IIRelationsentrelesdimensions II.1Premiersrésultats IDimensiond’unespacevectoriel Espacesvectorielsdedimensionﬁnie

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Espaces vectoriels de dimension finie

I Dimension d’un espace vectoriel

Définition 1 Un ev est dit de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.

Attention, K [X] est de dimension infinie.

Théorème 2 (théorème de la base incomplète) Toute famille libre d’un ev E de dimen- sion finie peut être complétée en une base de E (on complète par des vecteurs d’une famille génératrice de E ).

On a aussi la version «duale» : de toute famille génératrice de E, on peut en extraire une base de E .

Corollaire 3 (Existence de bases en dimension finie) Tout ev de dim finie admet une base.

Théorème 4 (Lemme de Steinitz) Une famille libre a toujours moins ou autant de vecteurs qu’une famille génératrice.

Définition 5 (Dimension d’un ev) Toutes les bases de E ont le même nombre d’éléments.

Cet entier commun s’appelle la dimension de E, noté dim E.

Exemples :

• on obtient la dimension des ev de références grâce à leurs bases canoniques (attention dim K _n [ X ] = n + 1 car sa base canonique est (1 , X, . . . , X ⁿ )) :

dim K ⁿ = n, dim K _n [ X ] = n + 1 , dim M n,p ( K ) = n × p.

• l’espace C est un C -ev de dimension 1, mais un R -ev de dimension 2.

Application : existence d’un polynôme annulateur non nul pour une matrice A de M n ( K ) car la famille ( I _n , A, A ² , A ³ , . . . , A ⁿ

²

) est liée.

Proposition 6 Dans un ev de dim n, pour une famille de n vecteurs il y a équivalence entre libre, génératrice et base.

Application : Si (P i ) est une famille de K [X] avec deg P i = i, alors la famille (P 0 , P 1 , . . . , P n ) est une base de K _n [ X ].

II Relations entre les dimensions

II.1 Premiers résultats

Proposition 7 Si F est un sev de E de dim finie, alors F est de dim finie et dim F 6 dim E.

Si de plus dim F = dim E, alors F =E.

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Applications :

• l’espace des suites K ^N est de dimension infinie, car sinon K [ X ] sev de K ^N serait de dim finie.

• l’espace E des fonctions continues de R dans R est de dimension infinie. En effet pour tout n ∈ N , si on pose f _n : x 7→ e ^nx , la famille ( f 0 , f 1 , ..., f _n ) est une famille libre de E . Lemme 8 (Conservation des bases par isomorphisme) Soit f ∈ L(E, F ). Alors f trans- forme une base de E en une base de F , si et seulement si, f est bijective (donc est un isomor- phisme).

Proposition 9 (K puissance n, modèle des ev de dimension n)

• Tout K -ev de dim n est isomorphe à K ⁿ .

• Deux K -ev de dim finie sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.

Remarque : pour déterminer la dimension d’un espace E , on dispose donc d’une nouvelle méthode : exhiber un isomorphisme avec un ev dont on connaît la dimension.

Exemple : Soit a, b ∈ K et F l’espace vectoriel des suites de K ^N vérifiant ∀ n ∈ N , u _n+2 = au n+1 + bu n . L’application f : F → K ² définie par f (u) = (u 0 , u 1 ) est un isomorphisme, ainsi dim F = 2.

Exemple : les commutants de deux matrices semblables sont isomorphes (A et B dans M n ( K ) sont semblables s’il existe P inversible telle que A = P BP ⁻ ¹ ).

Proposition 10 (Existence de supplémentaires en dim finie) Soit F un sev de E un K - ev de dim finie. Alors F admet un supplémentaire dans E, c’est-à-dire il existe H sev de E tel que F ⊕ H = E. De plus dim H = dim E − dim F .

II.2 Dimension d’une somme de deux sev

Proposition 11 (Dimension d’une somme directe) Si deux espaces E 1 et E 2 sont supplé- mentaires dans E de dim finie, on obtient une base de E en «recollant» une base de E 1 et de E 2 (on parle de base adpatée à la somme directe). On en déduit que

dim E 1 ⊕ E 2 = dim E 1 + dim E 2 .

