Sur les tests dérivés de la loi de Kolmogorov

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

M ^AURICE D ^UMAS

Sur les tests dérivés de la loi de Kolmogorov

Revue de statistique appliquée, tome 25, n

^o

1 (1977), p. 35-55

<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1977__25_1_35_0>

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35

SUR LES TESTS DÉRIVÉS DE LA LOI DE KOLMOGOROV

Maurice

DUMAS

Ingénieur

^{en chef} de l’artillerie navale

(E. R.)

TABLE DES MATIERES

Pages

1. Introduction et notations... 36

2. Le test K.S. et son

application graphique ...

37

3.

Remarques

^{sur le test} K.S... 37

4.

Application numérique

^{du test}

K.S...

³⁹

Exemple

... 39

5. Cas où H est une loi normale... 40

6. Cas 1 : La loi normale

H,

^bien

déterminée,

^est

quelconque...

40

7. Cas II : Les

paramètres

^de la loi normale H sont déterminés _par m = xet a = s... 41

8. Cas III : Les

paramètres

^{m et a} de la loi H ont été déterminés _par une droite de

Henry ...

⁴¹

9.

Exemple

tiré d’une étude

technique...

⁴⁴

a)

Position du

problème...

⁴⁴

b) Graphique

^de

Henry...

⁴⁴

c)

Tests divers... 45

d)

Discussion

statistique...

⁴⁶

e)

Discussion

technique...

⁴⁶

10.

Bibliographie...

⁴⁷

Table 1 et Table II... 48 - 5 0

RESUME

L’auteur examine le cas du test de Kolmogorov-Smirnov, ^{et celui du test de} Lilliefors ; il formule à leur sujet quelques remarques qui ^le conduisent à établir différentes tables numé- riques, grâce auxquelles l’application ^{de l’un et} de l’autre de ces tests est rendue très simple,

particulièrement

^{en ce} qui ^{concerne le cas où la loi} hypothèse ^{est normale.}

Revue de Statistique Appliquée, 1977 vol. XXV N° 1

Mots-clés : Loi de

Kolmogorov.

^{Test de}

Kolmogorov-Smirnov.

^{Test de Kolmo-}

gorov-Lilliefors.

Il établit de plus ^{une liaison entre ces tests et} la construction de Henry ; ^{il montre}

que des courbes critiques, concrétisant des tests, peuvent être tracées ^{sur un} graphique ^de Henry, et comment l’on peut ^se rapprocher ainsi d’un test de normalité.

1 ^- INTRODUCTION ET NOTATIONS

Le test dérivé le

plus

directement de la loi de

Kolmogorov

^{est connu}

sous le ^nom de Test de

Kolmogorov-Smirnov (Test K.S.).

^{Il met en cause}

une série de n mesures xi, ^{avec :}

à

laquelle

^{nous faisons}

correspondre :

Le test K.S.

s’applique lorsque

^{l’on se} propose de décider s’il _y a lieu de

rejeter l’hypothèse d’après laquelle

la série de mesures

proviendrait

^d’une

certaine loi

continue,

entièrement

déterminée ;

^{soit F}

(x)

la fonction de

répar-

tition de cette

loi,

^{dite loi}

hypothèse,

^ou loi H. En

particulier,

^il

s’applique

au cas où H est la loi

normale,

entièrement déterminée _par ses deux _para- mètres m et a, connus ;

plus particulièrement

^{encore, il}

s’applique

^{au cas}

où m et a sont définis à

partir

^{de la série}

elle-même,

^au moyen des relations

suivantes,

^{mettant en cause} des estimations

classiques :

Ce dernier cas

particulier

^{a été}

envisagé

par MASSEY

[2] ] puis

^étudié

par LILLIEFORS

[3] ]

^au moyen d’une méthode de

Monte-Carlo ;

^l’aboutis-

sement a été le test de

Kolmogorov-Lilliefors (dit

^dans la suite : test

L.) auquel

^sont associées des valeurs

numériques inférieures,

à conditions

égales,

à celles _que le test K.S. conduirait à considérer si l’on ne tenait _pas

compte

des coincidences _que traduisent les relations

(1).

Dans ^ce

qui ^suit,

^{nous nous} proposons de montrer que la mise en oeuvre

graphique

^{du test K.S.}

peut

^être

plus simple

que ^si la théorie était suivie pas à _{pas ;} de la sorte, ^{le recours} à ce test - le théorème de K. est "un des

joyaux

^{de la}

statistique mathématique"

^comme l’a écrit G. DARMOIS dans

une

préface [ 1 ] -

pourra devenir encore

plus fréquent qu’aujourd’hui.

Par voie de

conséquence,

^{la mise} en oeuvre du test L.

peut,

^elle

aussi,

être très

simple.

En outre, nous nous proposons de relier les deux ^{tests aux} études _que

permet

l’établissement d’une droite de

Henry.

