B est le milieu de [EC

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THEOREME DES MILIEUX ET THEOREME DE THALES

I. Théorèmes des milieux.

1. Propriété 1 : parallèlisme

Dans un triangle si une droite passe par les deux milieux de 2 côtés de ce triangle alors cette droite est parallèle au 3^ème côté.

Exemple :

 Dans le triangle EPC

 A est le milieu de [EP].

 B est le milieu de [EC].

 D’après la propriété 1

« Dans un triangle si une droite passe par les deux milieux de 2 côtés de ce triangle alors cette droite est parallèle au 3^ème côté »

 La droite (AB) est parallèle à la droite (PC).

(2)

2. Propriété 2 : distance.

Dans un triangle la longueur joignant deux milieux de 2 côtés de ce triangle est égale à la moitié du 3^ème côté.

Exemple :

 Dans le triangle EPC

 A est le milieu de [EP].

 B est le milieu de [EC].

D’après la propriété ci-dessus (à citer)

 alors

2 AB PC .

3. Propriété 3 .

Dans un triangle si une droite passe par le milieu d’un côté et elle est parallèle au deuxième côté alors elle passe par le milieu du 3^ème côté.

Exemple :

 Dans le triangle RST.

 A est le milieu de [RS].

 B appartient à [RT] et (AB) // (ST).

 D’après la propriété 3

 B est le milieu de [RT].

(3)

II. Théorème de Thalès.

1. Un peu d’histoire.

Astronome, commerçant, ingénieur et philosophe grec.

Il est né en -628 et il est mort en -548.

Bien qu'il n'ait laissé aucun écrit, on peut le considérer, de par un ensemble des récits anciens le concernant, comme le père de la géométrie déductive grecque héritée des Babyloniens et des Égyptiens.

2. Propriété de Thalès:

Dans le triangle LFR Si :

 M est un point du côté [LF]

 N un point du côté [LR].

 (MN) est parallèle à (FR) .

 L est le point opposé aux deux droites parallèles

Alors : on a l’égalité des rapports LF LR

LM LN

FR

  MN

Ou inversement

LM LN LF LR

MN

  FR

Ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Longueurs des côtés du triangle LMN

LM LN MN

Longueurs des côtés correspondants de LFR

LF LR FR

(4)

Exemple : trouver une longueur manquante dans un triangle avec deux droites parallèles

Soit AFR un triangle tel que AF=5cm, AR=7cm et FR=8cm. Soit B un point de [AF] et M un point de [AR] tels que (BM) soit parallèle à (FR) et AB= 2cm.

Calculer AM et BM.

Rédaction :

Dans le triangle AFR,

 B[AF]

 M[AR]

 (BM)//(FR).

 Le point opposé aux deux droites parallèles est : A D’après la propriété de Thalès^{: «} on a : l’égalité des rapports

A A

B M BM F  R  FR