Proposition 12 (Grassmann) Soit E 1 et E 2 deux sev de E un K -ev de dim finie. Alors dim( E 1 + E 2 ) = dim E 1 + dim E 2 − dim( E 1 ∩ E 2 )

Corollaire 13 (Caractérisation d’une somme directe en dim finie) Soit E 1 et E 2 deux sev de E un K -ev de dim finie. Alors

E = E 1 ⊕ E 2 ⇔ ( E 1 ∩ E 2 = {0} et dim E = dim E 1 + dim E 2 )

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II.3 D’autre résultats

Proposition 14 Soit E et F deux ev de dim finie. Alors

dim(E × F ) = dim E + dim F et dim L(E, F ) = dim E × dim F.

On en déduit par l’AL φ : (E 1 × · · · × E _p ) → E 1 + · · · + E _p définie par φ(x 1 , . . . , x _p ) = x 1 + · · · + x p que :

Proposition 15 Soit E 1 , . . . , E _p des sev de E un K -ev de dim finie. Alors dim(E 1 + · · · + E p ) 6 dim E 1 + · · · + dim E p

De plus, il y a égalité, ssi la somme est directe.

III Rang

III.1 Généralités

Définition 16 (Rang d’une famille de vecteurs) Le rang d’une famille de vecteurs ( x 1 , . . . , x _p ) est la dimension de l’ev engendré par cette famille, c’est-à-dire

rg(x 1 , . . . , x p ) = dim Vect {x 1 , . . . , x p }.

De plus rg( x 1 , . . . , x _p ) 6 p avec égalité ssi la famille ( x 1 , . . . , x _p ) est libre.

Définition 17 (Rang d’une AL) Le rang d’une AL f est la dimension de son image Im f (si elle est de dimension finie).

Proposition 18 (Lien entre les deux def) soit f ∈ L(E, F ) avec E de dimension finie.

Alors Im f est de dimension finie. Plus précisément, si (e 1 , . . . , e n ) est une base de E, alors rg f = dim Im u = dim Vect { f ( e 1 ) , . . . , f ( e _n )} = rg( f ( e 1 ) , . . . , f ( e _n )) .

On en déduit que le rang de f est inférieur à dim E et à dim F .

Morale : si f est une photocopieuse, l’inégalité rg( f ) = dim f ( E ) 6 dim E exprime que la copie f(E) ne peut être de meilleure qualité que l’original E .

Exemple : Si A ∈ M n,p ( K ), on note f : M p,1 ( K ) → M n,1 ( K ) définie par f ( X ) = AX , l’application linéaire canoniquement associée à A. Alors Im f est engendrée par les colonnes de A.

Proposition 19 (Effet d’une AL sur le rang) Quand on compose par une AL , le rang est diminué ou conservé. Il est conservé si l’on compose par un isomorphisme. Si f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G)avec E, F, G de dim finie, on a :

rg( g ◦ f ) 6 min(rg( f ) , rg( g )) .

De plus, si f isomorphisme, on a rg(g ◦ f) = rg g et si g isomorphisme, alors rg(g ◦ f ) = rg f.

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III.2 Le théorème du rang

Théorème 20 Le théorème du rang : si f ∈ L(E, F ) avec E de dimension finie, on a : dim(Im f) = dim E − dim Ker f ou dim E = dim Ker f + rg f.

Morale : si f est une photocopieuse, on a «qualité de l’image = qualité de l’original - défaut d’injectivité»

Exemple : si dim E = 3 et f ∈ L(E) vérifie f ² = 0 avec f 6= 0, alors dim Kerf = 2.

Corollaire 21 (Équivalence bijective, injective, surjective) Si f ∈ L(E, F ) et que dim E = dim F , alors il y a équivalence entre f injective, f surjective et f bijective.

En particulier, si f est un endomorphisme de E , on a f bijective ssi rg f = dim E .

Remarque : ce résultat est faux si dim E 6= dim F ou si E ou F ne sont pas de dimension finie (prendre la dérivation dans K [ X ]).

Application : existence des polynômes interpolateurs de Lagrange avec P 7→ ( P ( a 0 ) , ..., P ( a _n )).

IV Hyperplans et équations cartésiennes de sev

IV.1 Formes linéaires et hyperplans

Définition 22 On appelle hyperplan d’un ev E (pas forcément de dim finie), le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Morale : un hyperplan de E est un sev de E soumis à une «contrainte».

Proposition 23 (Caractérisation des hyperplans en dimension finie) Si E est de dim n et H est 1 sev de E, il y a équivalence entre : (i) dim H = n − 1 ; (ii) H admet une droite supplémentaire dans E, (iii) H est le noyau d’une forme linéaire non nulle φ.