2 - LE TEST K.S. ET SON APPLICATION

GRAPHIQUE

a) L’application

^{du test K.S.} suppose que l’on ait admis un

risque

^de

première espèce,

^{soit a ce}

risque,

et que l’on

dispose

d’une table donnant la valeur de la "différence"

D, correspondant

^{à n et à a. MASSEY}

[21 ]

^a

donné une telle

table ;

^STEPHENS

[4]

^et

[5]

^a donné pour D des valeurs

un peu différentes des

précédentes ;

remarque ^est faite _{que D} est

indépen-

dante du rang i des ^mesures

prises

^en considération pour

l’application

^{du test.}

b)

^{Sous sa forme}

graphique (Fig. 1 ),

^{le test} K.S. revient à ceci :

- tracer la courbe de

répartition de H,

c’est-à-dire la courbe

F (x) ;

- lire sur la table la valeur de D

correspondant

^aux

données ;

- tracer de

part

^et d’autre de la courbe

F(x)

les "courbes

critiques"

inférieure et

supérieure,

déduites l’une ^et l’autre de la courbe

F(x)

par ^une translation

d’amplitude D, parallèlement

à l’axe des

ordonnées ;

^{si la} gra- duation de cet axe n’est _pas

linéaire,

^cette "translation" déforme la

courbe ;

-

porter

^les

points représentatifs

^{des mesures de la}

série ;

pour

cela,

^à l’abscisse xi, faire

correspondre

²

points,

d’ordonnées

respectives i/n

^et

(i

^-

1 )/n ;

il y ^a donc à

porter

²ⁿ

points,

^{dont 1 sur chacune} des ordonnées 0 et

1 ;

-

rejeter l’hypothèse

^{si même un seul des}

points

^ainsi

portés

^{se situe}

à l’extérieur du domaine limité _par les courbes

critiques.

c)

^{Le cas}

particulier

^{où H est une} loi normale est examiné

séparément (n°

^{5 et}

suivants).

Figure ^{1 - Test K.S. du} n° 2.

3 -

REMARQUES

^{SUR LE TEST K.S.}

a)

Sur la droite d’ordonnée

i/n

^sont

portés

à la fois les

points

d’abscisses

Appelant,

relativement à l’ordonnée

i/n,

"valeur

critique

inférieure

(supé- rieure)"

l’abscisse du

point

^de rencontre de la droite d’ordonnée

i/n

^avec

la courbe

critique supérieure (inférieure),

^il y ^a lieu à

rejet

^de

l’hypothèse

^du

fait d’un

point

d’ordonnée

i/n :

- soit si xi ^est inférieure à la valeur

critique inférieure,

désormais dési-

gnee

par

xi

- soit si xi+1 ^est

supérieure

à la valeur

critique supérieure,

^désormais

désignée

par

xi+ 1.

N.B. - Aucun des cas x &#x3E;

x"i+1

^et xi+ ¹

x;

^{n’est à}

considérer ;

^en

effet,

par

exemple,

x &#x3E;

xi+1

^{entraine que sur} l’ordonnée

(i

^-

1 )/n

il y ait x &#x3E;

x;’ ;

d’où

rejet.

b)

^{Du fait du a}

ci-dessus,

^il y ^a

rejet

^si xi ^est extérieur à l’intervalle

(xi , x

Figure ^{2 - Test} K.S.’du n° 3.

Le

rapprochement

^des

figures

^{1 et 2 montre} que, relativement à la mesure

xi’ ^{on ne}

change

aucunement le résultat du test

si,

^{à cette mesure} _xi’ ^{l’on ne} fait

correspondre

^{sur le}

graphique qu’un

^seul

point (Fig. 2),

^{au lieu de 2}

points (Fig. 1),

^{à la} double condition d’une

part,

que ^ce

point

^{soit sur l’ordonnée}

(i

^-

0,5)/n,

^{et d’autre}

part,

que les courbes

critiques

^soient

rapprochées

^{de la}

courbe

F(x),

^{de manière} que leurs distances à cette courbe deviennent +

d,

avec :

d = D -

0,5/n.

Ainsi

l’application graphique

^{du test K.S. se trouve}

simplifiée puisqu’il n’y

^a

plus

^à

porter

que ⁿ

points

^{au lieu de}

2n ;

^{aucun de} ces nouveaux

points

ne se trouve sur une ordonnée extrème.

N.B. - En

rapport

^{avec ce}

qui prècède,

^les

points critiques

d’abscisses

x;

^et

x;’,

^{sont à}

placer graphiquement

^{sur une seule et même} ordonnée

(c’est-à-dire

l’ordonnée

(i

^-

0,5)/n, qui

^{est aussi celle du}

point

d’abscisse

xi )

^{comme sur}

la

figure ^2,

^{et non}

plus

^{l’un sur} l’ordonnée

i/n

^{et l’autre sur} l’ordonnée

(i

^-

1 )/n,

comme sur la

figure

^1.

4 - APPLICATION

NUMERIQUE

^{DU TEST K.S.}

Au niveau a

admis,

^il y ^a lieu de

rejeter l’hypothèse d’après laquelle

la série de n mesures

proviendrait

^{de la loi}

H,

^{si même une seule des mesures} xi ^{se situe en} dehors de l’intervalle

critique (x; , xi’)

^défini indifféremment :

-

d’après

^les considérations des numéros 2b ^et

3a,

par :

ce

qui

^donne

-

d’après

les considérations du numéro

3b,

par :

L’application numérique

^{du test K.S. est}

particulièrement simple

^{si l’on}

utilise la table

I, laquelle donne, multipliées

par

1000,

les valeurs de

(i

^-

0,5)/n

et de d ⁼ D -

0,5/n,

les valeurs de D ayant ^été celles de MASSEY

[2].

La table 1 donne en outre, ^{suivant trois}

variantes,

la manière d’utiliser les

quantités données,

les trois variantes conduisant naturellement aux mêmes conclusions.

