D329 Trois araignées sur un luminaire. Trois araignées A ,A et A se sont installées en₁ ₂ ₃ trois points distincts sur un luminaire ayant la forme d’un dodécaèdre régulier dont toutes les faces sont en verre dépoli et qui est suspendu au plafond par un cordon fixé au centre C de l’une de ses faces. Chaque jour, elles font l’aller et le retour par le trajet le plus court sur la surface du luminaire entre leur point de départ et le point opposé par rapport au centre O du luminaire. Pour point de départ,la première araignée a choisi le point C, la seconde l’un des sommets du dodécaèdre et la troisième l’un des points de la surface du luminaire tel que son trajet est le plus court de tous les trajets possibles qui relient un point de la surface du luminaire au point opposé par rapport au centre O du luminaire.
Q Est-il possible que les trois araignées ne se rencontrent jamais ?₁
Q Au bout de 9 jours, l’écart des distances cumulées parcourues par les deux premières araignées₂ est de 326 mm, arrondis au millimètre le plus proche. Au bout de combien de jours, l’écart des distances cumulées parcourues par la première araignée et la troisième araignée atteint-il 395 mm, arrondis au millimètre le plus proche?
On trouvera en page 2 la réponse à Q1.
Q2 Ci dessous le patron du dodécaèdre. Pour comparer les longueurs des trajets des 3 araignées, je ne fais pas de calcul, je me fie à Géogebra : A une certaine échelle, les résultats sont :
1ére A : trajet en vert partant du centre d'une face : d1 = 8,86834 2ème A : trajet en rouge partant d'un sommet : d2 = 9,07165 3ème A trajet en bleu partant du milieu d'une arête d3 = 8,81678
En variant le point de départ à l'intérieur du pentagone ABCDE on peut vérifier que la longueur du trajet est toujours supérieure à 8,81678. c'est bien là le plus court de tous les trajets possibles.
K étant un coefficient de proportionnalité, et x le nombre de jours qui fait l'objet de la question Q2, on a : 9.(d2 – d1).K = 326 et x.(d1 – d3).K = 395 d'où x = (395/326).[9.(d2-d1)] /(d1-d3)
x = (395 . 9 . 0,20331) / ( 326 . 0,05156 ) = 43 jours.
Q1 Oui, les 3 araignées peuvent suivre des trajets qui n'ont aucun point commun. Les notations ne sont pas celles de l'énoncé, voir les dessins ci dessous :
Le trajet bleu de l'araignée n°3 reste inchangé.
Le trajet rouge AA' de l'araignée n°2 est remplacé par CC1 suivi de C2C' Et le trajet vert OO' de l'araignée n°1 est remplacé par OO1 suivi de O2O'