Application : l’ensemble des matrices de M n ( K ) de trace nulle est un hyperplan de M n ( K ), sa dimension est n ² − 1.

Remarque : équation cartésienne d’un hyperplan : si B = (e 1 , . . . , e n ) base de E, et x a pour coordonnées (x 1 , . . . , x n ) dans cette base, alors x ∈ H = Ker φ ⇔ φ(x) = 0 ⇔ ^P ⁿ _i=1 x i φ(e i ) = 0.

IV.2 Intersection d’hyperplans

Notion de formes linéaires «coordonnées» relativement à une base B = (e 1 , . . . , e n ) de E : l’application e ^∗ _i qui à un vecteur x de E associe sa i -ème coordonnée dans B est une forme linéaire «coordonnée n°i» relative à la base B.

Proposition 24 Soit E un ev de dimension n.

• L’intersection de p hyperplans de E est au moins de dimension n − p (chaque hyperplan fournit une équation qui enlève potentiellement un degré de liberté).

• Réciproquement, si F est un sev de dimension n − p, il est l’intersection de p hyperplans.

Les équations de ces p hyperplans constituent une équation cartésienne de F .

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Espaces vectoriels de dimension finie

I Dimension d’un espace vectoriel

Définition 1 Un ev est dit de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.

Attention, K [X] est de dimension infinie.

Théorème 2 (théorème de la base incomplète) Toute famille libre d’un ev E de dimen- sion finie peut être complétée en une base de E (on complète par des vecteurs d’une famille génératrice de E ).

On a aussi la version «duale» : de toute famille génératrice de E, on peut en extraire une base de E .

Corollaire 3 (Existence de bases en dimension finie) Tout ev de dim finie admet une base.

Théorème 4 (Lemme de Steinitz) Une famille libre a toujours moins ou autant de vecteurs qu’une famille génératrice.

Définition 5 (Dimension d’un ev) Toutes les bases de E ont le même nombre d’éléments.

Cet entier commun s’appelle la dimension de E, noté dim E.

Exemples :

• on obtient la dimension des ev de références grâce à leurs bases canoniques (attention dim K n [ X ] = n + 1 car sa base canonique est (1 , X, . . . , X n )) :

dim K n = n, dim K n [ X ] = n + 1 , dim M n,p ( K ) = n × p.

• l’espace C est un C -ev de dimension 1, mais un R -ev de dimension 2.

Application : existence d’un polynôme annulateur non nul pour une matrice A de M n ( K ) car la famille ( I n , A, A 2 , A 3 , . . . , A n

) est liée.

Proposition 6 Dans un ev de dim n, pour une famille de n vecteurs il y a équivalence entre libre, génératrice et base.

Application : Si (P i ) est une famille de K [X] avec deg P i = i, alors la famille (P 0 , P 1 , . . . , P n ) est une base de K n [ X ].

II Relations entre les dimensions

II.1 Premiers résultats

Proposition 7 Si F est un sev de E de dim finie, alors F est de dim finie et dim F 6 dim E.

Si de plus dim F = dim E, alors F =E.

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Applications :

• l’espace des suites K N est de dimension infinie, car sinon K [ X ] sev de K N serait de dim finie.

Proposition 9 (K puissance n, modèle des ev de dimension n)

• Tout K -ev de dim n est isomorphe à K n .

• Deux K -ev de dim finie sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.

Remarque : pour déterminer la dimension d’un espace E , on dispose donc d’une nouvelle méthode : exhiber un isomorphisme avec un ev dont on connaît la dimension.

Exemple : Soit a, b ∈ K et F l’espace vectoriel des suites de K N vérifiant ∀ n ∈ N , u n+2 = au n+1 + bu n . L’application f : F → K 2 définie par f (u) = (u 0 , u 1 ) est un isomorphisme, ainsi dim F = 2.

Exemple : les commutants de deux matrices semblables sont isomorphes (A et B dans M n ( K ) sont semblables s’il existe P inversible telle que A = P BP − 1 ).

Proposition 10 (Existence de supplémentaires en dim finie) Soit F un sev de E un K - ev de dim finie. Alors F admet un supplémentaire dans E, c’est-à-dire il existe H sev de E tel que F ⊕ H = E. De plus dim H = dim E − dim F .

II.2 Dimension d’une somme de deux sev

Proposition 11 (Dimension d’une somme directe) Si deux espaces E 1 et E 2 sont supplé- mentaires dans E de dim finie, on obtient une base de E en «recollant» une base de E 1 et de E 2 (on parle de base adpatée à la somme directe). On en déduit que

dim E 1 ⊕ E 2 = dim E 1 + dim E 2 .

