On consid`ere l’op´erateur A muni du domaine D(A

UNIVERSITE BORDEAUX-1

UFR math´ematiques et informatique

Session de janvier 2011

MASTER MIMSE, MATMECA 3

MSE1312 : M´ethodes en ´electromagn´etisme num´erique cours d’Alain BACHELOT

lundi 24 janvier 2011 - Salle SAK1 du btiment A9 - 9H-12H.

-´epreuve de 3 heures - tous les documents sont autoris´es - Les deux probl`emes sont ind´ependants.

I. Un mod`ele en r´egime temporel

Dans ce probl`eme, toutes les fonctions sont `a valeur r´eelle et les espaces vectoriels sont r´eels. On s’int´eresse `a la propagation d’une onde massive `a l’ext´erieur d’un obstacle absorbant. Ω d´esigne un ouvert born´e deR³, de fronti`ere r´eguli`ere Γ, de normale unitaire rentranteν et on pose Ω⁰=R³\Ω.

On introduit l’espace de HilbertH=H¹(Ω⁰)×L²(Ω⁰) muni de la norme k(u₀, u₁)k²_H=

Z

Ω⁰

| ∇u₀(x)|²+|u₀(x)|² +|u₁(x)|²dx, et l’espaceH¹(Ω⁰,∆) =

u∈H¹(Ω⁰); ∆u∈L²(Ω⁰) . On consid`ere l’op´erateur A=

0 1

∆−1 0

,

muni du domaine

D(A) =

(u₀, u₁)∈H¹(Ω⁰,∆)×H¹(Ω⁰); ∂_νu₀+u₁ = 0 sur Γ . (1) Montrer que pour tout (u0, u1)∈D(A) on a

A

u0

u₁

; u0

u₁

≤0.

(2) Soient α, β >0, f ∈L²(Ω⁰),g∈L²(Γ). En utilisant les formes a(u, v) =

Z

Ω⁰

∇u(x)∇v(x) +αu(x)v(x)dx+β Z

Γ

uvdΓ,

l(v) = Z

Ω⁰

f vdx+ Z

Γ

gvdΓ, montrer que le probl`eme:

−∆u+αu=f, x∈Ω⁰,

∂_νu+βu=g, x∈Γ,

admet une unique solution u∈H¹(Ω⁰). En d´eduire que Id−A est une surjection deD(A) sur H.

1

2

(3) Etant donn´e (u₀, u₁)∈D(A), montrer que le probl`eme

∂²_tu−∆u+u= 0, t∈R⁺, x∈Ω⁰,

∂νu+∂tu= 0, t∈R⁺, x∈Γ, u(0, x) =u₀(x), ∂_tu(0, x) =u₁(x), x∈Ω⁰,

admet une unique solutionu∈C⁰(R⁺_t, H¹(Ω⁰,∆))∩C¹(R⁺_t , H¹(Ω⁰))∩C²(R⁺_t , L²(Ω⁰)).

(4) On suppose queu0 etu1 sont nuls pour|x|> R. Montrer que

|x|> R+t⇒u(t, x) = 0.

(5) D´ecrire en d´etail un sch´ema d’approximation num´erique du probl`eme.

II. Un mod`ele en r´egime harmonique

Ω d´esigne un ouvert born´e deR³, de fronti`ere r´eguli`ere Γ, de normale unitaire rentranteν(x) si x∈Γ, et on pose Ω⁰=R³\Ω que l’on suppose connexe. On noteγ₀v la trace sur Γ d’une fonction v. Si u est une distribution sur Ω∪Ω⁰, on note respectivementui etue les restrictions deu`a Ω et Ω<sup>0</sup>. On consid`ere les probl`emes ext´erieurs et int´erieurs :

(II.1) ue∈H_loc¹ (Ω⁰), ue satisf ait la condition sortante de Sommerf eld,

(II.2) ∆u_e+λ²u_e = 0 dans Ω⁰,

(II.3) u_i ∈H¹(Ω), ∆u_i+λ²u_i = 0 dans Ω.

Si u est donn´e par u_i dans Ω et u_e dans Ω⁰, on note [u] = γ₀u_i −γ₀u_e son saut `a travers Γ, [∂_νu] = ∂_νu_i −∂_νu_e le saut de sa d´eriv´ee normale. L_λ et M_λ d´esignent respectivement les po- tentiels sortant de simple et double couche sur Γ. On rappelle qu’´etant donn´es p ∈ H⁻¹²(Γ) et q ∈ H¹²(Γ), u = L_λp− M_λq est l’unique solution de (II.1), (II.2), (II.3), satisfaisant [∂νu] = p, [u] =q.

On se propose de r´esoudre le probl`eme de Dirichlet ext´erieur par la m´ethode de potentiel de double couche sous une certaine condition sur la fr´equence.

(1) Soitq∈H¹²(Γ),q 6= 0, satisfaisant :

(II.4) M_λq+1

2q = 0.

On consid`ereu=−M<sub>λ</sub>q. D´eterminer u<sub>e</sub> et montrer queu<sub>i</sub> est une solution non nulle de (II.3) satisfaisant∂νui = 0 (on dit alors que−λ<sup>2</sup> est une valeur propre du laplacien pour le probl`eme de Neumann int´erieur).

(2) On suppose qu’il existe ui solution non nulle de (II.3) satisfaisant ∂νui = 0. Montrer que q =γ₀u_i est solution non nulle de (II.4).

(3) Montrer que si −λ² n’est pas valeur propre du laplacien pour le probl`eme de Neumann int´erieur, alors pour toutg∈H¹²(Γ), il existe une unique solution q∈H¹²(Γ) de l’´equation

M_λq+1

2q=−g.

(4) En d´eduire que sous cette condition, il existe un unique u_e satisfaisant (II.1), (II.2) et γ0ue=g.

(5) D´ecrire en d´etail un sch´ema d’approximation num´erique pour ce probl`eme.