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Le théorème des quatre couleurs Le lemme de SPERNER
Références
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Pascal DUPONT pascal.dupont@ulg.ac.be
HEC•ULg
Liège, Congrès SBPMef 23 aout 2017
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Le théorème des quatre couleurs Le lemme de SPERNER Références
Le théorème
des 4 couleurs
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Présentation du problème
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Le théorème des quatre couleurs Le lemme de SPERNER Références
Le théorème (ou une ébauche. . .)
« Théorème »
Toute carte géographique peut être coloriée avec quatre couleurs au plus, de manière que deux pays adjacents soient de couleurs différentes.
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Le théorème des quatre couleurs Le lemme de SPERNER Références
Jalons historiques
I 1852, Francis GUTHRIE
Frederic GUTHRIE
Augustus DEMORGAN
William HAMILTON I 1878, Arthur CAYLEY
I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
...
I 1976, Kenneth APPEL& Wolfgang HAKEN
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Jalons historiques
I 1852, Francis GUTHRIE
Frederic GUTHRIE
Augustus DEMORGAN
William HAMILTON I 1878, Arthur CAYLEY
I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
...
I 1976, Kenneth APPEL& Wolfgang HAKEN
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I 1852, Francis GUTHRIE
Frederic GUTHRIE
Augustus DEMORGAN
William HAMILTON I 1878, Arthur CAYLEY
I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
...
I 1976, Kenneth APPEL& Wolfgang HAKEN
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Frederic GUTHRIE
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William HAMILTON
I 1878, Arthur CAYLEY I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
...
I 1976, Kenneth APPEL& Wolfgang HAKEN
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I 1852, Francis GUTHRIE
Frederic GUTHRIE
Augustus DEMORGAN
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I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
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Augustus DEMORGAN
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I 1879, Alfred KEMPE
I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
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Augustus DEMORGAN
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I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT
I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
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I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD
I 1891, Julius PETERSEN
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Augustus DEMORGAN
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I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
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I 1852, Francis GUTHRIE
Frederic GUTHRIE
Augustus DEMORGAN
William HAMILTON I 1878, Arthur CAYLEY
I 1879, Alfred KEMPE I 1880, Peter TAIT I 1890, Percy HEAWOOD I 1891, Julius PETERSEN
...
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4 couleurs sont nécessaires
I En effet, il peut exister quatre pays mutuellement adjacents.
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Les règles du jeu
1. Une frontière est un arc de courbe — un point ne suffit pas.
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Un exemple ?
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Un exemple ?
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Non, pas d’exemple
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Un exemple !
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Un autre exemple, célèbre
37◦N,109◦O
(ou 36◦59056,8153200N,109◦02042,6201900O ?)
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Un autre exemple, célèbre
37◦N,109◦O
(ou 36◦59056,8153200N,109◦02042,6201900O ?)
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Les règles du jeu
1. Une frontière est un arc de courbe — un point ne suffit pas.
2. Les pays doivent être connexes.
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Les règles du jeu
1. Une frontière est un arc de courbe — un point ne suffit pas.
2. Les pays doivent être connexes.
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Des pays non connexes,
cela existe bel et bien
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Des pays non connexes,
cela existe bel et bien
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Des pays non connexes,
cela existe bel et bien
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Une erreur classique
I Il ne suffit pas de démontrer que cinq pays ne peuvent pas être mutuellement adjacents !
I En effet, une carte dans laquelle il y a au plusnpays mutuellement adjacents peut néanmoins nécessiter plus dencouleurs.
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Une erreur classique
I Il ne suffit pas de démontrer que cinq pays ne peuvent pas être mutuellement adjacents !
I En effet, une carte dans laquelle il y a au plusnpays mutuellement adjacents peut néanmoins nécessiter plus dencouleurs.
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Une erreur classique
I Il ne suffit pas de démontrer que cinq pays ne peuvent pas être mutuellement adjacents !
I En effet, une carte dans laquelle il y a au plusnpays mutuellement adjacents peut néanmoins nécessiter plus dencouleurs.