Proposition 12 (Grassmann) Soit E 1 et E 2 deux sev de E un K -ev de dim finie. Alors dim( E 1 + E 2 ) = dim E 1 + dim E 2 − dim( E 1 ∩ E 2 )

Corollaire 13 (Caractérisation d’une somme directe en dim finie) Soit E 1 et E 2 deux sev de E un K -ev de dim finie. Alors

E = E 1 ⊕ E 2 ⇔ ( E 1 ∩ E 2 = {0} et dim E = dim E 1 + dim E 2 )

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II.3 D’autre résultats

Proposition 14 Soit E et F deux ev de dim finie. Alors

dim(E × F ) = dim E + dim F et dim L(E, F ) = dim E × dim F.

On en déduit par l’AL φ : (E 1 × · · · × E p ) → E 1 + · · · + E p définie par φ(x 1 , . . . , x p ) = x 1 + · · · + x p que :

Proposition 15 Soit E 1 , . . . , E p des sev de E un K -ev de dim finie. Alors dim(E 1 + · · · + E p ) 6 dim E 1 + · · · + dim E p

De plus, il y a égalité, ssi la somme est directe.

III Rang

III.1 Généralités

Définition 16 (Rang d’une famille de vecteurs) Le rang d’une famille de vecteurs ( x 1 , . . . , x p ) est la dimension de l’ev engendré par cette famille, c’est-à-dire

rg(x 1 , . . . , x p ) = dim Vect {x 1 , . . . , x p }.

De plus rg( x 1 , . . . , x p ) 6 p avec égalité ssi la famille ( x 1 , . . . , x p ) est libre.

Définition 17 (Rang d’une AL) Le rang d’une AL f est la dimension de son image Im f (si elle est de dimension finie).

Proposition 18 (Lien entre les deux def) soit f ∈ L(E, F ) avec E de dimension finie.

Alors Im f est de dimension finie. Plus précisément, si (e 1 , . . . , e n ) est une base de E, alors rg f = dim Im u = dim Vect { f ( e 1 ) , . . . , f ( e n )} = rg( f ( e 1 ) , . . . , f ( e n )) .

On en déduit que le rang de f est inférieur à dim E et à dim F .

Morale : si f est une photocopieuse, l’inégalité rg( f ) = dim f ( E ) 6 dim E exprime que la copie f(E) ne peut être de meilleure qualité que l’original E .

Exemple : Si A ∈ M n,p ( K ), on note f : M p,1 ( K ) → M n,1 ( K ) définie par f ( X ) = AX , l’application linéaire canoniquement associée à A. Alors Im f est engendrée par les colonnes de A.

Proposition 19 (Effet d’une AL sur le rang) Quand on compose par une AL , le rang est diminué ou conservé. Il est conservé si l’on compose par un isomorphisme. Si f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G)avec E, F, G de dim finie, on a :

rg( g ◦ f ) 6 min(rg( f ) , rg( g )) .

De plus, si f isomorphisme, on a rg(g ◦ f) = rg g et si g isomorphisme, alors rg(g ◦ f ) = rg f.

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III.2 Le théorème du rang

Théorème 20 Le théorème du rang : si f ∈ L(E, F ) avec E de dimension finie, on a : dim(Im f) = dim E − dim Ker f ou dim E = dim Ker f + rg f.

Morale : si f est une photocopieuse, on a «qualité de l’image = qualité de l’original - défaut d’injectivité»

Exemple : si dim E = 3 et f ∈ L(E) vérifie f 2 = 0 avec f 6= 0, alors dim Kerf = 2.

Corollaire 21 (Équivalence bijective, injective, surjective) Si f ∈ L(E, F ) et que dim E = dim F , alors il y a équivalence entre f injective, f surjective et f bijective.

En particulier, si f est un endomorphisme de E , on a f bijective ssi rg f = dim E .

Remarque : ce résultat est faux si dim E 6= dim F ou si E ou F ne sont pas de dimension finie (prendre la dérivation dans K [ X ]).

Application : existence des polynômes interpolateurs de Lagrange avec P 7→ ( P ( a 0 ) , ..., P ( a n )).

IV Hyperplans et équations cartésiennes de sev

IV.1 Formes linéaires et hyperplans

Définition 22 On appelle hyperplan d’un ev E (pas forcément de dim finie), le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Morale : un hyperplan de E est un sev de E soumis à une «contrainte».

