G284. Coloriages bigarrés ***

G284. Coloriages bigarrés ***

Zig trace m > 2 points P1,P2,...Pm sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec p ≥ 2 couleurs distinctes de sorte que deux points voisins sont de couleurs différentes.De son côté, Puce opère de la même manière avec n ≠ m > 2 points Q1,Q2,..Qn sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec q ≥ 2 couleurs distinctes.

Un coloriage est défini par la liste des couleurs affectées aux points Pi (i = 1 à m) ou aux points Qj ( j = 1 à n). Par exemple avec m = 4 et p = 2 (Bleu et Rouge), il y a deux coloriages BRBR et RBRB.

Les deux amis décomptent le même nombre de coloriages distincts qui est un entier supérieur à 2015 tout en étant inférieur à 10000.

Déterminer m,p,n et q.

Soit N(m , p) = nombre de coloriages pour m points et p couleurs.

Alors on montre que N(m , p) = (p−1)^m+(−1)^m⋅(p−1)

Démonstration (par récurrence sur m ) : m=2 :

N(2,p)=p⋅(p−1) et (p−1)²+(−1)²(p−1)=p⋅(p−1)

2,3,...m => m+1 : On distingue deux cas :

a) le m^ème point a une autre couleur que le premier b) le m^ème point est de même couleur que le premier

alors :

N(m+1,p) = N(m , p)⋅(p−2)+N(m−1,p)⋅(p−1)

Cas m pair :

N(m , p)⋅(p−2)+N(m−1,p)⋅(p−1) =

((p−1)^m+p−1)(p−2) + ((p−1)^m−1−p+1)(p−1) =

(p−2)(p−1)^m+(p−1)(p−2) + (p−1)^m−1(p−1)+(−p+1)(p−1) = (p−2)(p−1)^m+(p−1)(p−2) + (p−1)^m+(−p+1)(p−1) =

(p−1)^m(p−2+1)+p²–3p+2– p²+2p−1 =

(p−1)^m(p−1)−p+1 = (p−1)^m+1+(−1)^m+1(p−1) Cas m impair :

N(m , p)⋅(p−2)+N(m−1,p)⋅(p−1) =

((p−1)^m−p+1)(p−2) + ((p−1)^m−1+p−1)(p−1) = ...

(p−1)^m(p−1)+p−1 = (p−1)^m+1+(−1)^m+1(p−1)

□

On trouve alors : N(7,4)=N(3,14)=2184 ( 7 points et 4 couleurs ou 3 points et 14 couleurs)