4 Calcul du champ de vitesses

4

(A. Camus)

Résumé. Le calcul du champ de vitesses éléments finis se fait classiquement par dérivation du champ de pression éléments finis qui est de continuité C⁰. Cette façon de procéder présente l’inconvénient de produire un champ de vitesses discontinu et non admissible. Ce chapitre présente dans un premier temps les méthodes de lissage les plus répandues dont celle de Hinton et Campbell implantée dans SYSNOISE et la méthode de lissage superconvergent par groupes d’éléments due à O. C. Zienkiewicz et J. Z. Zhu.

Cette méthode tire profit des points de superconvergence, lorsqu’ils existent, pour obtenir un champ de vitesses de continuité C¹ superconvergent. Des variantes prenant en compte les équations d’équilibre sont également présentées, notamment les méthodes SPREB qui consistent à minimiser par moindres carrés les résidus d’équilibre. De nombreux tests numériques permettent de montrer qu’à faibles nombres d’onde, la méthode confirme les résultats de précision et de convergence attendus. Par contre, à nombres d’onde élevés, on observe que la notion de superconvergence n’a pas de sens dès le moment que la convergence est dominée par la pollution (k-singularité).

Ce chapitre expose également comment il est possible de construire des champs admissibles, c’est-à-dire satisfaisant à la forme forte du problème modèle général à l’exception de la relation pression-vitesses.

4.1 Introduction

La vitesse apparaît dans la méthode des éléments finis (de type déplacements) comme une grandeur dérivée du champ de pression. En effet, la relation pression-vitesses (2.20) devient

v^h = - 1 jρck ∇p^h

(4.1) Le choix des points d’évaluation du champ de vitesses éléments finis est essentiel car certains points jouissent d'un taux de convergence supérieur au taux théorique p (3.80). Ces points sont qualifiés superconvergents ou de Barlow, en référence aux travaux pionniers de J. Barlow dans ce domaine [BAR76].

Le champ de vitesses éléments finis (4.1) présente les inconvénients majeurs suivants 1) il est discontinu aux interfaces élémentaires,

2) sa précision n’est pas optimale aux noeuds de l’élément, 3) il ne respecte pas l’équation de Helmholtz sous la forme (2.18),

4) il ne respecte ni les conditions aux limites de Neumann (2.30), ni celles de Robin (2.31).

Il est donc naturel de chercher à pallier ces inconvénients. Pour cela, nous envisageons deux classes de méthodes (qui, comme nous le verrons, ont parfois des points communs) :

A) les méthodes de lissage, qui éliminent les inconvénients 1 et 2. Parmi celles-là, nous mentionnons la méthode la plus rudimentaire qui consiste à calculer une moyenne au noeud et une première tentative par moindres carrés due à Hinton et Campbell [HIN74] dont la forme élémentaire disponible dans SYSNOISE [LMS97] est décrite au paragraphe 4.2. Dans le cadre de ce travail, nous avons implanté, testé et évalué les performances de la méthode de lissage superconvergent par groupes d’éléments due à Zhu et Zienkiewicz [ZIE92/1] ainsi que les variantes décrites ci-dessous (paragraphes 4.3 à 4.5).

B) les méthodes de résolution de problèmes locaux, qui éliminent les inconvénients 3 et 4. Parmi celles-ci, nous avons implanté, testé et évalué les performances de la méthode d’erreur en loi de comportement due à P. Ladevèze et al.[LAD75], et que nous appelons erreur en champs admissibles dans le cadre de ce travail pour éviter toute ambiguïté avec la loi de comportement (toujours satisfaite en acoustique) des fluides parfaits. Elle consiste à construire un champ de vitesses admissible et est décrite au paragraphe 4.6.

Le but de ce chapitre est de montrer que la méthode de lissage superconvergent est la méthode de calcul du champ de vitesses optimale car, à l’intérieur du domaine, il converge toujours avec au moins un ordre plus élevé que le champ de vitesses éléments finis. De plus, la vitesse ainsi calculée s’est révélée dans tous les tests, même pour les maillages les plus grossiers ou en présence de pollution, la plus précise.

Les tests de validation décrits dans ce chapitre sont importants car on a parfois accordé une confiance excessive aux méthodes de lissage. Mentionnons également l’étude numérique très détaillée de C. S. Upadhyay qui a montré la robustesse de l’algorithme de lissage superconvergent sur des éléments triangulaires quel que soit le motif du sous-domaine (suivant l’orientation des diagonales [voir pour plus de

précision BAB95/3, BAB97/1ou UPA97]). Il a montré également qu’aucune variante proposée n’améliore systématiquement les résultats.

