Sous-espaces vectoriels

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Sous-espaces vectoriels

¦ Eest unK-espace vectoriel.

Comment démontrer queFest un sous-espace vectoriel deE? Il y a trois points à établir :

¶ F⊂E(en général c’est évident) ;

· ^F6= ;(en général, on vérifie que 0E∈F) ;

¸ On considèreu,v∈Fetλ∈Ket on démontre queλu+v∈F.

Exemple. On considèreA∈Mn(C) et on définit :

F={M∈Mn(C)|AM=M A}

Démontrer queFest un sous-espace vectoriel deMn(C^).

ÞPar définition deF, on aF⊂Mn(C)¶. Si on note 0nla matrice nulle (de taillen×n), alors on a A×0n=0net 0n×A=0ndoncA×0n=0n×Aet 0n∈F. Par conséquentFest non vide·^{. Soient}^M etN deux éléments deFetλ∈C. Avec les propriétés des opérations sur les matrices :

A(λM+N)=λAM+AN=λM A+N A

(carAM=M ApuisqueM∈FetAN=N ApuisqueN ∈F). On en déduit queA(λM+N)=(λM+ N)Aet ceci montre queλM+N∈F¸. Par conséquent,Fest un sous-espace vectoriel deMn(C^).

Exemple. On noteFl’ensemble des suites (un) à valeur dansRtelles que :

∀n∈N^,^un+2=un+1+un

Démontrer queFest un sous-espace vectoriel deR^N^.

ÞRappelons queR^Nest l’ensemble des suites (un)_nÊ0à valeurs dansR^{; c’est un}R-espace vectoriel. Par définition, on aF⊂R^N¶. La suite constante égale à 0 satisfait la condition donnée, doncF est non vide·^{. Soient}^u=(un)nÊ0etv=(vn)nÊ0deux suites appartenant àF. On posew=λu+v, on note cette suitew=(wn)_nÊ0. Pourn∈N, on a alorswn=λun+vnet ainsi :

w_n+2−w_n+1−w_n=(λu_n+2+v_n+2)−(λu_n+1+v_n+1)−(λu_n+v_n)

=λ(un+2−un+1−un)+(vn+2−vn+1−vn) Oru∈Fetv∈F, doncun+2−un+1−un=0 etvn+2−vn+1−vn=0 et ainsi :

w_n+2−w_n+1−wn=λ(u_n+2−u_n+1−un)+(vn+2−v_n+1−vn)=0

Ceci montre quew∈F¸. Par conséquent,Fest un sous-espace vectoriel deR^N^. 1

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B Lorsque l’on veut vérifier la condition¸dans le cas où l’on travaille avec des suites, il est vivement conseillé de considérer deux suitesuetvappartenant àF, notéesu=(un)nÊ0etv=(vn)nÊ0, poserw=λu+v, notéew=(w_n)_nÊ0avecw_n=λu_n+v_npour toutn. Il faut alors montrer quew∈F et on peut pour cela travailler avec les termeswnde la suitewet ces termes s’expriment en utilisant unetvn.

Exemple.

F=©

f :R→R| ∀x∈R^, ^f⁽−x)=f(x)ª Démontrer queFest un sous-espace vectoriel deR^R.

ÞRappelons queR^R est l’ensemble des fonctions définies surRet à valeurs dansR^{; c’est un}R^- espace vectoriel. Par définition, on aF⊂R^R¶^{. Si}^f est la fonction nulle, c’est à dire :

f : R → R x 7→ 0

alors pour toutx∈R^{, on a} ^f(−x)=0=f(x) donc f ∈F ce qui montre queF est non vide·^{. Soient} f1etf2deux éléments deFetλ∈R^{. On pose}^g=λf1+f2. On a alorsg∈R^R^{et :}

∀x∈R^, ^g(−x)=(λf1+f2)(−x)=λf1(−x)+f2(−x)

Commef1∈Fetf2∈F, on af1(−x)=f1(x) etf2(−x)=f2(x) pour toutx∈R^{, donc :}

∀x∈R, g(−x)=λf₁(x)+f₂(x)=g(x)

On en déduit queg∈F¸. Par conséquent,Fest un sous-espace vectoriel deR^R^. B Lorsque l’on veut vérifier la condition¸dans le cas où l’on travaille avec des fonctions, il est vivement conseillé de considérer deux fonctionsf₁etf₂appartenant àFet de poserg=λf₁+f₂. Il faut alors montrer queg∈F.

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