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Traduction en graphe (1)
I À une carte, associons le graphe dont lessommets sont les pays,
deux sommets étant reliés par une arêtesi les pays ont une frontière commune.
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I Les graphes ainsi obtenus sont les graphes planaires: ils peuvent être tracés sur le plan sans intersection d’arêtes.
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Traduction en graphe (1)
I À une carte, associons le graphe dont lessommets sont les pays, deux sommets étant reliés par une arêtesi les pays ont une frontière commune.
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I Les graphes ainsi obtenus sont les graphes planaires: ils peuvent être tracés sur le plan sans intersection d’arêtes.
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Traduction en graphe (1)
I À une carte, associons le graphe dont lessommets sont les pays, deux sommets étant reliés par une arêtesi les pays ont une frontière commune.
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I Les graphes ainsi obtenus sont les graphes planaires: ils peuvent être tracés sur le plan sans intersection d’arêtes.
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Traduction en graphe (1)
I À une carte, associons le graphe dont lessommets sont les pays, deux sommets étant reliés par une arêtesi les pays ont une frontière commune.
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I Les graphes ainsi obtenus sont les graphes planaires: ils peuvent être tracés sur le plan sans intersection d’arêtes.
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Le théorème des quatre couleurs Le lemme de SPERNER Références
Traduction en graphe (2)
I Le problème du coloriage des cartes devient celui du coloriage de graphes sous la contrainte que deux sommetsadjacents(c.-à-d. reliés par une arête) doivent être de couleurs différentes.
I Lenombre chromatiqued’un graphe est le nombre minimal de couleurs nécessaire pour colorier ses sommets en respectant la contrainte que deux sommets adjacents soient de couleurs différentes.
I Le théorème se reformule donc :
Le nombre chromatique d’un graphe planaire est inférieur à 4.
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Traduction en graphe (2)
I Le problème du coloriage des cartes devient celui du coloriage de graphes sous la contrainte que deux sommetsadjacents(c.-à-d. reliés par une arête) doivent être de couleurs différentes.
I Lenombre chromatiqued’un graphe est le nombre minimal de couleurs nécessaire pour colorier ses sommets en respectant la contrainte que deux sommets adjacents soient de couleurs différentes.
I Le théorème se reformule donc :
Le nombre chromatique d’un graphe planaire est inférieur à 4.
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Traduction en graphe (2)
I Le problème du coloriage des cartes devient celui du coloriage de graphes sous la contrainte que deux sommetsadjacents(c.-à-d. reliés par une arête) doivent être de couleurs différentes.
I Lenombre chromatiqued’un graphe est le nombre minimal de couleurs nécessaire pour colorier ses sommets en respectant la contrainte que deux sommets adjacents soient de couleurs différentes.
I Le théorème se reformule donc :
Le nombre chromatique d’un graphe planaire est inférieur à 4.
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L’idée de K
EMPEI Unepentacarteest une carte exigeant 5 couleurs.
Il s’agit donc de montrer qu’il n’existe pas de pentacarte .
I KEMPEappellenormaleune carte dans laquelle aucun pays, ni groupe de pays, n’est enclavé dans un autre, et où il n’existe pas de quadripoint (ni de point de multiplicité supérieure).
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L’idée de K
EMPEI Unepentacarteest une carte exigeant 5 couleurs.
Il s’agit donc de montrer qu’il n’existe pas de pentacarte .
I KEMPEappellenormaleune carte dans laquelle aucun pays, ni groupe de pays, n’est enclavé dans un autre, et où il n’existe pas de quadripoint (ni de point de multiplicité supérieure).
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L’idée de K
EMPEI Unepentacarteest une carte exigeant 5 couleurs.
Il s’agit donc de montrer qu’il n’existe pas de pentacarte .
I KEMPEappellenormaleune carte dans laquelle aucun pays, ni groupe de pays, n’est enclavé dans un autre, et où il n’existe pas de quadripoint (ni de point de multiplicité supérieure).
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Des pays enclavés, ça existe
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L’idée de K
EMPEI Unepentacarteest une carte exigeant 5 couleurs.
Il s’agit donc de montrer qu’il n’existe pas de pentacarte .