La variante A

correspond

directement à

l’application graphique

^{du test.}

Les variantes B et C font intervenir les

quantités 1 - 0,5 + d, qui peuvent

n

d’ailleurs ^être tabulées

indépendamment

^{de H.}

La variante C convient ^au mieux

lorsque

^{H sert}

d’hypothèse

^{à bien des}

reprises,

^{car une} table des valeurs

critiques peut

^{être établie une fois} pour toutes.

Exemple.

^{Soit à tester au niveau ci =}

0,20, l’hypothèse d’après laquelle

une certaine série de ^{n =} 14 mesures

proviendrait

de la loi normale

réduite ;

les calculs ne sont faits ici _que dans le cas de la mesure x9 =

0,90

^{de cette} série.

La consultation d’une table de la loi normale réduite fait connaître

F(0,90)

⁼

0,816.

Sur la table 1 on trouve

qu’à

^{n = 14 et i = 9}

correspond (i

^-

0,5)/n

⁼

0,607 ;

^et

qu’à

^{n = 14 et a =}

0,20 correspond

^{d =}

0,238.

Suivant la variante

A,

les deux valeurs

critiques

^de

(i

^-

0,5)/n

⁼

0,607

sont :

0,816 - 0,238 = 0,578

^et

0,816

⁺

0,238

&#x3E; 1.

Suivant la variante

B,

les deux valeurs

critiques

^de

F (xi)

⁼

^0,816

^{sont :}

0,607 - 0,238

⁼

0,369

^et

0,607

⁺

0,238

⁼

0,845.

Suivant la variante

C,

les deux valeurs

critiques

^de x9 ⁼

0,90,

^sont

x’9

^et

x9 ,

^valeurs

déterminées, après

exécution des calculs de la variante

B,

par

Conclusion :

D’après

^{la seule mesure}

considérée, l’hypothèse

^{ne serait}

pas à

rejeter.

5 - CAS OU H EST UNE LOI NORMALE

Pour

l’application

^{du test K.S. au cas où H est une loi}

normale, on peut

établir des tables

grâce auxquelles

^cette

application

^{est encore}

plus

^directe

qu’avec

la table I. A cette

particularité s’ajoute

^{le fait}

déjà signalé plus

^haut

(n° 1)

de l’existence du test L.

Remarque

étant faite _que les tests K.S. et L. ne sont pas des tests de

normalité,

^et que leur

application implique

que les

paramètres

^{m et a de H}

soient bien

déterminés,

nous sommes amené à

distinguer plusieurs

^cas.

Dans le cas

I,

^{m et a n’ont} aucunement été tirés de la série de n mesures

considérée ;

c’est le cas par

exemple

^{où l’on se} propose de comparer cette série à ^ce

qui peut

^être attendu d’une loi normale

(la

^loi

H)

^sur

laquelle

l’attention a été attirée _par des raisonnements ou des

expériences

antérieures.

Dans les cas II et

III,

^{m et a ont} été tirés de la série

considérée,

parce que l’on se propose de résumer cette série _par seulement deux valeurs numé-

riques,

caractérisant

respectivement

moyenne ^et

dispersion

des mesures ; ^ce que l’on demande alors au test, c’est de faire

apparaître

s’il serait déraisonnable de s’en tenir à un résumé aussi

simple

que celui

envisagé.

^Bien

entendu,

^ce résumé devrait inclure

également

la valeur de n, ^en l’absence de

laquelle

^ce

résumé n’aurait aucune valeur

pratique.

6 - CAS 1 : LA LOI NORMALE

H,

^BIEN

DETERMINEE,

^EST

QUELCONQUE ;

en

particulier,

^les

paramètres

^{m et a de H ont été} déterminés

indépendamment

de la série de mesures.

Le cas où m et a sont

quelconques

^{se ramène au cas m = 0 et a = 1}

(cas

^{de la loi normale}

réduite)

^en

remplaçant chaque

xi par ^sa valeur réduite

(xi

^-

^m)/o-.

A

partir

d’une table F

(u)

de la loi normale

réduite,

^{on calcule les valeurs}

critiques u;

^et

us

^par

application

^{de la} variante C de la Table

1 ;

les relations sont donc :

.

u étant

positif

^ou

négatif

^suivant que

F(u)

^est

supérieur

^ou inférieur à

0,50 ;

leur

application

^{a donné} les valeurs des colonnes K de la Table II. Ainsi.

reprenant

l’exemple numérique

du numéro

4,

^traité suivant la variante

C,

les valeurs

critiques (soit - 0,334

^et

1,015) figurent

directement dans la co-

lonne

K20,

pour ^{n =} 14 et i ⁼ 9 de la table II.

Remarque.

^Ce

qui précède

montre que, pour ⁿ

donné,

^on peut, ^{avant tout}

calcul,

^{tracer sur un}

papier

^à échelle fonctionnelle loi

normale,

^{les courbes}

critiques

^définies par les

u;

^et

u;’,

^{pour les} différentes valeurs de a que l’on

envisage

d’utiliser. De la sorte,

après

calcul des valeurs réduites

(xi

^-

^m)/o,

le test K. S.

s’applique graphiquement

^de

façon

^très

simple.

^Bien

entendu,

^le

point correspondant

à xi ^est à

porter

^sur l’ordonnée

(i

^-

0,5)/n.

