G225 Coloriages d’enfants [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Tout d'abord il faut déterminer les meilleures suites (je ne détaille pas le raisonnement) Carré : u_n = 4n²-4n+2
Cercle : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A014206 u_n = n²-n+2 Droite : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000124 u_n = (n²+n+2)/2 Ellipse : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A051890 u_n = 2n²-2n+2
Triangle équilatéral : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A077588 u_n = 3n²-3n+2
Ensuite à l'aide des indications et d'un petit tableau nous en déduisons : A, B et E => 92, D et E => 170, d'où E = Triangle et D = Carré, A et B étant donc parmi Cercle et Droite , C et E
=> 62, d'où C = Ellipse
B et C => 14, d'où B = Cercle. Donc A = Droite, B = Cercle, C = Ellipse, D = Carré, E = Triangle.
Reste enfin à déterminer l'état final de somme 2007 : il est aisé d'éliminer de nombreux cas grâce aux maxima pour n=15 ensuite un argument de parité permet d'en déduire que A(15) =>
121et en cherchant encore un peu nous arrivons finalement à l'unique solution : A(15) => 121
B(13) => 158 C(14) => 366 D(14) => 730 E(15) => 632
avec 121+158+366+730+632=2007.
