Familles de vecteurs

Familles de vecteurs

Jérôme Feret

DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 10/11/15 Février 2016

1 Familles libres

Définition 1.1. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble. Une famille(u_i)_i∈I d’éléments de E est dite libre si et seulement si pour tout ensemble fini J ⊆I et toute famille de scalaire(λ_j)_j∈J, on a :

X

j∈J

λj•uj= 0E⇔ ∀j∈J, λj= 0.

Définition 1.2. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel etf une famille d’éléments de E. On dit quef est liée si et seulement si elle n’est pas libre.

Remarque 1.1. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble fini. Une famille (u_i)_i∈I ∈ E^I d’éléments de E est libre si et seulement si pour tout toute famille de scalaires(λ_i)_i∈I, on a :

X

i∈I

λ_i•u_I = 0_E ⇔ ∀i∈I, λ_j= 0.

Propriété 1.1. Si(E,+,•)est unK-espace vectoriel, alors les familles libres ne contiennent pas l’élément 0_E.

Exemple 1.1. Soitn∈Nun entier naturel. Soit(Kⁿ,+,^.

·

). l’espace vectoriel desn-uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille(δ^k)_1≤k≤n de vecteurs telle queδk a toutes ses coordonnées égales à 0, sauf la k-ième coordonnée qui vaut1 est libre.

Propriété 1.2. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (u_i)_i∈I ∈E^I une famille libre d’éléments de E indexée parI. SoitJ un sous ensemble de I. Alors, la famille(u_j)_j∈J est libre.

Propriété 1.3. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit σune bijection de I dans I. Soit (vi)i∈I ∈E^I la famille d’éléments de E définie par :

n vi

∆=uσ(i).

Alors, la famille(u_i)_i∈I est libre si et seulement si la famille(v_i)_i∈I est libre.

Propriété 1.4. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit λ ∈ K tel que λ 6= 0 et i0 ∈ I un élément de I. Soit (vi)i∈ ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(v_i0=^∆λ•u_i0 vi

∆=ui pouri∈I\ {i0}.

Alors, la famille(ui)_i∈I est libre si et seulement si la famille(vi)_i∈I est libre.

Propriété 1.5. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée parI. Soitλ∈K. Soienti0∈I etj0∈I deux éléments deI tels que i06=j0. Soit (v_i)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆ui₀+λ•uj₀

v_i=^∆u_i pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(u_i)_i∈I est libre si et seulement si la famille(v_i)_i∈I est libre.

Propriété 1.6. Soient m et n deux entiers positifs dans N. Soit (ui)1≤i≤m ∈ (Kⁿ)^m une famille de m vecteurs du K-espace vectoriel (Kⁿ,+,^. ·). Si pour tout^. i entre 1 et m, il existe une coordonnée ji telle que pour tout indicei⁰ entre1etm, la ji-ième coordonnée deui⁰ soit égale à0si et seulement si i⁰6=i, alors la famille (ui)1≤i≤mest libre.

Algorithme 1.1. Soient m et n deux entiers positifs dans N. Soit (ui)1≤i≤n ∈ (Kⁿ)^m une famille de m vecteurs de Kⁿ. On noteui,j la j-ième coordonnée du i-ième vecteur de la famille(ui)1≤i≤m. L’algorithme suivant permet de décider si (ui)1≤i≤mest libre, ou liée.

Prendrep←0.

1. si p=m alors la famille est libre.

2. si p < met s’il pour toutq entre1 etn,up+1,q= 0, alors la famille est liée.

3. sinon, prendre qle plus petit entier tel queup+1,q6= 0.

4. Multiplier le vecteur up+1 par l’inverse de up+1,q.

5. Soustraire à chaque vecteuru_p⁰ pourp⁰6=ple vecteuru_p+1 multiplié paru_p⁰_,q. 6. Prendrep←p+ 1.

7. Retourner à l’étape 1.

2 Familles génératrices

Définition 2.1. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble. Une famille(ui)_i∈I d’éléments de E est dite génératrice de(E,+,•)si et seulement si pour tout élémentu∈E, il existe un sous-ensemble fini J ⊆I et une famille de scalaire(λj)j∈J, tels que :

X

j∈J

λj•uj =u.

Propriété 2.1. Soitn∈N un entier naturel. Soit I un ensemble et (ui)_i∈I une famille d’éléments deKⁿ telle qu’il existe un indicei0 ∈I tel que pour tout indicei∈I, la coordonnée i0 deui soit égale à 0. Alors la famille(ui)_i∈I n’est pas génératrice.

Propriété 2.2. Soitm, n∈Ndeux entiers naturels. Soit (ui)_1≤i≤m une famille dem éléments deKⁿ. On suppose qu’il existe un indicei0 tel que1≤i0≤min(m−1, n), et tel que pour toutientre1eti0, laj-ième coordonnée du vecteurui vaut 1sii=j et0 sinon, et tel que pour touti > i0 la i0+ 1-ième coordonnée du vecteurui vaut 0. Alors la famille(ui)_1≤i≤m n’est pas génératrice.

Exemple 2.1. Soitn∈Nun entier naturel. Soit(Kⁿ,+,^{. .}·). l’espace vectoriel des n-uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille(δ^k)_1≤k≤n de vecteurs telle queδk a toutes ses coordonnées égales à 0, sauf la k-ième coordonnée qui vaut1 est génératrice.

Propriété 2.3. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (u_i)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments deE indexée par I. Soit J un sous ensemble deI. Alors, si la famille(uj)_j∈J est génératrice de E, alors la famille(ui)_i∈I est génératrice deE.

Propriété 2.4. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments deE indexée parI. Soitσune bijection deI dansI. Soit(vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

n vi

=∆uσ(i)

Alors, la famille(ui)_i∈I est génératrice si et seulement si la famille(vi)_i∈I est génératrice.