7 - CAS II : LES PARAMETRES DE

LA LOI

^{NORMALE H}

SONT DETERMINES PAR m ⁼ x ET a ⁼ s.

a)

^{Le cas} où ^{H est} déterminé en fonction de la série de mesures par les

égalités

^{m = x et a =} s, est celui où le test

L, présenté

^au

^n° 1, peut

^être substitué au test

K.S., avantageusement

de différents

points

^{de vue. Tout ce}

qui

^{a été} dit relativement au test K.S.

s’applique

^{au test}

L. ;

^il y ^a seulement à utiliser les

différences,

^soit

DL,

^{tabulées par} LILLIEFORS

[3],

^{à la}

place

des différences D dites

plus

^{haut. En}

particulier,

^{les nouvelles valeurs}

critiques

v:

^et

vs

^{sont définies par}

Il _y a donc lieu de

remplacer

^{dans la table}

II,

^les

u;

^et

us

des colonnes

K,

par les

v;

^et

vs

des colonnes L. La remarque du

n°

6 reste

valable,

^{sous réserve}

que ^ce même

remplacement

^{soit effectué.}

Il est à noter que, les valeurs

DL

^ayant été obtenues par ^une méthode de

Monte-Carlo,

^{il est} téméraire de s’en servir dans des conditions

qui

^{ne sont} pas

en accord avec celles des essais de l’auteur.

b)

^{Le cas II}

peut

être traité

graphiquement :

^voir

d)

^du

n°

suivant

8 - CAS III : LES PARAMETRES m ET a DE LA LOI H ONT ETE DETERMINES PAR UNE DROITE DE HENRY

Remarque

liminaire. Le cas

III, puisqu’il

^{ne se confond} pas ^avec le seul

cas

(cas II)

^{où le test L. est}

applicable,

doit être traité au moyen des valeurs du test

K.S. ;

^{mais on}

peut espérer qu’une

^future

expérimentation permettra

de

rapprocher

pour le cas

II,

^{le test} K.S. du test L.

(voir,

^au

n° 10,

^la remarque

au

sujet

^de

[2] MASSEY) ;

^l’on

pourrait

^{donc être}

tenté, toujours

pour le

cas

III,

^{de se référer au test}

L.,

^{mais des}

précautions

^{seraient alors à}

prendre

(paragraphe c) ci-dessous).

a)

^{Le cas où H est} déterminée _par une droite de HENRY construite

d’après

^{la série de n} mesures, ^est

particulièrement

intéressant étant donné _que, à notre

avis,

^{une étude sur le}

graphique

^{de HENRY et un} recours au test de K.S.

(ou L),

^{sont deux}

opérations qui

^se

complètent

heureusement l’une l’autre.

Développer

^ce

point

^serait sortir du cadre de ^la

présente note ; il

y ^a seulement lieu de remarquer ceci :

1)

^{Sur un}

graphique

^de

HENRY,

^{il est}

possible

^de reporter ^de part ^et d’autre de la

droite,

^{retenue comme}

compensant

^{au mieux les mesures de la}

série, (droite

^de

HENRY),

les valeurs

critiques

^{des mesures} xi, ^{calculées à}

l’aide,

par

exemple,

de la table

II ;

^{comme à ces valeurs}

critiques

^{sont associés}

des

risques a

^bien

déterminés,

l’ensemble constitue ^un véritable test, ^aussi

complet qu’il peut

^être

désiré,

^et intéressant à connaître même

si,

dans l’état actuel des

choses,

^{il se}

présente

^comme étant peu

puissant.

^{Pour le}

moins,

on obtient _par le tracé des

lignes joignant

^les

points critiques,

^une

précieuse

indication visuelle ^sur les écarts

pouvant exister,

^sans que cela soit

surprenant,

entre les

points expérimentaux

^et la droite de HENRY

correspondante ;

une indication

différente,

^mais

répondant

^{à la même}

préoccupation,

^{a été men-}

tionnée dans

[6],

^{sous la}

désignation

^de

"Lignes

^{L 25 et L 75".}

2)

^Le

graphique

^{de HENRY est} valablement établi si l’on

adopte (i

^-

Q,5)/n

comme estimation de la

fréquence

cumulée de xi ;

lorsqu’il

^{en est}

ainsi,

^les

points critiques

^de xi ^se

placent (N.B.

^du

n° 3b)

^{sur la} même ordonnée

(soit : (i

^-

0,5)/n)

que le

point

xi lui-même.

Il est à noter que, pour l’établissement d’un

graphique

de HENRY :

- d’une

part,

^{la table 1 donne les} valeurs de

(i

^-

0,5)/n, qui

^{sont utiles}

en cas

d’emploi

^d’un

papier

à échelle

fonctionnelle,

^loi

normale ;

- d’autre

part,

^{la table}

II,

^{dans sa} dernière

colonne,

^donne ui

d’après F(ui) = ⁽ⁱ

^-

^0,5)/n

^{pour i}

supérieur

^à

0,5

^{n ; en} utilisant convenablement cette dernière

valeur,

^{on se libère de la}

sujétion

^{d’avoir recours à un}

papier

à échelle

fonctionnelle,

^loi

normale,

^et l’on

peut opérer

^{sur une}

simple

^feuille

de

papier quadrillé.

En outre, l’utilisation des ordonnées

(i

^-

0,5)/n

^{et du}

papier quadrillé

peut ^{être faite} à l’aide de tables existantes

[6].