I KEMPEappellenormaleune carte dans laquelle aucun pays, ni groupe de pays, n’est enclavé dans un autre, et où il n’existe pas de quadripoint (ni de point de multiplicité supérieure).
I Il montre que s’il existe une pentacarte, alors il existe une pentacarte normale.
I Puis que s’il existe une pentacarte normale, alors il existe une pentacarte normale minimale.
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L’idée de K
EMPEI Unepentacarteest une carte exigeant 5 couleurs.
Il s’agit donc de montrer qu’il n’existe pas de pentacarte .
I KEMPEappellenormaleune carte dans laquelle aucun pays, ni groupe de pays, n’est enclavé dans un autre, et où il n’existe pas de quadripoint (ni de point de multiplicité supérieure).
I Il montre que s’il existe une pentacarte, alors il existe une pentacarte normale.
I Puis que s’il existe une pentacarte normale, alors il existe une pentacarte normale minimale.
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L’idée de K
EMPEI Unepentacarteest une carte exigeant 5 couleurs.
Il s’agit donc de montrer qu’il n’existe pas de pentacarte .
I KEMPEappellenormaleune carte dans laquelle aucun pays, ni groupe de pays, n’est enclavé dans un autre, et où il n’existe pas de quadripoint (ni de point de multiplicité supérieure).
I Il montre que s’il existe une pentacarte, alors il existe une pentacarte normale.
I Puis que s’il existe une pentacarte normale, alors il existe une pentacarte normale minimale.
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Configurations inévitables
I KEMPEprouve encore que dans toute carte normale, il existe un pays ayant cinq voisins au plus.
I Autrement dit, toute carte normale contient une configuration appartenant à l’ensemble suivant :
, , ,
Ces configurations forment donc un ensemble inévitable.
I Il suffit donc de montrer, pour chacune d’entre elles, que si une pentacarte la contient, elle n’est pas minimale.
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Configurations inévitables
I KEMPEprouve encore que dans toute carte normale, il existe un pays ayant cinq voisins au plus.
I Autrement dit, toute carte normale contient une configuration appartenant à l’ensemble suivant :
, , ,
Ces configurations forment donc un ensemble inévitable.
I Il suffit donc de montrer, pour chacune d’entre elles, que si une pentacarte la contient, elle n’est pas minimale.
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Configurations inévitables
I KEMPEprouve encore que dans toute carte normale, il existe un pays ayant cinq voisins au plus.
I Autrement dit, toute carte normale contient une configuration appartenant à l’ensemble suivant :
, , ,
Ces configurations forment donc un ensemble inévitable.
I Il suffit donc de montrer, pour chacune d’entre elles, que si une pentacarte la contient, elle n’est pas minimale.
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Configurations inévitables
I KEMPEprouve encore que dans toute carte normale, il existe un pays ayant cinq voisins au plus.
I Autrement dit, toute carte normale contient une configuration appartenant à l’ensemble suivant :
, , ,
Ces configurations forment donc un ensemble inévitable.
I Il suffit donc de montrer, pour chacune d’entre elles, que si une pentacarte la contient, elle n’est pas minimale.
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Réduction
I Supposons p. ex. qu’une pentacarte minimale contienne la configuration :
I Les quatre sommets-pays sont forcément
de couleurs différentes ; et nous supposons donc que le reste de la carte exige une cinquième couleur.
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Réduction
I Supposons p. ex. qu’une pentacarte minimale contienne la configuration :
I Les quatre sommets-pays sont forcément de couleurs différentes ;
et nous supposons donc que le reste de la carte exige une cinquième couleur.
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Réduction
I Supposons p. ex. qu’une pentacarte minimale contienne la configuration :
I Les quatre sommets-pays sont forcément de couleurs différentes ;
et nous supposons donc que le reste de la carte exige une cinquième couleur.
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Réduction
I Supposons p. ex. qu’une pentacarte minimale contienne la configuration :
I Les quatre sommets-pays sont forcément
de couleurs différentes ; et nous supposons donc que le reste de la carte exige une cinquième couleur.