Propriété 2.5. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit λ ∈ K tel que λ 6= 0 et i0 ∈ I un élément de I. Soit (vi)i∈ ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆λ•ui₀

vi

=∆ui pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(ui)i∈I est génératrice si et seulement si la famille(vi)i∈I est génératrice.

Propriété 2.6. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée parI. Soitλ∈K. Soienti0∈I etj0∈I deux éléments deI tels que i06=j0. Soit (vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀=ui₀+λ•uj₀

vi=ui pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(ui)_i∈I est génératrice si et seulement si la famille(vi)_i∈I est génératrice.

Algorithme 2.1. Soient m et n deux entiers positifs dans N. Soit (ui)_1≤i≤n ∈ (Kⁿ)^m une famille de m vecteurs de Kⁿ. On noteui,j la j-ième coordonnée du i-ième vecteur de la famille(ui)_1≤i≤m. L’algorithme suivant permet de décider si (ui)_1≤i≤mest génératrice, ou non.

Prendrep←0.

1. si p=n alors la famille est génératrice.

2. si p < n et si pour toutk tel quep < k≤m, on a : u_k,p+1= 0 alors la famille n’est pas génératrice.

3. sinon, prendre kle plus petit entier strictement supérieur à ptel queuk,p+16= 0.

4. Multiplier le vecteur uk par l’inverse de uk,p+1.

5. Soustraire à chaque vecteuru_k⁰ pour k⁰6=kle vecteur u_k multiplié paru_k,p+1. 6. Permuter le vecteuru_p+1 etu_k.

7. Prendrep←p+ 1.

8. Retourner à l’étape 1.

3 Bases et dimensions

Définition 3.1. Soit(E,+,•) un K-espace vectoriel. On appelle base de E toute famille d’éléments deE qui est à la fois libre et génératrice de E.

Théorème 3.1. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. SoitI un ensemble et(ui)i∈I ∈E^I une famille d’élé- ments de E indexée par I, tel que (u_i)_i∈I soit une base de E.

Alors pour tout vecteur u∈ E, il existe un unique sous-ensemble J ⊆ I et une unique famille (λ_j)_j∈J de scalaires non nuls tel que :

u=X

j∈J

λ_j•u_j. Ainsi tout vecteur admet une décomposition unique dans une base.

Exemple 3.1. Soitn∈Nun entier naturel. Soit(δi)1≤i≤n∈(Kⁿ)ⁿ la famille denvecteurs de Kⁿ telle que la j-ième coordonnée dui-ième vecteur soit égale à0 sii6=j et à1 sinon. Alors(δi)1≤i≤n ∈(Kⁿ)ⁿ est une base de(Kⁿ,+,^. ·)^. (on dit que c’est la base canonique deKⁿ).

Propriété 3.1. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments deE indexée parI. Soitσune bijection deI dansI. Soit(vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

n

vi=u_σ(i)

Alors, la famille(ui)_i∈I est une base deE si et seulement si la famille(vi)_i∈I est une base deE.

Propriété 3.2. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit λ ∈ K tel que λ 6= 0 et i0 ∈ I un élément de I. Soit (vi)_i∈ ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(v_i0=λ•u_i0

vi=ui pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(ui)_i∈I est une base deE si et seulement si la famille(vi)_i∈I est une base deE.

Propriété 3.3. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée parI. Soitλ∈K. Soienti0∈I etj0∈I deux éléments deI tels que i06=j0. Soit (vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀=ui₀+λ•uj₀

v_i=u_i pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(u_i)_i∈I est une base si et seulement si la famille(v_i)_i∈I est une base.

Théorème 3.2. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitJ un ensemble fini. SoitI un sous-ensemble deJ.

Soit(u_j)_j∈J une famille d’élément deE, tel que la famille(u_i)_i∈I soit une famille libre et la famille (u_j)_j∈J soit une famille génératrice deE. Alors il existe un ensembleK tel queI⊆K⊆J et la famille(u_k)_k∈K est une base de E.

Théorème 3.3. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel qui admet une famille génératrice finie. Alors toutes les bases de(E,+,•)ont le même cardinal.

Définition 3.2. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel qui admet une famille génératrice finie. On dit que (E,+,•)est de dimension finie et on appelle dimension de (E,+,•)le cardinal des bases de E.

Propriété 3.4. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel de dimension fini égale àn. Alors toute famille libre de nélément est une base.

Propriété 3.5. Soit(E,+,•) un K-espace vectoriel de dimension fini égale à n. Alors toute famille géné- ratrice den élément est une base.

Propriété 3.6. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. SoitF un sous-espace vectoriels de (E,+,•). Si E et F sont de dimensions finies et égales. AlorsE=F.

Algorithme 3.1. Soient n un entier positif dans N. Soit (ui)1≤i≤n ∈(Kⁿ)ⁿ une famille de n vecteurs de Kⁿ. On noteu_i,jlaj-ième coordonnée dui-ième vecteur de la famille(u_i)_1≤i≤n. L’algorithme suivant permet de décider si(u_i)_1≤i≤n est libre, ou liée.

Prendrep←0.

1. si p=n alors la famille est une base.

2. si p < n et si pour toutk tel quep < k≤n, on ait uk,p+1= 0 alors la famille n’est pas une base.

3. sinon, prendre kle plus petit entier strictement supérieur à ptel queuk,p+16= 0.

4. Multiplier le vecteur uk par l’inverse de uk,p+1.

5. Soustraire à chaque vecteuruk⁰ pour k⁰6=kle vecteur uk multiplié paruk,p+1. 6. Permuter le vecteurup+1 etuk.

7. Prendrep←p+ 1.

8. Retourner à l’étape 1.