3)

^Si pour l’étude ^{en cause} l’on

adopte

^non pas l’estimation

(i

^-

0,5)/n,

mais

i/n,

^ou

i/(n

⁺

1)

^ou etc, l’étude n’en ^sera _pas

modifiée,

à condition que les valeurs

critiques

^de xi ^{soient bien}

portées

^{sur la même ordonnée} que xi.

b) Puisque

^{la série de} mesures a fait

l’objet

d’une étude

graphique,

^à

savoir celle

qui

^a conduit à la droite de HENRY dont les

paramètres

^{m et a ont}

été retenus, ^{il est tout naturel}

d’appliquer

^{le test K.S. sous sa forme} gra-

phique, particulièrement expressive.

Pour cela :

- calculer les

quantités

^{m +}

ui

^{a et m +}

ui’

^{a ;}

- porter ^les

points

ayant ^ces

quantités

pour abscisses sur la même ordonnée que le

point

d’abscisse xi ;

-

rejeter l’hypothèse

^{si même un seul des}

points

d’abscisse xi ^se situe hors de l’intervalle des deux

points

de même ordonnée.

Remarque.

^{Il n’est} pas

toujours

nécessaire de calculer ^en totalité les ^{m + ua}

qui

^{sont au} nombre de 2n. En

effet,

^les

points correspondant

^{à ces}

quantités

se situent sur deux courbes dont l’allure

générale

^est

simple ;

^{cette allure}

est celle des courbes tracées sur la

figure 3,

^{comme elle est aussi celle des}

courbes L25 et

L75,

^{citées en}

a)

ci-dessus. Il suffit donc

pratiquement d’opérer

ainsi :

- calculer les m + ua seulement pour trois valeurs de

i,

^voisines respec- tivement de 0

(i petit),

^de

0,5

^{n et de} n ;

- porter ^{sur le}

graphique

^{les 6}

points correspondant

^{à ces trois}

valeurs ;

- tracer les courbes

passant

par ^ces

points

^et

ayant

^{comme allure}

géné- rale,

celle dite

plus ^{haut ;}

- conclure immédiatement ^ou

bien,

s’il y ^a

doute, repérer

les valeurs de _{i pour}

lesquelles

^le

point

xi ^{se situe}

trop près

d’une courbe _{pour que} l’on ait pu

conclure, puis

calculer les ^{m + ua}

qui renseigneront

^{sur ce}

point,

^et

conclure.

Figure ³ (Exemple ^du n° _{9) -} Graphique ^{de HENRY et} points critiques ^{du test de LILLIE-} FORS, pour ^{a =} 0,200

x points expérimentaux

0 points critiques correspondants.

c)

^{Dans la} construction ci-dessus on s’en est tenu strictement au test

K.S., puisque

^{l’on a eu recours}

(table II)

^{aux u et non} pas ^{aux v} du test

L ;

si l’on choisit de se référer au test

L,

^on

peut opérer

exactement comme

plus haut,

^{sauf à}

remplacer

^{les u} par les _{v, et} seulement à la condition d’avoir l’attention attirée sur ce

qu’en agissant

^{de la sorte, on}

s’expose

^{à une sévérité}

accrue c’est-à-dire à être amené à

rejeter l’hypothèse -

ou encore

(n° 5)

^à

être incité à ne pas résumer la série de n mesures par seulement les m et a

déduits de la droite de HENRY ^{tracée -}

plus

souvent que si l’on s’en était tenu strictement au test K.S.

d)

^{Le cas II}

peut

^{être traité}

graphiquement

^dans les mêmes conditions que le cas

III,

^{mais en} utilisant valablement les v de la table II au lieu des u ; c’est d’ailleurs ce

qui

^{est fait au}

^n°

^9.

e)

A supposer que la double étude sur un

graphique

^{de HENRY conduise}

à

rejeter

^les

hypothèses correspondant respectivement

^{au cas II et au cas}

III,

on est conduit à penser que la série de mesures

n’appartient

^{ni à la loi normale}

définie par les estimations ^sans biais de ses

paramètres,

^{ni à la loi} normale que le

graphique

^{de HENRY a fait}

apparaître

^{comme cadrant "au} mieux" avec les

mesures. Il semble _{donc que} cette double

étude,

^sans

qu’elle puisse

être consi- dérée en toute

rigueur

^comme constituant un test de

normalité,

^{est bien}

près

de mériter

cependant

^d’être considéree comme tel.

9 - EXEMPLE TIRE D’UNE ETUDE

TECHNIQUE a)

^{Position du}

problème

La série de n ⁼ 10 mesures

reproduite

^{sur la}

figure

³

représente

^{les durées}

de vie de

lampes

à incandescence d’un même

modèle, provenant

^{d’un même}

atelier,

ou,

plus

exactement, ^de

lampes

que l’on ne sait

distinguer

^{l’une de}

l’autre _par aucun détail

technique

^{de leur}

élaboration,

^ou encore, de

lampes appartenant

^{à un même lot}

technique.

^Le

problème technique qui

^se pose est de déterminer ce que l’on

peut

valablement retenir de la série de _mesures, et notamment si l’on est incité par ^cette dernière à

agir

^sur le processus de fabrication.

Nous avançons que toute étude du _{genre de}

celle-ci,

^{doit commencer}

par l’établissement d’un

graphique

^de

HENRY ;

^elle

peut

^être

poursuivie

^comme il est

indiqué plus

^loin.

b) Graphique

^{de HENRY}

Se

reporter

^{à la case n =} 10 de la table

II, puis, disposant

^d’un

simple papier quadrillé,

faire choix d’échelles linéaires

convenables,

à la fois _{pour les} durées de vie

(axe

^des

x)

^et pour les ui de la table ^II.