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Réduction (suite)
I Imaginons que le pays central soit annexé par son voisin du nord :
I Cette nouvelle carte compte moins de sommets que la carte initiale, qui était une pentacarte minimale, donc elle peut être (re)coloriée avec 4 couleurs.
I Il suffit alors, dans la carte initiale, de donner au pays central la couleur différente de ses 3 voisins, et on a un coloriage n’utilisant que 4 couleurs : contradiction.
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Réduction (suite)
I Imaginons que le pays central soit annexé par son voisin du nord :
I Cette nouvelle carte compte moins de sommets que la carte initiale, qui était une pentacarte minimale, donc elle peut être (re)coloriée avec 4 couleurs.
I Il suffit alors, dans la carte initiale, de donner au pays central la couleur différente de ses 3 voisins, et on a un coloriage n’utilisant que 4 couleurs : contradiction.
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Réduction (suite)
I Imaginons que le pays central soit annexé par son voisin du nord :
I Cette nouvelle carte compte moins de sommets que la carte initiale, qui était une pentacarte minimale, donc elle peut être (re)coloriée avec 4 couleurs.
I Il suffit alors, dans la carte initiale, de donner au pays central la couleur différente de ses 3 voisins, et on a un coloriage n’utilisant que 4 couleurs :
contradiction.
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Réduction (suite)
I Imaginons que le pays central soit annexé par son voisin du nord :
I Cette nouvelle carte compte moins de sommets que la carte initiale, qui était une pentacarte minimale, donc elle peut être (re)coloriée avec 4 couleurs.
I Il suffit alors, dans la carte initiale, de donner au pays central la couleur différente de ses 3 voisins, et on a un coloriage n’utilisant que 4 couleurs : contradiction.
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L’erreur de K
EMPEI KEMPEraisonne de la même manière pour les autres configurations de son ensemble inévitable.
I Malheureusement, il y a une faille dans son argument pour le cas d’un pays entouré par 5 voisins.
I Que peut-on sauver de son raisonnement ?
I Tout d’abord, comme l’observe HEAWOOD, il prouve correctement que 5 couleurs suffisent toujours.
I Et surtout, il y a l’idée intéressante d’ensemble inévitable de configurations.
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L’erreur de K
EMPEI KEMPEraisonne de la même manière pour les autres configurations de son ensemble inévitable.
I Malheureusement, il y a une faille dans son argument pour le cas d’un pays entouré par 5 voisins.
I Que peut-on sauver de son raisonnement ?
I Tout d’abord, comme l’observe HEAWOOD, il prouve correctement que 5 couleurs suffisent toujours.
I Et surtout, il y a l’idée intéressante d’ensemble inévitable de configurations.
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L’erreur de K
EMPEI KEMPEraisonne de la même manière pour les autres configurations de son ensemble inévitable.
I Malheureusement, il y a une faille dans son argument pour le cas d’un pays entouré par 5 voisins.
I Que peut-on sauver de son raisonnement ?
I Tout d’abord, comme l’observe HEAWOOD, il prouve correctement que 5 couleurs suffisent toujours.
I Et surtout, il y a l’idée intéressante d’ensemble inévitable de configurations.
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L’erreur de K
EMPEI KEMPEraisonne de la même manière pour les autres configurations de son ensemble inévitable.
I Malheureusement, il y a une faille dans son argument pour le cas d’un pays entouré par 5 voisins.
I Que peut-on sauver de son raisonnement ?
I Tout d’abord, comme l’observe HEAWOOD, il prouve correctement que 5 couleurs suffisent toujours.
I Et surtout, il y a l’idée intéressante d’ensemble inévitable de configurations.
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L’erreur de K
EMPEI KEMPEraisonne de la même manière pour les autres configurations de son ensemble inévitable.
I Malheureusement, il y a une faille dans son argument pour le cas d’un pays entouré par 5 voisins.
I Que peut-on sauver de son raisonnement ?
I Tout d’abord, comme l’observe HEAWOOD, il prouve correctement que 5 couleurs suffisent toujours.
I Et surtout, il y a l’idée intéressante d’ensemble inévitable de configurations.
