherche, pour tout entier k dans

a b

^1;ⁿ ^:FX

( )

k =P

(

X≤k

)

.

Si le plus grand des deux entiers choisis est inférieur ou égal à k alors les deux entiers le sont.

Réciproquement, si les deux entiers choisis sont tous deux inférieurs ou égaux à k, alors le plus grand d’entre eux le sera également.

En définitive, l’événement « X≤k » est réalisé si, et seulement si, les deux entiers choisis sont inférieurs ou égaux à k.

La probabilité ^P

(

^X^≤^k

)

est donc égale à la probabilité de choisir les deux entiers dans

a b

^1;^k . Comme il y a k² façons de choisir deux entiers successivement avec remise dans cet ensemble, on obtient finalement :

( ) ( )

²

X X k2

F k P k

= ≤ = n Pour n=6 par exemple, on obtiendra :

(3)

On a alors :

( ) ( )

X

( )

²2 2

1 1

X 1 X 1 1

P P F

n n

= = ≤ = = = et pour tout entier k de

a

^{2 ;}^k

b

^:

( ) ( ) ( )

²

( )

²

X X 2 2 2

1 2 1

X 1 k k k

P k F k F k

n n n

− −

= = − − = − =

On note que l’expression obtenue redonne ^P

(

^X ¹

)

¹₂

= =n lorsque l’on remplace k par 1.

On a donc finalement :

a b ( )

2

2 1

1 ; , X k

k n P k

n

∀ ∈ = = −

On a alors, en notant ^{E X}

( )

l’espérance de X :

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ( ) )

( )( )

1

2 1

2 2

1 1

2

E X X

2 1

1 2

1 2 1 1

1 2

6 2

1 1

2 2 1 3

6

1 4 1

6

n

k n

k

n n

k k

k P k

k k n

k k

n

n n n n n

n

n n n

n

n n

n

=

= =

= × =

= × −

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

+ + +

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

= × + + −

+ −

=

∑

∑ ∑

( ) (

^{1 4}

)(

¹

)

E X 6

n n

n

+ −

=

Pour ce qui est de la variance, notée ^{V X}

( )

^:

( ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

1

2 2

2

2 2

1

2 2

3 2

2 2

1 1

V X E X E X

1 4 1

X 6

1 4 1

2 1

36

1 4 1

1 2

36

n

k n

k

n n

k k

n n

k P k

n

n n

k k

n n

k k

n n

=

= =

= −

+ −

⎡ ⎤

= × = − ⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ −

= × − −

+ −

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠−

∑

∑ ∑

(4)

On tenant alors compte de 3

( )

² ²

( )

²

1

1 1

2 4

n

k

n n n n

k

=

+ +

⎛ ⎞

=⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

∑

, il vient :

( ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

3 2

2 2

1 1

2 2 2

2

2 2

2 2 2

3 2 2 2

2

3 2 3 2 2

2

V X E X E X

1 4 1

1 2

36

1 1 2 1 1 4 1

1 2

4 6 36

1 18 1 6 2 1 1 4 1

36

1 18 18 12 6 1 16 8 1

36

1 18 6 6 16 8 16 8

36

n n

k k

n n

k k

n n

n n n n n n n

n n

n n n n n n n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n n n

n

= =

= −

+ −

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠−

⎛ + + + ⎞ + −

= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠−

= + + − + − + −

= + + − − − + − +

= + + − − − + + −

∑ ∑

( )

( ) ( )

( )( )

3 2 3 2

2

3 2

2

2 2

2

1

1 18 6 6 16 8 7 1

36

1 2 2 1

36

1 1 2 1

36

1 2 1

36

n

n n n n n n n

n

n n n n

n

n n n

n

n n

n

+

= + + − − + − +

= + − + −

= + − +

− +

=

( ) (

²

)(

²

)

2

1 2 1

V X 36

n n

n

− +

=

Variable aléatoire Y

Les deux entiers choisis pouvant tous les deux être égaux en prenant n’importe quelle valeur dans

a b

^1;ⁿ , le support de la loi Y est donc, comme précédemment, l’ensemble :

( ) a b

Y Ω = 1;n .