Porter sur le

graphique

^{les 10}

points représentatifs

^{des mesures,}

points marqués

^{d’une croix sur la}

figure

^3. L’ordonnée _{de xi}

correspond

^à

(i

^-

0,5)/n.

Aucune droite de HENRY n’est

tracée,

étant donné que les

points

^venant

d’être

portés apparaissent

^{comme ne} pouvant pas être bien

compensés

par ^une

droite ;

^{il se} trouve même que la

disposition

d’ensemble de ^ces

points

^donne à penser que,

peut-être,

la série étudiée résulte d’un

mélange

^{de deux séries}

d’origines

différentes.

Finalement,

^il

apparaît

^comme

particulièrement

^inté-

ressant de soumettre la série donnée à différents tests, ^avant de conclure.

c)

Tests divers

1 )

Test K. S. Comme ^aucune droite de HENRY n’a été

tracée,

^{on ne}

dispose

pas de valeurs de m et a, nécessaires pour

appliquer

^{le test en cause.}

2)

^Test

L., forme numérique.

Un calcul donne :

Il _y a lieu de se référer aux colonnes L et à la ^{case n =} 10 de la table

II, puis,

pour toutes les valeurs de

i,

^de calculer les valeurs

critiques

de xi ^et de les _comparer à xi ¹

Ainsi,

pour i ⁼ 5 et pour a ⁼

0,20,

les valeurs

critiques

^de Xs = ^{1345 sont :} 1500 -

0,568

^{x 425 = 1259 et 1500 +}

0,292

^{x 425 = 1624.}

Finalement,

^aucune valeur xi ^ne conduit à

rejeter l’hypothèse

^{soumise au test.}

Remarque : Si l’on

^avait

^complété

^{les calculs}

ci-dessus,

par celui des valeurs réduites

(xi

^-

x)/s,

^{on aurait eu à} comparer directement ces valeurs aux

v

^et

vs

^{de la table II.}

Ainsi,

pour i ⁼

5,

^{la valeur réduite est}

(1345 - 1500)/425,

^{soit -}

0,365,

valeur

qui

^{se trouve être}

comprise

^{entre -}

0,568

^et

0,292.

3)

^Test

L., forme graphique.

Construction

préliminaire :

^{Sur la}

figure

³

porter :

- d’une

part,

la droite définie _par les valeurs m ⁼ 1500 et a ⁼

425 ;

- d’autre

part,

^{tous les}

points représentatifs

^{des valeurs}

critiques,

^cal-

culées comme il est dit à _propos du test

L,

forme

numérique ;

-

puis

^tracer les deux courbes réunissant ^ces

points

^{entre eux : ce sont}

les courbes

critiques.

Cette construction

préliminaire

^{ne fait} pas

partie

^{du test L.}

exposé ici ;

son but est de faire

apparaître quelle

^est véritablement l’allure

générale

^{de ces}

courbes et leurs

positions

par

rapport

à la droite

représentative

de la loi normale ^{en cause} dans le ^test.

Test. Calculer comme

plus haut,

les valeurs

critiques correspondant

^seulement

à trois valeurs de

i,

^{à savoir}

2, puis

^{5 et}

9 ;

-

porter

^{sur le}

graphique

^{de HENRY les six}

points critiques correspondants ;

- tracer

approximativement

les deux courbes

critiques,

^sachant

qu’elles

passent par les

points critiques,

^et

qu’elles

^ont pour allure

générale,

^celle que l’on

connaît,

^attendu que l’allure

générale

des courbes

critiques

^{tracées sur}

la

figure

^{3 au cours de} la construction

préliminaire,

^{est valable en toute}

circonstance ;

- reconnaître que les courbes

critiques

^tracées

approximativement,

^con-

tiennent entre elles tous les

points

xi, sauf

peut-être,

^avec les données de

l’exemple traité,

^ceux

correspondant

à x6

(éventuellement, trop faible)

^{et à} X7

(éventuellement trop fort) ;

- élucider ce dernier

point

par les calculs de 1500 - 425

u6

^{et de}

1500 + 425

u"7.

Ainsi dans le cas

présent,

^le nombre des calculs nécessaires a été de

8,

au lieu de 20 calculs du test

L,

^forme

numérique ;

^-, la différence aurait été

encore

plus grande

^{si n} avait été

supérieur

^{à 10.}

4)

^{Test de} SHAPIRO et WILK. Les

calculs,

^{non détaillés}

ici,

conduisent à : W ⁼

0,894.

Les valeurs

critiques

^{de W aux} niveaux tabulés

(soit

^{ex =}

0,01 - 0,02 - 0,05 - 0,10

et

0,50) permettent

^{de situer}

0,894

^au

voisinage

^de

0,20.

d)

Discussion

statistique

Le

graphique

^{de HENRY a} fourni les

enseignements

^dits

plus

^haut

(n° 9b).

Le test L ne conduit _pas à

rejeter l’hypothèse

^{de base de ce} test, ^et

cela,

même au niveau a ⁼

0,20, qui

^{est un} niveau sévère en ce sens

qu’il

^entraine

des

rejets d’hypothèse

^bien

plus fréquents

que les niveaux

0,05

et surtout

0,01.

