Devoir de math´ ematiques n
o7 - 1` ereS
18 d´ecembre 2008 - 2H
Exercice 1 :
Soit f la fonction d´efinie surR\{1}par :
f(x) = −x2−2x+ 5 1−x
On note C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e du plan.
1. D´eterminer la limite def en chacune des bornes de son ensemble de d´efinition, et pr´eciser les asymptotes
´eventuelles `a la courbeC.
2. D´eterminer les r´eels a,betc tels que, pour toutx6= 1 :
f(x) =ax+b+ c 1−x
3. Montrer que C admet une asymptote oblique ∆ dont on pr´ecisera l’´equation, et d´eterminer la position relative deC et de ∆.
4. Montrer que la courbe C admet un centre de sym´etrie dont on pr´ecisera les coordonn´ees.
Exercice 2 :
Soit f la fonction d´efinie surR\{1; 2} par :
f(x) = 2x3−5x2−x+ 6 x2−3x+ 2 1. D´eterminer les limites def en +∞ et en −∞.
2. (a) Soit P(x) = 2x3−5x2−x+ 6 ; v´erifier que 2 est racine deP, et en d´eduire une factorisation deP. (b) D´eterminer la limite de f en 2.
Exercice 3 :
Soit f la fonction d´efinie surR∗ par :
f(x) = 1−x− 1 x etC est sa courbe repr´esentative dans un rep`ere (O;−→
i ,−→
j ) donn´ee en annexe.
1. Prouver queC admet une asymptote ∆ ; pr´eciser leur position relative, et tracer ∆ sur le graphique.
2. (a) Discuter graphiquement du nombre de solutions de l’´equation f(x) = m suivant les valeurs de m pour toutx dansR∗.
(b) Justifier par le calcul (pour cela, montrer quef(x) =m⇔ −x2+ (1−m)x−1 = 0 surR∗, et ´etudier le signe de ∆m =m2−2m−3).
3. Soit g la fonction d´efinie surRpar :g(x) =x2−4x−2.
(a) R´esoudre f(x) = g(x) (on pourra v´erifier que −1 est solution) et interpr´eter graphiquement le r´esultat.
(b) R´esoudref(x)< g(x) et interpr´eter graphiquement le r´esultat.
(c) Construire sur le graphique donn´e en annexe Γ la courbe repr´esentative deg.
Annexe `a rendre avec la copie
