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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
Baccalauréat STT ACC - ACA France Juin 2006 - CORRIGE
Exercice 1 Partie A
1.a Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = 450, on trace la droite horizontale d’équation y = 450 et on lit l’abscisse des points d’intersection de cette droite et de la courbe C.
On trouve que f(x) = 450 pour x = 10 ou x = 32.
1.b Cela signifie que les personnes qui se connectent en moyenne 450 minutes en fin de semaine sont celles de 10 ans et 32 ans.
2.a Pour résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 180
f x ≤ , on trace la droite horizontale d’équation y = 180 et on lit l’abscisse des points de la courbe C situés sous la droite.
On trouve que f x( ) 180≤ pour x compris entre 46 et 71 environ.
2.b Cela signifie que les personnes qui se connectent moins de 180 minutes en fin de semaine sont celles qui ont entre 46 ans et 71 ans.
3. 6 heures correspondent à 360 minutes.
Se connecter au moins 6 heures signifie que ( ) 360
f x ≥ . Les mêmes méthodes nous amènent à conclure que ce sont les personnes entre 7 et 37 ans qui se connectent au moins 6 heures.
y=450
y=180 y=360
20 30 40 50 60 70
-10 120 180 240 300 360 420 480 540
0 10
60
Age Duree (mn)
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Partie B
On admet que f x( ) 0.016= x3−1.92x2 +57.6x+50 sur I = [5 ;75].
1.a La dérivée de f est donc donnée par f x'( ) 3 0.016= × x2− ×2 1.92x+57.6 soit f x'( ) 0.048= x2−3.84x+57.6. 1.b Vérifions que f x'( ) 0.048=
(
x−20)(
x−60)
en développant cette expression.( )( ) ( 2 )
2
'( )
0.048 20 60 0.048 80 1200 0.048 3.84 57.6
f x
x− x− = x − x+ = x − x+ et on reconnaît bien l’expression de f’(x).
1.c Le nombre 0.048 est positif donc f’(x) est du signe de
(
x−20)(
x−60)
.1.d On en déduit le tableau de variations de la fonction f :
2. a La durée maximale de connexion est donc de 562 minutes, soit 9h 22 minutes. Ce sont les internautes de 20 ans qui se connectent le plus longtemps suivant cette étude (20 est l’antécédent de 562 par f).
2. b La durée minimale de connexion est elle de 50 minutes. Ce sont les internautes de 60 ans qui se connectent le moins longtemps.
Exercice 2 Partie A
1. Voir ci-dessous pour le nuage de points.
2. Le point moyen G a pour coordonnées les moyennes des coordonnées du nuage de points.
Ainsi, G(4 ;9).
3. Soit D la droite d’ajustement qui admet 3 pour coefficient directeur et qui passe par G.
a. Comme le coefficient directeur de D est 3, son équation est du type y = 3x + b.
Pour trouver b, on remplace les coordonnées de G dans l’équation précédente (G appartient à D) : on trouve 9 = 12 + b donc b = -3.
Ainsi, D admet pour équation y = 3x – 3.
b. Pour tracer D :
- on sait qu’elle passe par G.
- on remplaçant x par 1, on trouve y = 0 donc elle passe aussi par (1 ;0).
4.a L’année 2007 correspond au rang x = 9 : suivant cet ajustement, on a alors y= × − =3 9 3 24soit une estimation de 24 millions d’abonnés.
4.b Le nombre d’abonnés y dépasse 32 millions lorsque 32 3 3 32 35 11.6
y≥ ⇔ x− ≥ ⇔ ≥x 3 ≈ soit à partir de 2010.
x 5 20 60 75 x-20 - 0 + + x-60 - - 0 + f ’(x) + 0 - 0 +
x 5 20 60 75
f ’(x) + 0 - 0 + f (x)
292
562 50
320
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Rang x 1 2 3 4 5 6 7
Nombre d’abonnés y (millions d’ ) 0.5 3 6 8.4 12.1 15 18
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Partie B
Nous considérons la suite géométrique
( )
un qui désigne le nombre d’abonnés en 1998 + n, avec u1 =9000 et la raison q = 1.8.1.a Le nombre d’abonnés en 1998 correspond à u2 =1.8× =u1 1.2 9000 16200× = . 1.b On a :
- u3 =1.8×u2 =1.8 16200 29160× = - u4 =1.8× =u3 1.8 29160 52488× =
1.c D’après les résultats sur les suites géométriques, on a un = ×u q1 n−1=9000 1.8× n−1.
2. On cherche à résoudre l’équation d’inconnue n, 9000 1.8 1 32 000 000 1.8 1 32000 3556 9
n− n−
× = ⇔ = ≈ .
A la calculatrice, on cherche la plus petite valeur de n telle que 1.8n−1 ≥3556 : on trouve n = 14 qui correspond à l’année 2012.
3. Dans le milieu urbain (A.4.b), nous avons vu que dès 2010 les 32 millions d’abonnés sont dépassés alors que dans le milieu rural (B.2) il faudra attendre 2 ans de plus, soit 2012 pour dépasser les 32 millions d’internautes.
G
D
2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
0 1
2
x y