Le test de normalité de SHAPIRO et WILK conduit au même résultat

général

que le ^test L.

e)

Discussion

technique

D’une

façon générale, hypothèse

^{est faite}

qu’une

fabrication bien

réglée

donne lieu à une distribution normale des mesures, et

qu’en

^{cas de} distribution

normale,

la fabrication

apparaît

^{comme d’autant mieux}

réglée

que la

dispersion

de cette distribution est

plus

^{faible. En}

conséquence,

^{le fait}

qu’une

distribution soit considérée comme normale ne fournit au technicien aucune

indication,

^si

ce n’est

qu’elle

lui donne confiance dans le _processus

suivi ;

^{mais il lui reste}

toujours

à continuer son étude en vue de réduire la

dispersion

^{des mesures.}

Ainsi,

dans les conditions de

l’exemple traité,

^le technicien n’est _pas incité par les tests à intervenir dans le _processus d’élaboration du

produit.

Mais il a l’attention attirée par le

graphique

de HENRY - _que, s’il

possède quelques

^notions élémentaires de

statistique,

^{il a été}

capable

^{de construire}

lui-même sur une feuille de

papier quadrillé, puis d’interpréter -

^{sur l’éven-}

tualité d’un trouble

équivalant

^{à un}

mélange

^{de deux}

fabrications ;

réfléchis- sant sur cette

indication,

^{il se dit} que l’effectif n ⁼ 10 de la série dont il a

disposé,

^{est bien}

trop

^faible pour

renseigner

^{sur un}

mélange

^éventuel.

Finalement,

^ou bien ^ce technicien est en

période d’essais,

^{et il fera en}

sorte d’effectuer de nouvelles mesures sur un échantillon de

grand effectif ;

ou

bien,

la fabrication étant en cours, il

portera particulièrement

^{son atten-}

tion sur tout ce

qui pourrait

^{confirmer ou} infirmer l’indication donnée _par le

graphique

^{de HENRY. De toute}

façon, jusqu’à plus ample informé,

^{il évi-}

tera de considérer que les valeurs x ⁼ 1500 et s ⁼

425,

Qui, associées à n ⁼

10,

résument la série _par deux estimations ^sans

biais,

résument valablement la fabri- cation.

10 - BIBLIOGRAPHIE

[1] DUGUE

D. 2014 Traité de

statistique théorique

^et

appliquée.

^Masson.

Ouvrage visé au n° 1.

[2]

MASSEY F.J.Jr. - The KOLMOGOROV-SMIRNOV test for

goodness

^{of fit.}

Am. Statistical Ass. Journal -

1951,

pp. 68-78.

Note contenant une table pouvant ^{servir à}

prolonger

^{la table} I pour

n ⁼ 1 - 2 et

3,

^et pour ^{n =} 25 - 30 et 35.

Les notations étant dans ce

qui

^{suit celles de notre texte, MASSEY note}

que l’on doit s’attendre à ce que

l’ajustement

^{de m et de 03C3 aux valeurs corres-}

pondantes

^de

l’échantillon,

^"soit par

calcul,

^soit par

ajustement

^{visuel à une}

ligne

^{droite sur un}

papier

à échelle fonctionnelle" _{ait pour}

conséquence

^une

réduction de

Dn,03B1 ;

^il

^appuie

^{cela par une}

expérience

de Monte Carlo ayant

comporté

^le

tirage

de 100 distributions de chacune 10

valeurs

d’une

popula-

tion

normale ; chaque

distribution a été

représentée

^{sur un}

papier

^{à échelle}

fonctionnelle,

^{et une droite a} été tracée au

mieux ; parmi

les résultats de

l’expé-

rience

figure

notamment ceci que seulement une

observation,

^sur

100, dépassa

le

point critique

^{de 03B1 =}

0,20, d’après

le D du test K.S. D’autres résultats sont

rappelés

par FERIGNAC dans

[8].

Remarque.

^{Des deux cas}

envisagés

par

MASSEY, l’ajustement

par calcul a été

développé

par

LILLIEFORS,

^tandis que

l’ajustement

visuel -c’est-à-dire

l’ajus-

tement par droite de HENRY2014 reste à traiter

plus complètement qu’il

^ne

l’a été par les 100 distributions de MASSEY. Pour ce

faire, l’opérateur

^aura

à éliminer des droites

qui,

^{même si elles}

compensent

"au mieux" les

points expérimentaux,

^les compense ^en fait "très mal".

L’opérateur

^{aura donc à se}

fixer ^une

règle pratique d’élimination ; naturellement,

^{les valeurs} des diffé-

rences retenues finalement _pour

remplacer

^{dans le cas}

particulier étudié,

^les

D de

K.S.,

^{ne seront valables} que dans le cadre de la dite

règle, explicitement énoncée, règle qui,

^{dans ces}

conditions, peut

^être relativement arbitraire.

[3]

LILLIEFORS H.W . - On the KOLMOGOROV-SMIRNOV test for norma-

lity

^{with mean} and variance unknown. Am. Statistical Ass. Journal -

1967,

pp. 393-402.

Note contenant ^une table

pouvant

^{servir à}

compléter

les colonnes L de la table _{II pour} les valeurs 03B1 ⁼

0,10

^et

0,15.

[4]

STEPHENS M.A. - Use of the

KOLMOGOROV-SMIRNOV,

^Cramér-von

Mises and related statistics without extensive tables. Journal

of

^the

Royal

Statistical

Society.

^{Série B. 32 - 1970} pp. 115-122.

Note

indiquant

pour D

(test

^de

KOLMOGOROV-SMIRNOV)

^et pour

DL ^(test

^de

LILLIEFORS)

des valeurs

qui

^auraient pu servir à l’établisse- ment des tables I et

II,

^sauf pour ^{03B1 =}

0,20 ;

^{et au}

prolongement

^{de ces}

tables pour ^{03B1 =}

0,025.

