ds10-1°PH-PROBA-SUITES-FONCTIONS

DS MATHEMATIQUES 1°STGG NOMBRE DERIVEE 2008-2009 Exercice 1

Le nombre d’objets produits et vendus chaque jour par une entreprise est noté x

Le bénéfice en euros qu’elle en retire est donné par la formule suivante b x( )  x² 90x1400 On considère la fonction ^f définie sur l’intervalle ^{[0 ;90]} par f x( )  x² 90x1400

1.a. Vérifier que ^{f x( ) ( x200)(70x)}

b. Résoudre l’inéquation : ^{f x( ) 0} dans l’intervalle ^{[0 ;90]}.

Rappel : On peut commencer par étudier le signe de chaque facteur dans un tableau de signe.

c. En déduire la quantité d’objets à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

2. Calculer ^{f x'( )}où ^{f '}désigne la dérivée de la fonction f .

3. Étudier le signe de ^{f x'( )}puis établir le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle ^{[0 ;90]}. 4. En déduire la quantité d’objets à produire pour obtenir un bénéfice maximum

5. Chaque objet est vendu 120 euros. On désigne par ^{R x( )}la recette réalisée par la vente de x objets.

a. Exprimer ^{R x( )}en fonction de x.

b. On appelle ^{C x( )}le coût total de fabrication de x objets. Vérifier que : C x( )x²30x1400. 6.

a. Sur le graphique ci-dessous on donne la courbe représentative de la fonction C.

( 1 cm pour 10 unités sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 1 000 unités sur l’axe des ordonnées.) Tracer sur le même graphique la droite ^₁₂₀représentative de la recette R.

b. Indiquer sur le graphique la quantité d’objets à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice (on fera apparaître les traits de construction nécessaires à la lecture).

Exercice 2 :

Soit f la fonction définie sur R par f x( )x²3x.

On suppose que f est dérivable pour toute valeur de x et qu'alors ^{f x'( ) 2 x3} 1. Construire C f sa courbe représentative dans un repère du plan.

On pourra compléter le tableau des valeurs suivants :

x 2 1 0 1 1,5 2 3 4 5

( ) f x

'( )_A f x

2. Soit A le point d'abscisse 2 de Cf. a. Donner l'ordonnée de A.

b. donner f '(2) puis l'équation de A la tangente en A à Cf puis construire A. 3.

a. Calculer les coordonnées de B et C, les points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses.

b. Calculer l'équation des tangentes en ces points (notées B et C) puis construire B et C . 4.a. En quel point E la tangente E à Cf a-t-elle pour coefficient directeur –1 ?

b . Construire E puis calculer l'équation réduite de E .

Annexe exercice 1

C

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 2000

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 10000 11000

0 5

1000

x y