D329. Trois araignées sur un luminaire
Trois araignées A1, A2 et A3 se sont installées en trois points distincts sur un luminaire ayant la forme d’un dodécaèdre régulier dont toutes les faces sont en verre dépoli et qui est
suspendu au plafond par un cordon fixé au centre C de l’une de ses faces. Chaque jour, elles font l’aller et le retour par le trajet le plus court sur la surface du luminaire entre leur point de départ et le point opposé par rapport au centre O du luminaire.
Pour point de départ, la première araignée a choisi le point C, la seconde l’un des sommets du dodécaèdre et la troisième l’un des points de la surface du luminaire tel que son trajet est le plus court de tous les trajets possibles qui relient un point de la surface du luminaire au point opposé par rapport au centre O du luminaire.
Q1 Est-il possible que les trois araignées ne se rencontrent jamais ?
Q2 Au bout de 9 jours, l’écart des distances cumulées parcourues par les deux premières araignées est de 326 mm, arrondis au millimètre le plus proche. Au bout de combien de jours, l’écart des distances cumulées parcourues par la première araignée et la troisième araignée atteint-il 395 mm, arrondis au millimètre le plus proche ?
Solution proposée par Paul Voyer
Les distances minimales s'évaluent en développant les faces parcourues. Elles sont alors représentées par des segments de droite.
Q1
Oui, il est possible de trouver 3 points de départ tels que les trajectoires des araignées ne se coupent pas.
La figure montre un exemple possible : trajectoire de A1 en vert
trajectoire de A2 en rouge trajectoire de A3 en bleu en grisé deux faces opposées
Q2
L'opposé d'un point est l'image de ce point dans la transformation produit de :
- symétrie par rapport à la droite D passant par M=milieu de AB et M' milieu de A'B' - translation de vecteur MM'.
La distance minimale est donc de façon évidente MM' (distance nulle à (D)).
Tous les points offrant cette distance minimale sont situés sur l'étoile à 5 branches ayant pour sommets les milieux des arêtes d'une face.
La distance maximale est AA'=BB', les points les plus distants de l'étoile.
Prenons comme unité de longueur la longueur de l'arête.
A1 parcourt CC’ =
5 8 17
2 = 7.90003... par jour (aller et retour).
A2 parcourt AA’ =
2 5 7 2 17
= 8.08114.. par jour.
A3 parcourt MM’ = 2
) 5 3 ( 3
= 7.85410.. par jour, le point de départ étant sur la droite (D).
En 9 jours, 326 mm =9(8.08114.. - 7.90003..) unités. D’où 1 unité = 200 mm En 1 jour, la différence des distances entre A1 et A3 est 200*0.0459=9.186.. mm Pour atteindre 395 mm, il faut donc 395/9.186 = 43.0002 jours, arrondi à 43 jours.
