ATS 2021-22 TD MF2-3
DESCRIPTION D’UN FLUIDE EN MOUVEMENT
1 Entraînement au maniement des opérateurs différentiels*
1. Soit E~ = EoU~x +c.x2. ~Uy avec C et Eo des constantes. Calculerdiv(E), ~~ rot(E).~
2. Soit~v=x ~Ux+y ~Uy. Calculer div(~v), ~rot(~v).
3. Soit~v=kz ~Uy. Calculerdiv(~v), ~rot(~v).
4. Soit~v=ωr ~Uθavecωune constante etU~θvecteur de la base cylindrique. Calculerdiv(~v), ~rot(~v).
2 Jet d’eau*
A quelle vitesse est éjectée l’eau du jet d’eau de Ge- nève, de diamètre D = 10.7 cm, alimenté par une pompe débitant 500L/s.
3 Etude d’un champ de vitesse**
On fournit la carte du champ de vitesse
~v=−kx ~ux+ky ~uy
1. A quoi correspond la courbe tracée ? Tracez en d’autres.
2. L’écoulement est-il rotationnel ? Divergent ? 3. Rappeler l’expression générale d’un déplacement
élémentairedl~ contenu dans le plan (Oxy). Expri- mer la circulation Cde~v entre (1,0) et (0,1).
Réponse : 3)C=k
4 Illustration de la conservation de la masse*
On imagine un petit volume d’espace, au voisinage du pointM, tel que :
div(~jm)<0
1. Dessiner l’allure du champ~jm autour deM. 2. Que peut-on en déduire qualitativement sur l’évo-
lution temporelle de µ(M, t) (on utilisera aucune équation dans cette question) ?
3. Vérifier la cohérence de cette prédiction avec l’équation de conservation de la masse.
5 Etude du champ de vitesse d’un écoulement*
Soit un écoulement plan décrit par son champ de vitesse~v(M, t) =kxt~uy, aveck une constante positive.
1. Comment varie (= quelles sont les dérivées de)~v selon t,xpuisy?
2. Représenter ~v en un même point (à (x, y) fixé donc), à deux instants différents.
3. Représenter~v à une même datet et à une même ordonnéey pour deux abscissesxdifférentes.
4. Représenter~v à une même datet et à une même abscissexpour deux ordonnéesy différentes.
6 Cours d’eau**
On considère l’écoulement homogène et stationnaire de l’eau dans un fleuve de section rectangulaire, et de pro- fondeurH constante. Le champ des vitesses est supposé uni- forme au sein d’une section du fleuve. Loin du pont la vitesse est~vo.
1. Dessiner intuitivement des lignes de champ. En déduire l’orientation du champ de vitesses autour des piles du pont. L’écoulement y est-il rotation- nel ?
2. Déterminer la vitesse vp de l’eau entre les piles du pont.
3. Vérifier la propriété des lignes de champ de ce genre d’écoulements.
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7 Fontaine**
Soit l’écoulement stationnaire produit par un pompe, imposant un débit d’eau de Dm = 200 kg/min, dans une canalisation cylindrique débouchant sur un espace circulaire contenu entre deux disques parallèles de rayon R = 10cm séparés ded= 1cm.
Calculer la vitesse avec laquelle l’eau est éjectée en périphérie.
Réponse :v= 0.53m/s
8 Evolution d’une particule de fluide**
Soit une particule de fluide cubique de coté a. Elle appartient à un écoulement décrit par le champ des vitesses
~v=ky.~ey aveckune constante.
1. Rappeler l’ordre de grandeur dea.
2. Représenter qualitativement le champ des vi- tesses aux 8 sommets de la particule. Qu’en conclure sur l’écoulement ?
3. Vérifier la réponse précédente en calculant div ~v et rot(~~ v)..
4. Déduire de 2) la position qualitative de la parti- culedtplus tard.
5. Exprimer le volume de la particule à t = 0 et à t=dt. Puis montrer quediv ~vest égale au "taux de variation relative de volume de la particule de fluide", grandeur définie par la relation :
V(0 +dt)−V(0) V(0)dt
Réponse : 3)div~v=k;rot~~ v=~0
9 Ecoulement au dessus d’un plan oscillant**
On peut montrer que l’écoulement entre un plan os- cillant (y = 0) et l’infini (y → ∞) est donné par le champ eulérien des vitesses suivant :
~v=a.e−kycos(ωt). ~ex
1. L’écoulement est-il stationnaire ?
2. L’écoulement est-il rotationnel ? Divergent ? 3. Vérifier que les conditions aux limites soient cohé-
rentes (représenter la situation et intuiter des tra- jectoires de particules pour mieux comprendre).
Réponse : instationnaire, rotationnel, non divergent
10 Temps de remplissage**
On cherche à remplir une piscine de dimension ap- proximative 2mx10mx5m(2m étant la profondeur). Le ro- binet fournit un débit de 200g/s.
1. Calculer le temps de remplissage.
2. Même question si, en plus, il pleut sans disconti- nuer avec une pluviométrie de 8mm/h.
Réponse : ∆t= 5,8jours; ∆t= 3,7jours
11 Débit d’un écoulement de Couette-plan**
Soit une conduite d’axez, de section carrée de côté a, parcourue par un fluide dont le champ des vitesses est invariant suivant les dimensionsxetz :
~v=vo
y au~z
Exprimer le débit volumique à travers une section.
