Exercice 2 Montrer que les deux automates M1 et M2 ci-dessous sur l’alphabet Σ = {a, b} sont ´equivalents

Universit´e Libanaise Examen Partiel

ISAE - CNAM Mai 2013

MVA004 - Automates, codes et matrices dur´ee: 2h - documents non autoris´es Exercice 1 SoientLetKdeux langages sur l’alphabetΣ ={a, b}.

a) montrer que les quatres assertions suivantes sont fausses (donner un contre exemple dans chaque cas) i) siL◦K =K◦L, alorsL=K

ii) (A◦B)^R=B^R◦A^R iii) SiA^∗=B^∗, thenA=B

iv) L^∗∪K^∗ = (L∪K)^∗

b) montrer que(ab)^∗⊂(a^∗b)^∗. est-ce que(a^∗b)^∗ ⊂(ab)^∗? justifier.

Exercice 2 Montrer que les deux automates M1 et M2 ci-dessous sur l’alphabet Σ = {a, b} sont

´equivalents.

1 2 3

4 -

-

? 6

a b

b b

a a

a, b

1 a ^- 2 b ^- 3

- -

λ

M1

M₂

Exercice 3 Soit l’AFN ci-dessous dur l’alpabetΣ ={a, b}

1 2 3

4

- a

-

?

- 6 >

b b a

a

a) Donner unAFD minimalequivalent `a cet AFN

b) Utiliser le lemme de d´epart pour trouver le langage accept´e par l’AFD en a) Exercice 4 Soit le langageL= (ab)^∗b∪a⁺b^∗a, sur l’alphabetΣ ={a, b}

a) utiliser le th´eor`eme de Kleene pour construire un automate fini qui accepteL b) d´eduire un automate qui accepteL^∗