G225 : Coloriages d’enfants

G225 : Coloriages d’enfants

Dans le cas de courbes fermées, le tracé d’une nouvelle figure va créer autant de régions supplémentaires que le nombre de points d’intersections de la nouvelle courbe avec les précédentes : entre deux points d’intersections successifs, la nouvelle courbe va diviser en deux parties la région qu’elle traverse, et il y a autant de segments entre deux points, que de points d’intersection ; le cas est différent pour des droites, les points à l’infini faisant que le nombre de « segments », donc de régions créées, est égal au nombre de points d’intersections augmenté de un.

Deux droites ont au plus un point d’intersection, deux cercles deux, deux ellipses quatre, deux triangles six et deux carrés huit. Il est aisé de montrer que l‘on peut trouver une configuration de n+1 figures, dans laquelle la n+1-ème a un maximum de points

d’intersection avec chacune des figures précédentes. Le nombre de régions après avoir tracé n figures sera donc :

- Droites : 1+n(n+1)/2 - Cercles : 2+n(n-1) - Ellipses : 2+2n(n-1) - Triangles : 2+3n(n-1) - Carrés : 2+4n(n-1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Droite 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56 67 79 92 106 121 Cercle 0 4 8 14 22 32 44 58 74 92 112 134 158 184 212 Ellipse 2 6 14 26 42 62 86 114 146 182 222 266 314 366 422 Triangle 2 8 20 38 62 92 128 170 218 272 332 398 470 548 632 Carré 2 10 26 50 82 122 170 226 290 362 442 530 626 730 842

Le tableau ci-dessus montre que la seule coïncidence possible entre les nombres annoncés par trois enfants (A, B et E) est obtenue pour 92, et la seule coïncidence ultérieure (D et E) est 170 : on en déduit que E trace des triangles, D des carrés, et A et B droites et cercles. Il y a quatre coïncidences antérieures pour 14, 22, 26 et 62 : celle entre C et E correspond obligatoirement à 62, et on en déduit que C trace des ellipses.

Enfin la coïncidence entre B et C ne peut être que pour 14, (26 est entre C et D, 22 entre A et B) et donc B trace des cercles, et A des droites.

2007 est impair, et seul le nombre de droites peut être impair : nous savons qu’il est supérieur à 92, donc il est égal à 121 (15 droites).

La somme des quatre autres nombres de régions est donc égale 1886. Le nombre de combinaisons possibles est alors réduit, et on trouve facilement que seule convient la somme 121+158+366+6322+730=2007.

Donc, A a tracé 15 droites, B 13 cercles, C 14 ellipses, D 14 carrés et E 15 triangles.