Notons F_Y la fonction de répartition de la variable aléatoire Y.

Y étant discrète, on cherche, pour tout entier k dans

a b

^1;ⁿ ^:

( ) ( ) ( )

Y Y 1 Y

F k =P ≤k = −P >k

Si le plus petit des deux entiers choisis est strictement supérieur à k alors les deux entiers le sont.

(5)

Réciproquement, si les deux entiers choisis sont tous deux strictement supérieurs à k, alors le plus petit d’entre eux le sera également.

En définitive, l’événement « Y>k » est réalisé si, et seulement si, les deux entiers choisis sont strictement supérieurs à k.

Pour tout entier k dans

a

^1;ⁿ⁻¹

b

, la probabilité ^P

(

^Y^>^k

)

est donc égale à la probabilité de choisir les deux entiers dans

a

^k⁺^{1 ;}ⁿ

b

. Comme il y a ^⎡_⎣ⁿ⁻

(

^k^{+ +}¹

)

¹^⎤_⎦² ⁼

(

ⁿ⁻^k

)

² façons de choisir deux entiers successivement avec remise dans cet ensemble, on obtient finalement :

( ) ( ) ( )

² ²

( )

²

( )

Y 2 2 2

Y 1 n k n n k k 2n k

F k P k

n n n

− − − −

= ≤ = − = =

Remarque : l’expression obtenue reste valable pour k=n puisque l’on a immédiatement

(

^Y

)

⁰

P >k = et FY

( )

n =P

(

Y≤n

)

=1. Pour n=6 par exemple, on obtiendra :

(6)

On a alors :

( ) ( )

Y

( )

2

2 1

Y 1 Y 1 1 n

P P F

n

= = ≤ = = − et pour tout entier k de

a

^{2 ;}^k

b

^:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Y Y

2 2

2

Y 1

1 1 1

1

2 1 2

P k F k F k

n k n k

n n

n k n k

n

n k

n

= = − −

⎡ ⎤

− − +

= − − −⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

− + − −

=

= + −

On note que l’expression obtenue redonne ^P

(

^Y ¹

)

²ⁿ₂¹

n

= = − lorsque l’on remplace k par 1.

On a donc finalement :

a b

^{1 ;} ^,

(

^Y

)

²ⁿ ^{1 2}₂ ^k

k n P k

n

∀ ∈ = = + −

On a alors, en notant ^{E Y}

( )

l’espérance de Y :

( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

1

2 1

2 2

1 1

2

E Y Y

2 1 2

1 2 2 1

1 2 1 1

1 2 2 1

6 2

1 2 1

1 2 3

6

1 2 1

6

n

k n

k

n n

k k

k P k

n k

k n

k n k

n

n n n n n

n n

n n n

n

n n

n

=

= =

= × =

= × + −

⎛ ⎞

= ⎜⎝− + + ⎟⎠

+ + +

⎛ ⎞

= ⎜− + + ⎟

⎝ ⎠

+ +

= × − +

+ +

=

∑

∑ ∑

( ) (

^{1 2}

)(

¹

)

E Y 6

n n

n

+ +

=

(7)

Pour ce qui est de la variance, notée ^{V Y}

( )

^:

( ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ⁽ ^{) (} ⁾

2 2

1

2 2

2

2 2

1

2 2

2 3

2 2

1 1

2 2 2

2

2 2

2

2 2

V Y E Y E Y

1 2 1

Y 6

1 2 1

2 1 2

36

1 2 1

1 2 1 2

36

1 2 1 1 1 2 1

1 2 1 2

6 4 36

1 1 2 1

1 2 1 3 1

6 36

n

k n

k

n n

k k

n n

k P k

n

n n

n k

k n n

n n

n k k

n n

n n n n n n n

n n n

n n n n

n n n

n n

=

= =

= −

+ +

⎡ ⎤

= × = − ⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ +

= × + − −

+ +

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − ⎟⎠−

⎛ + + + ⎞ + +

= ⎜⎜⎝ + − ⎟⎟⎠−

+ + +

= × + − + −

=

∑

∑ ∑

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

( ) ⁽ ⁾⁽ ⁾

( ) ( )