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La suite
I Ses successeurs vont tenter de colmater la fuite en construisant un autre ensemble inévitable de configurations.
I Malheureusement, il y a inflation galopante !
I Dans les années 1960, Heinrich HEESCHinvente la technique de « décharge » pour construire des ensembles inévitables de configurations.
Il imagine aussi d’utiliser l’ordinateur pour construire ces ensembles.
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La suite
I Ses successeurs vont tenter de colmater la fuite en construisant un autre ensemble inévitable de configurations.
I Malheureusement, il y a inflation galopante !
I Dans les années 1960, Heinrich HEESCHinvente la technique de « décharge » pour construire des ensembles inévitables de configurations.
Il imagine aussi d’utiliser l’ordinateur pour construire ces ensembles.
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La suite
I Ses successeurs vont tenter de colmater la fuite en construisant un autre ensemble inévitable de configurations.
I Malheureusement, il y a inflation galopante !
I Dans les années 1960, Heinrich HEESCHinvente la technique de « décharge » pour construire des ensembles inévitables de configurations.
Il imagine aussi d’utiliser l’ordinateur pour construire ces ensembles.
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La suite
I Ses successeurs vont tenter de colmater la fuite en construisant un autre ensemble inévitable de configurations.
I Malheureusement, il y a inflation galopante !
I Dans les années 1960, Heinrich HEESCHinvente la technique de « décharge » pour construire des ensembles inévitables de configurations.
Il imagine aussi d’utiliser l’ordinateur pour construire ces ensembles.
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Le succès
I HEESCHse rend aux États-Unis pour collaborer avec HAKEN.
I Ensuite, celui-ci travaille avec APPELà l’université d’Illinois à Urbana-Champaign et, en 1976, le long travail de démonstration s’achève.
I Leur preuve fait un usage intensif de l’ordinateur : environ 1200 h de calcul à l’époque.
I Elle est donc invérifiable à la main. . . ce qui fit une petite polémique lors de sa publication.
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Le succès
I HEESCHse rend aux États-Unis pour collaborer avec HAKEN.
I Ensuite, celui-ci travaille avec APPELà l’université d’Illinois à Urbana-Champaign et, en 1976, le long travail de démonstration s’achève.
I Leur preuve fait un usage intensif de l’ordinateur : environ 1200 h de calcul à l’époque.
I Elle est donc invérifiable à la main. . . ce qui fit une petite polémique lors de sa publication.
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Le succès
I HEESCHse rend aux États-Unis pour collaborer avec HAKEN.
I Ensuite, celui-ci travaille avec APPELà l’université d’Illinois à Urbana-Champaign et, en 1976, le long travail de démonstration s’achève.
I Leur preuve fait un usage intensif de l’ordinateur : environ 1200 h de calcul à l’époque.
I Elle est donc invérifiable à la main. . . ce qui fit une petite polémique lors de sa publication.
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Le succès
I HEESCHse rend aux États-Unis pour collaborer avec HAKEN.
I Ensuite, celui-ci travaille avec APPELà l’université d’Illinois à Urbana-Champaign et, en 1976, le long travail de démonstration s’achève.
I Leur preuve fait un usage intensif de l’ordinateur : environ 1200 h de calcul à l’époque.
I Elle est donc invérifiable à la main. . . ce qui fit une petite polémique lors de sa publication.
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Et depuis lors ?
I Depuis 1976, la preuve a été simplifiée, mais reste hors de portée d’un calculateur humain.
Des preuves indépendantes, mais faisant également appel à l’ordinateur, ont été proposées.
I La partie informatique du travail a été validée par des méthodes de preuve d’algorithme, basées sur le λ-calcul (programmeCoq— Georges GONTHIER, Benjamin WERNER).
I La question de l’existence d’une preuve
conceptuelle, « à taille humaine », reste posée.
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Et depuis lors ?
I Depuis 1976, la preuve a été simplifiée, mais reste hors de portée d’un calculateur humain.
Des preuves indépendantes, mais faisant également appel à l’ordinateur, ont été proposées.
I La partie informatique du travail a été validée par des méthodes de preuve d’algorithme, basées sur le λ-calcul (programmeCoq— Georges GONTHIER, Benjamin WERNER).