Réponse :Dv=voa2/2
12 Ecoulement sanguin dans une veine***
Du sang de masse volumique µ constante, s’écoule dans une conduite cylindrique d’axe Oz avec une distribu- tion des vitesses de la forme :
~
v=vo(1−r2 r2o)U~z
rétant la coordonnée radiale etro le rayon de la conduite.
On fournit l’expression de la surface élémentaire d’un disque :ds=rdθdr
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1. Dessiner le profil des vitesses sur une section. Ex- primer le débit massique à travers une section de la conduite.
2. L’écoulement est-il rotationnel ? Divergent ? 3. Quelle est la vitesse moyenne du sang ? 4. Quel est le débit d’énergie cinétique ?
Réponse : 1) Dm = µovo2πr2o, 2) Rotationnel, non di- vergent ; 3)vmoy=vo/2, 4)DEk=πµv3or2o/8
13 Etude cinématique d’un cy- clone***
Un cyclone est caratérisé par la présence de vents trés violents tournant autour du centre, appelé oeil du cyclone, en environ 1h. Ci-dessous une carte du champ des vitesses dans le voisinage d’un cyclone ayant frappé Madagascar puis un diagramme décrivant pression et vitesse en fonction de la distance radiale au centre :
On modélise le cyclone par un écoulement à symétrie cy- lindrique autour d’un axeOz, décrit en coordonnées cylin- driques par un champ des vitesses de la forme~v=v(r)~uθ et
dont le rotationnel est connu :
pour r < a: rot(~~ v) = 2Ωo~uz=cst.~uz
pour r > a: rot(~~ v) =~0
a désigne le rayon de l’oeil et Ωo la vitesse angulaire du cyclone.
1. En utilisant le théorème de Stokes-Ampère sur un cercle de rayon r, établir l’expression du champ des vitesses dans tout l’espace. On raisonnera en deux étapes : casr < a puisr > aet on fera un schéma plan de la situation. On rappelle l’énoncé du théorème de Stokes-Ampère :
I
C
W ~~ dl= Z Z
S
rot(~ W~ )ds~
C étant le contour qui entoure la surfaceS, etdl~ étant en convention main droite avecds.~
2. Tracerv(r), est-ce en accord avec le graphe ? Citer un défaut du modèle.
3. Déterminer et calculer la vitesse maximale des vents. Est-ce en accord avec le document ? 4. Les plus gros cyclone peuvent avoir un oeil de
rayon a = 50 km. Prévoir la distance de l’oeil à laquelle la vitesse des vents atteint encore 100 km/h.
Réponse 2) : Pour r < a :~v = Ωor~uθ et pour r > a :
~v= Ωoa2 r~uθ
14 Evolution d’une particule de fluide 2D **
Soit une particule de fluide plane carrée de coté a, ayant initialement ses sommets en (0,0), (a,0), (0,a), (a,a).
On se contente de sa représentation en 2D dans le plan de la feuille (invariance totale suivant z). Elle appartient à un écoulement décrit en un point M quelconque par le champ des vitesses~v(M) =−y.~ex+x~ey.
1. Représenter le champ des vitesses aux 4 sommets de la particule. En déduire la position qualitative de la particuledtplus tard.
2. Qu’en conclure sur l’écoulement ? Vérifier la ré- ponse précédente en calculantdiv ~vet rot(~~ v).
Réponse :rot(~~ v) = 2~uz etdiv(~v) = 0
15 Equation de remplissage **
On achemine un débit volumique d’eauDv vers une cône d’angleαet de hauteurH.
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On fournit le volume d’un cône :V = 13.Base.hauteur Déterminer l’équation différentielle vérifiée parz(t), hauteur d’eau dans le cône àt. On fera comme dans le cours, à une date quelconquet, un bilan de volume entretett+dt.
En déduire le temps de remplissage total.
Réponse : 13πtan2αdzdt3 =Dv;T =πtan3D2αH3
v
16 Nature d’un écoulement*
Dans chacun des cas suivants, dites si l’écoulement pourrait être potentiellement stationnaire et/ou homogène.
On nommev1,S1 et µ1les caractéristiques de l’écoulement en entrée. On aS2= 2S1.
1. Le fluide est un liquide.v2=v1/2
2. Le fluide est un gaz.µ2=µ1/2 etv2=v1 3. Le fluide est un liquide.v2=v1
4. Le fluide est un gaz.v2=v1/2
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Eval
Dessiner le champ des~v et des LDC à partir de son expression
Evaluer le caractère "divergent" (ou convergent) d’un écoulement (graphiquement et analytiquement) Evaluer le caractère rotationnel d’un écoulement (graphiquement et analytiquement)
Calculer et exprimer un débit volumique ou mas- sique ; l’utiliser pour exprimer un dm ou dV
Connaître et calculer l’expression cartésienne de div et rot
Exploiter la conservation de Dv dans un écoulement stationnaire et homogène (µuniforme)
Savoir que les LDC d’un écoulement stationnaire ho- mogène se ressèrent lorsque v augmente
Faire un bilan de masse (ou volume) global
Objectifs secondaires Eval
Utiliser Stokes-Ampère ou Green-Ostrogradsky four- nis
Faire un bilan de masse local pour retrouver l’équa- tion de conservation de la masse
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