( )

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

3 2 2

2

3 2 3 2 2

2

3 2

2

1 2 1

1 4 4 1 3 3

6 36

1 2 1

1 1

6 36

1 6 1 1 2 1

36

1 6 6 6 1 4 4 1

36

1 6 6 6 4 4 4 4 1

36

1 2 2 1

36

n n

n n n n n

n n

n n n

n n

n n n n n n

n

n n n n n n n

n

n n n n n n n n n

n

n n n n

n

+ +

+ + + − − −

+ +

= + + + −

+ ⎡ ⎤

= ⎣ + + − + + ⎦

+ ⎡ ⎤

= ⎣ + + − + + + ⎦

= + + + − − − − − −

= + − + −

La somme des coefficients de 2n³−2n²+ −n 1 étant égale à 0, 1 est racine du polynôme

3 2

2X −2X + −X 1 (attention « X » désigne ici l’indéterminée et n’a rien à voir avec la variable aléatoire X !) et on peut donc factoriser par n−1. On peut aussi procéder comme suit : ²ⁿ³⁻²ⁿ²^{+ − =}ⁿ ¹ ²ⁿ²

(

ⁿ^{− +}¹

) (

ⁿ^{− =}¹

) (

ⁿ⁻^{1 2}

) (

ⁿ²⁺¹

)

^{. Ainsi :}

( ) ( )

( )( )

3 2

2

2 2

2

V Y 1 2 2 1

36

1 1 2 1

36

1 2 1

36

n n n n

n

n n n

n

n n

n

= + − + −

= + − +

− +

=

( ) (

²

)(

²

)

2

1 2 1

V Y 36

n n

n

− +

=

(8)

On remarque que l’on a : ^{V X}

( )

⁼^{V Y}

( )

^.

Question 2.

Pour tout couple

( )

^{i j}^, ^dans

a b a b

^{1 ;}ⁿ ^× ^{1 ;}ⁿ , on cherche P

(

^X=i^{et Y}= j

)

= pij.

• Si i< j, on a immédiatement p_ij =0 (rappelons que X désigne le plus grand des deux entiers obtenus !).

• Si i= j, on est dans la situation ou les deux nombres obtenus sont égaux et la probabilité correspondante vaut immédiatement 1₂

pij

= n (une seule possibilité).

• Si i> j, deux tirages conduisent à la réalisation de l’événement « X=iet Y= j » : i puis j et j puis i. On a donc : 2₂

pij

= n . Loi du couple

(

^{X, Y :}

)

pour tout couple

( )

^{i j}^, ^dans

a b a b

^{1 ;}ⁿ ^× ^{1 ;}ⁿ ^:

• Si i< j, 0p_ij = .

• Si i= j, 1₂ pij

=n .

• Si i> j, 2₂ pij

=n .

D’après la question 1, on a : ^P

(

^X ⁱ

)

²ⁱ₂¹

n

= = − et ^P

(

^Y ^j

)

²ⁿ ^{1 2}₂ ^j

n

= = + − .

En général, on : ^P

(

^X ⁱ

) (

^P ^Y ⁱ

)

²ⁱ₂^{1 2}ⁿ ^{1 2}₂ ⁱ ¹₂ ^P

(

^X ⁱ^{et Y} ⁱ

)

n n n

− + −

= × = = × ≠ = = = .

En effet :

( )( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2

2 2

2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2

4 2 4 2 1 2

4 4 1 2 1 0

4 4 1 1 0

2 1 0

i n i

n n n

i n i n

in i i n i n

i n i n n

i n i n

i n

− × + − =

⇔ − + − =

⇔ + − − − + =

⇔ − + + + + =

⇔ − + + + =

⇔⎡⎣ − + ⎤⎦ =

La dernière égalité ne peut être vérifiée que lorsque n est impair. Elle ne l’est alors que pour une seule valeur de i : 1

2 n+

.