Proposition 23 (Caractérisation des hyperplans en dimension finie) Si E est de dim n et H est 1 sev de E, il y a équivalence entre : (i) dim H = n − 1 ; (ii) H admet une droite supplémentaire dans E, (iii) H est le noyau d’une forme linéaire non nulle φ.

Application : l’ensemble des matrices de M n ( K ) de trace nulle est un hyperplan de M n ( K ), sa dimension est n 2 − 1.

Remarque : équation cartésienne d’un hyperplan : si B = (e 1 , . . . , e n ) base de E, et x a pour coordonnées (x 1 , . . . , x n ) dans cette base, alors x ∈ H = Ker φ ⇔ φ(x) = 0 ⇔ P n i=1 x i φ(e i ) = 0.

IV.2 Intersection d’hyperplans

Notion de formes linéaires «coordonnées» relativement à une base B = (e 1 , . . . , e n ) de E : l’application e ∗ i qui à un vecteur x de E associe sa i -ème coordonnée dans B est une forme linéaire «coordonnée n°i» relative à la base B.

Proposition 24 Soit E un ev de dimension n.

• on obtient la dimension des ev de références grâce à leurs bases canoniques (attention dim K _n [ X ] = n + 1 car sa base canonique est (1 , X, . . . , X ⁿ )) :

dim K ⁿ = n, dim K _n [ X ] = n + 1 , dim M n,p ( K ) = n × p.

Application : existence d’un polynôme annulateur non nul pour une matrice A de M n ( K ) car la famille ( I _n , A, A ² , A ³ , . . . , A ⁿ

Application : Si (P i ) est une famille de K [X] avec deg P i = i, alors la famille (P 0 , P 1 , . . . , P n ) est une base de K _n [ X ].

• l’espace des suites K ^N est de dimension infinie, car sinon K [ X ] sev de K ^N serait de dim finie.

• Tout K -ev de dim n est isomorphe à K ⁿ .

Exemple : Soit a, b ∈ K et F l’espace vectoriel des suites de K ^N vérifiant ∀ n ∈ N , u _n+2 = au n+1 + bu n . L’application f : F → K ² définie par f (u) = (u 0 , u 1 ) est un isomorphisme, ainsi dim F = 2.

Exemple : les commutants de deux matrices semblables sont isomorphes (A et B dans M n ( K ) sont semblables s’il existe P inversible telle que A = P BP ⁻ ¹ ).

On en déduit par l’AL φ : (E 1 × · · · × E _p ) → E 1 + · · · + E _p définie par φ(x 1 , . . . , x _p ) = x 1 + · · · + x p que :

Proposition 15 Soit E 1 , . . . , E _p des sev de E un K -ev de dim finie. Alors dim(E 1 + · · · + E p ) 6 dim E 1 + · · · + dim E p

Définition 16 (Rang d’une famille de vecteurs) Le rang d’une famille de vecteurs ( x 1 , . . . , x _p ) est la dimension de l’ev engendré par cette famille, c’est-à-dire

De plus rg( x 1 , . . . , x _p ) 6 p avec égalité ssi la famille ( x 1 , . . . , x _p ) est libre.

Alors Im f est de dimension finie. Plus précisément, si (e 1 , . . . , e n ) est une base de E, alors rg f = dim Im u = dim Vect { f ( e 1 ) , . . . , f ( e _n )} = rg( f ( e 1 ) , . . . , f ( e _n )) .

Exemple : si dim E = 3 et f ∈ L(E) vérifie f ² = 0 avec f 6= 0, alors dim Kerf = 2.

Application : existence des polynômes interpolateurs de Lagrange avec P 7→ ( P ( a 0 ) , ..., P ( a _n )).

Application : l’ensemble des matrices de M n ( K ) de trace nulle est un hyperplan de M n ( K ), sa dimension est n ² − 1.

Remarque : équation cartésienne d’un hyperplan : si B = (e 1 , . . . , e n ) base de E, et x a pour coordonnées (x 1 , . . . , x n ) dans cette base, alors x ∈ H = Ker φ ⇔ φ(x) = 0 ⇔ ^P ⁿ _i=1 x i φ(e i ) = 0.

Notion de formes linéaires «coordonnées» relativement à une base B = (e 1 , . . . , e n ) de E : l’application e ^∗ _i qui à un vecteur x de E associe sa i -ème coordonnée dans B est une forme linéaire «coordonnée n°i» relative à la base B.