Zig trace m > 2 points P₁,P₂,...Pm sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec p ≥ 2 couleurs distinctes de sorte que deux points voisins sont de couleurs différentes.De son côté, Puce opère de la même manière avec n ≠ m > 2 points Q₁,Q₂,..Qn sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec q ≥ 2 couleurs distinctes.
Un coloriage est défini par la liste des couleurs affectées aux points Pi (i = 1 à m) ou aux points Qj
( j = 1 à n). Par exemple avec m = 4 et p = 2 (Bleu et Rouge), il y a deux coloriages BRBR et RBRB.
Les deux amis décomptent le même nombre de coloriages distincts qui est un entier supérieur à 2015 tout en étant inférieur à 10000.
Déterminer m,p,n et q.
Considérons le point Pm-1 : il peut être de la même couleur que P1, auquel cas le
coloriage de P1, ..., Pm-2 est un coloriage acceptable pour m-2 points et p couleurs, et il y a p-1 couleurs possibles pour Pm . S’il n’est pas de la même couleur que P1, le
coloriage de P1, ..., Pm-1 est acceptable pour m-1 points et p couleurs, et il y a p-2 couleurs possibles pour Pm.
Donc, si um est le nombre de coloriages acceptables pour m points (et p couleurs), on a la relation de récurrence um=(p-1)um-2+(p-2)um-1, ou encore, en posant vm=um+um-1, vm=(p-1)vm-1 : comme u1=0, u2=p(p-1), v2=p(p-1), donc vm=p(p-1)m-1.
on en déduit : um=p((p-1)m-1-(p-1)m-2+...+(-1)m-2(p-1)), soit um=(p-1)((p-1)m-1+(-1)m) On constate que pour m=3, p=14 et n=7, q=4 : 13*(132-1)=3*(36-1)=2184