(9)

Question 3.

On a : Z = −X Y.

Lorsque X et Y prennent la même valeur, on obtient la plus petite valeur de Z : 0.

Lorsque X prend la valeur n et Y prend la valeur 1, on obtient la plus grande valeur de Z : 1

n− .

Plus généralement, lorsque X prend la valeur n, Y peut prendre toutes les valeurs de

a b

^{1 ;}ⁿ ^et

Z prendra toutes les valeurs de

a

^{0 ;}ⁿ⁻¹

b

^.

( ) a b

Z Ω = 0 ;n−1 On a immédiatement :

( ) ( )

₂ ₂

1 1

1 1 1

0 X et Y

n n

i i

P Z P i i n

n n n

= =

∑

= = =

∑

= × =

Ensuite, pour tout entier naturel k dans

a

^{1 ;}ⁿ⁻¹

b

^:

( ) ( ) ( )

( )

1

2 1

2

X 1 et Y 1 X 2 et Y 2 ...

... X et Y

X et Y

2 2 2

n k

i n k

i

P Z k P k P k

P k n k n k

P k i i

n n k n

n k n

−

=

−

=

= = = + = + = + = +

+ = + − = −

= = + =

=

= −

∑

La variable aléatoire Z est définie sur

a

^{0 ;}ⁿ⁻¹

b

^.

• ^{P Z}

(

⁰

)

¹

= = n.

•

a

1 ; 1 ,

b ⁽ ⁾

2n k2

k n P Z k

n

∀ ∈ − = = − .

(10)

On a ensuite :

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

2

E Z E X E Y

1 4 1 1 2 1

6 6

1 4 1 2 1

6

1 2 2

6 1 3

n n n n

n n

n n n

n

n n

n

= −

+ − + +

= −

= + − − −

= + −

= −

( )

² ¹

E Z 3

n n

= −

Remarque : on pouvait bien sûr également calculer ^{E Z}

( )

en utilisant la loi de Z.

( ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

1 2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 3

2 2

1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

V Z E Z E Z

2 1 Z 1

3 9

1 1

2 2

9

1 2 1 1

1 18 18 1

9 6 4

1 6 1 2 1 9 1 2 1 1

18

1 6 2 1

18

n n

k k

n n

k k

n k n

k P k n k

n n n

n k k n

n n

n n n n n

n n

n

n n n n n n n

n

n n n

n

− −

= =

− −

= =

= −

− −

⎛ − ⎞

= × = −⎜ ⎟ = × −

⎝ ⎠

⎛ ⎞ −

= ⎜⎝ − ⎟⎠−

⎛ − − − ⎞

= ⎜⎜⎝ − − − ⎟⎟⎠

⎡ ⎤

= ⎣ − − − − − − + ⎦

= − −

∑ ∑

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

3 2 3 2 2

2

3 2 3 2 3 2

2 2

2

9 1 2 1 1

1 12 6 9 9 2 1 2 1

18

1 1

3 3 2 2 2 2 2 2

18 18

1 1

1 2 1 1 2

18 18

1 2

18

n n n n

n n n n n n n n

n

n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n

n n

n

⎡ − − − − + ⎤

⎣ ⎦

− ⎡ ⎤

= ⎣ − − + − − + + ⎦

− ⎡ ⎤ − ⎡ ⎤

= ⎣ + − − + + ⎦= ⎣ + + + ⎦

− ⎡ ⎤ −

= ⎣ + + + ⎦= + +

− +

=

( ) (

²

)(

²

)

2

1 2

V Z 18

n n

n

− +

=

(11)

On a enfin :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

V Z =V X−Y =V X +V Y −2 cov X, Y =2V X −2 cov X, Y D’où :

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

cov X, Y V X 1V Z 2

1 2 1 1 1 2

36 2 18

1 2 1 2

36

1 1

36 1 6

n n n n

n n

n n n

n

n n

n

= −

− + − +

= −

= − + − −

= − −

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

² ¹ ²

cov X, Y 6 n

n

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