[5] PEARSON

E.S. and HARTLEY H. - Biometrika Tables for Statisticians.

Vol. 2. 1972.

Cambridge University

^Press.

Ouvrage reproduisant

^{dans sa} table 54 les résultats de STEPHENS.

[6]

DUMAS M. - Les

épreuves

^sur échantillon.

1955 ;

Centre national de la recherche

scientifique.

Ouvrage

^{visé au}

n°

8a et

8b,

^{en raison des}

figures

^{A et B de son}

n° 403 ;

ces

figures

^sont d’ailleurs les

reproductions

^des

figures

^{a et b du}

^n°

^{42 de}

l’ouvrage :

^{M. DUMAS et P.}

MAHEU,

Les méthodes

statistiques

^{et ... ,}

publié

par le Mémorial de l’Artillerie

Française,

^{dans ses} fascicules de 1948 - 1949 et 1950.

[7] MORICE

E. - Tests de normalité d’une distribution observée. Revue de

Statistique Appliquée.

1972. Vol. XX

n°

^2.

En

particulier : exposé

^{du test L. et table de}

quelques

valeurs relatives à ce test.

[8]

FERIGNAC P. - Test de

KOLMOGOROV-SMIRNOV.

Revue de Statis-

tique Appliquée.

^Vol.

X, ^n° 4,

p. 13 à 32.

Ouvrage

^cité

plus haut,

^à propos de MASSEY

[2].

Table I. Test de KOLMOGOROV-SMIRNOV MODE D’EMPLOI

Données. xi X2 ^{... ’} xi ^... Xn : ^{série de n mesures, ordonnées}

xi _ 1

xi

a :

risque

^de

première espèce, admis ;

F(x) :

fonction de

répartition, continue,

^{de la loi}

hypothèse

^H.

Objectif

Décider s’il convient de

rejeter l’hypothèse d’après laquelle

^{la série}

de mesures

appartiendrait

^{à la loi H.}

Processus.

Opérer

^ainsi

qu’il

suit pour

chaque

^{valeur de i}

- dans la

rubrique

^{n, lire sur la}

ligne

^{i la valeur de}

(i

^-

0,5)/n,

^{et sur}

la

ligne

a, la valeur de la différence

d ;

N.B. : les valeurs

indiquées

^sont à diviser _par 1000.

- faire choix de l’une des variantes suivantes :

Variante A. déterminer

F(xi), ^puis

^{retenir comme valeurs}

^critiques

^de

(i

^-

0,5)/n

les valeurs

F (xi )

^{± d.}

Variante B. déterminer

F(xi), ^puis

^{retenir comme valeurs}

^critiques

^de

F (xi )

les valeurs

(i

^-

0,5)/n

^{± d.}

Variante C retenir comme valeurs

critiques

de Xi’ ^les

quantités xi

^et

xi’,

solutions de

F(x) = (i

^-

0,5)/n

^{± d.}

Décision.

Rejeter l’hypothèse,

^même si pour ^une seule valeur de

i,

^il y ^a

dépassement

des valeurs

critiques indiquées

par la variante

adoptée.

Table de (i -

0,5)/n,

puis table de la différence d(a , n)*

* d ⁼ D -

0, 5/n,

^avec pour D les valeurs lues sur la table de MASSEY

[2].

Table II. Tests en cas de loi H normale MODE D’EMPLOI

Données. xi x2 , ... Xi i ^... xn : ^{série de n mesures, ordonnées}

xi-1

_xi

a :

risque

^de

première espèce,

^{admis :}

Objectif

^{Décider s’il convient de}

rejeter l’hypothèse d’après laquelle

^{la série} de mesures

appartiendrait

^{à une} certaine loi normale.

Processus.

Opérer

^ainsi

qu’il

^suit pour

chaque

^{valeur de i}

a)

Cas où la loi

hypothèse

^{est une} loi normale entièrement déterminée

(m

^{et a}

spécifiés),

^{et où} par suite il y ^a lieu

d’appliquer

le test de KOLMOGOROV-SMIRNOV.

- dans la

rubrique

n, lire sur la

ligne

^{i les}

u;

^et

u;’

des colonnes K intéressées :

- retenir comme valeurs

critiques

^de xi

b)

Cas où la loi

normale, hypothèse,

^n’est pas déterminée

(m

^{et a non}

spécifiés),

^{et où} par suite il est

justifié d’appliquer

^{le test de LILLIE-}

FORS :

- dans la

rubrique

n, lire sur la

ligne

^{i les}

v;

^et

vs

des colonnes L

intéressées ;

- retenir comme valeurs

critiques

^de x, :

N.B. - Les valeurs

indiquées

pour les u et les v, sont à diviser _par 1000.

Décision.

Rejeter l’hypothèse,

^même si pour ^une seule valeur de

i,

^il y ^a

dépassement

des valeurs

critiques.

Table donnant :

- Colonnes K :

u;

^et

us ^(test

^de

KOLMOGOROV-SMIRNOV),

- Colonnes L :

v;

^et

vs ^(test

^de

KOLMOGOROV-LILLIEFORS),

- Dernière colonne : ui pour i &#x3E;

0,5

ⁿ

(2e

^du

n° 8a)

(Pour

ⁱ

0,5

n,

changer

^le

signe

^de

ui )