I La question de l’existence d’une preuve
conceptuelle, « à taille humaine », reste posée.
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Et depuis lors ?
I Depuis 1976, la preuve a été simplifiée, mais reste hors de portée d’un calculateur humain.
Des preuves indépendantes, mais faisant également appel à l’ordinateur, ont été proposées.
I La partie informatique du travail a été validée par des méthodes de preuve d’algorithme, basées sur le λ-calcul (programmeCoq— Georges GONTHIER, Benjamin WERNER).
I La question de l’existence d’une preuve
conceptuelle, « à taille humaine », reste posée.
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L’intérêt pratique
I . . . est évidemment quasi-nul :
I Il existe des pays non connexes ;
I Et la mer ?
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L’intérêt pratique
I . . . est évidemment quasi-nul :
I Il existe des pays non connexes ;
I Et la mer ?
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Le lemme de S PERNER
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Présentation
I Prenons un triangle
et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle
et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Présentation
I Prenons un triangle et colorons ses sommets en trois couleurs différentes ;
I Triangulons notre triangle ;
I Colorons chaque nœud de la triangulation en respectant une seule règle :
les nœuds situés sur le bord du triangle reçoivent la couleur de l’une des extrémités de ce côté ;
I Repérons les petits triangles tricolores.
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Lemme de S
PERNERI Lemme de SPERNER
Il y a dans la triangulation un nombre impair de petits triangles tricolores.
I Corollaire
Il y a dans la triangulation au moins un petit triangle tricolore.
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Lemme de S
PERNERI Lemme de SPERNER
Il y a dans la triangulation un nombre impair de petits triangles tricolores.
I Corollaire
Il y a dans la triangulation au moins un petit triangle tricolore.
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Lemme de S
PERNER/ théorème de S
PERNERNe pas confondre avec lethéorème de SPERNER: Dans un ensemble ànéléments, il y a au plus
n
bn/2c
parties deux à deux non comparables (pour l’inclusion).
Emanuel SPERNER, 1905–1980.
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Démonstration
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Démonstration (version formelle)
I Dans un graphe, ledegréd’un sommet est le nombre de sommets adjacents.
I Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
I Ici, outre le sommet représentant l’extérieur, sont de degré impair les sommets représentant les triangles tricolores.
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Généralisation
I Le triangle est membre de la grande famille des simplexes :
I Le 0-simplexe est le point ;
I Le 1-simplexe est le segment ;
I Le 2-simplexe est le triangle ;
I Le 3-simplexe est le tétraèdre ;
I &c. (mais c’est plus difficile à visualiser).
I Unn-simplexe a des sommets, des arêtes, des faces, . . ., qui sont des simplexes de toutes les dimensions inférieures.
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Généralisation
I Le triangle est membre de la grande famille des simplexes :
I Le 0-simplexe est le point ;
I Le 1-simplexe est le segment ;
I Le 2-simplexe est le triangle ;
I Le 3-simplexe est le tétraèdre ;
I &c. (mais c’est plus difficile à visualiser).
I Unn-simplexe a des sommets, des arêtes, des faces, . . ., qui sont des simplexes de toutes les dimensions inférieures.
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Généralisation
I Le triangle est membre de la grande famille des simplexes :
I Le 0-simplexe est le point ;
I Le 1-simplexe est le segment ;
I Le 2-simplexe est le triangle ;
I Le 3-simplexe est le tétraèdre ;
I &c. (mais c’est plus difficile à visualiser).
I Unn-simplexe a des sommets, des arêtes, des faces, . . ., qui sont des simplexes de toutes les dimensions inférieures.
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Généralisation
I Le triangle est membre de la grande famille des simplexes :
I Le 0-simplexe est le point ;
I Le 1-simplexe est le segment ;
I Le 2-simplexe est le triangle ;
I Le 3-simplexe est le tétraèdre ;
I &c. (mais c’est plus difficile à visualiser).
I Unn-simplexe a des sommets, des arêtes, des faces, . . ., qui sont des simplexes de toutes les dimensions inférieures.
