Coloriages bigarrés
Problème G284 de Diophante
Zig trace m > 2 points P1, P2, …, Pm sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec p ≥ 2 couleurs distinctes de sorte que deux points voisins sont de couleurs différentes. De son côté, Puce opère de la même manière avec n ≠ m > 2 points Q1, Q2, …, Qn sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec q ≥ 2 couleurs distinctes.
Un coloriage est défini par la liste des couleurs affectées aux points Pi (i = 1 à m) ou aux points Qj ( j = 1 à n). Par exemple avec m = 4 et p = 2 (Bleu et Rouge), il y a deux coloriages BRBR et RBRB.
Les deux amis décomptent le même nombre de coloriages distincts, qui est un entier supérieur à 2015 tout en étant inférieur à 10000.
Déterminer m, p, n et q.
Solution
Un bon coloriage est une application ß de [1, m] dans [1, p] telle que, pour tout 1 ≤ i < m on a ß(i) ≠ ß(i+1) et ß(1) ≠ ß(m).
Pour connaître le nombre de bons coloriages N(m, p), considérons l'arbre de choix A(p) des éléments consécutifs P1, P2, …, Pk, ... Cet arbre est quasi régulier ; sa racine possède p sommets suivants ; les autres sommets ont p-1 suivants.
Par exemple, pour p = 3 (quatre premières lignes) : racine
1 2 3
12 13 21 23 31 32
121 123 131 132 212 213 231 232 312 313 321 323
1212 1213 1231 1232 1312 1313 1321 1323 2121 2123 2131 2132 2312 2313 2321 2323 3121 3123 3131 3132 3212 3213 3231 3232
Ainsi, la ligne 0 possède un élément (la racine) ; la ligne 1 possède p éléments puis la ligne k en possède p*qk-1 (où q = p-1)
Colorons en noir les mots, dont les premier et dernier termes ont des valeurs différentes, et en rouge les autres.
Le nombre N(m, p) est le nombre de mots noirs sur la m-ième ligne. On voit ici, que N(1, 3) = 0 ; N(2, 3) = 6 ; N(3, 3) = 6 ; N(4, 3) = 18.
De manière générale, pour la m-ième ligne notons : T(m, p) le nombre total de mots et R(m, p) le nombre de points rouges.
Ainsi T(m, p) = p*qk-1 = N(m, p) + R(m, p)
En plus, il apparaît que R(m+1, p) = N(m, p). En effet, sur la ligne suivante, chaque mot noir engendre un unique mot rouge alors que, sur la ligne suivante, les mots rouges n'engendrent que des mots noirs.
D'où les égalités successives, ligne par ligne :
T(m, p) N(m, p) R(m, p)
1 p 0 p
2 p*q p*q 0
3 p*q2 p*q*(q - 1) p*q
4 p*q3 p*q*(q2 - q + 1) p*q*(q - 1)
5 p*q4 p*q*(q3 - q2 + q - 1) p*q*(q2 - q + 1) etc.
m p*qm-1 p*q*(qm-2 - qm-3 + … + (-1)m) p*q*(qm-3 - qm-4 + … + (-1)m-1) D'où le résultat général : N(m, p) = q*(qm-1 + (-1)m) où q = p - 1
La recherche systématique (*) de tous les N(m, p) compris entre 2015 et 10000 donne 75 résultats, parmi lesquels figurent deux doublons :
N(7, 4) = N(3, 14) = 2184 N(2, 91) = N(13, 3) = 8190
(*) Programme en Python