4.2 Méthodes de Hinton et Campbell

Ces méthodes, dont il existe une forme globale et une forme locale, datent de 1974 et restent très populaires pour lisser le champ de contraintes en élasticité, ou le champ de vitesses en acoustique. Ce paragraphe rappelle brièvement leur principe (en notations adaptées à l’acoustique) car, d’une part, leur forme globale a connu un regain d’intérêt lorsque Zienkiewicz a montré en 1987 qu’elle permettait de construire un estimateur d’erreur a posteriori “fiable” [ZIE87]. Malheureusement, cet estimateur présentait des défauts majeurs (nous y reviendrons au paragraphe 5.1) et est aujourd’hui complètement abandonné par la communauté des chercheurs, mais pas toujours dans le monde industriel comme en témoigne une publication de 1996 de chercheurs d’ANSYS Corporation [TET96]. D’autre part, leur forme élémentaire est disponible dans le logiciel SYSNOISE [LMS97] et des tests comparatifs de performances ont été menés et sont décrits dans ce chapitre (paragraphe 4.5).

4.2.1 Forme globale

Le champ de vitesses v^HC_Ω est solution du problème trouver v^HC_Ω ∈ S_p-1^h (Ω) tel que

v^HC_Ω - v^h _{0 (Ω}) = min g ∈ ^S_p-1^h (Ω)

g - v^h _{0 (Ω})

(4.2) Ce problème consiste à trouver parmi toutes les fonctions g de type éléments finis de degré p-1 (sauf pour les éléments linéaires pour lesquels g est également de degré 1) celle qui minimise une norme d’erreur L² globale et continue (voir définition 9.21). Sa solution fournit un champ de vitesses v^HC_Ω continu en résolvant un système d’équations linéaires par composante dont la taille est identique à celle du système éléments finis initial (3.7) et dont la matrice a une structure identique à la matrice de masse (3.10). Par définition, les fonctions g de type éléments finis sont l’interpolation des valeurs nodales par les fonctions de forme de degré p-1. Le problème (4.2) fournit donc les valeurs nodales q_i^HC et le champ v^HC_Ω est défini par la relation

v_Ω^HC = N_i^p-1 i = 1

#N(Ω)

q_i^HC

(4.3) Afin de réduire le coût de la résolution de ce système, les auteurs ont proposé d’utiliser des algorithmes de type masses concentrées. C’est cette méthode qui est à la base de l’estimateur Z² dû à Zhu et Zienkiewicz [ZIE87] et qui a fait l’objet des travaux de fin d’études [TAJ91, TRI92, DEW93] au Service des Milieux continus de l’Université libre de Bruxelles. C’est au cours de ce dernier travail [DEW93] que nous avons observé l’inefficacité de la méthode Z² pour certaines configurations, particulièrement pour les éléments quadratiques.

4.2.2 Forme élémentaire

Le champ de vitesses lissé par la méthode de Hinton et Campbell élémentaire, noté v_τ^HC, est solution du problème

trouver v_τ^HC ∈ P^p-1(τ) tel que v_τ^HC - v^h _{0 (τ}) = min

g ∈ ^Pp-1(τ)

g - v^h _{0 (τ})

(4.4) Ce problème consiste donc à trouver parmi tous les polynômes lagrangiens g de type éléments finis de degré p-1 (sauf pour les éléments linéaires) celui qui minimise une norme d’erreur L² élémentaire et continue. Le champ de vitesses élémentaire v_τ^HC ∈ P^p-1(τ) est obtenu par interpolation polynomiale de degré p-1 des valeurs nodales

v_τ^HC = N_i^p-1 i = 1

#N(τ⁾

q_i^HC

(4.5) La forme élémentaire est purement locale et la résolution du problème (4.4) conduit à un système d’équations linéaires de petite taille (le nombre d’inconnues de g), ce qui la rend beaucoup plus attrayante que la forme globale. Malheureusement, le champ v_τ^HC construit élément par élément par (4.5) reste discontinu aux interfaces élémentaires et Hinton propose alors de lisser le champ v_τ^HC par un calcul de moyennes aux noeuds.

Enfin, signalons que cette méthode de lissage est disponible en standard dans le logiciel SYSNOISE [LMS97] et dans le logiciel CATIA pour le lissage du champ de contraintes pour les noeuds internes [DAS97].

4.3 Méthode de lissage superconvergent par groupe d’éléments (SPR)

La méthode du lissage superconvergent par groupe d’éléments (Superconvergent Patch Recovery - SPR) est due à Zhu et Zienkiewicz [ZIE92/1, ZIE92/2] et a très rapidement fait l’objet d’implantations dans de nombreux domaines : élasticité [ZIE92/3, ZIE93, WIB92, WIB95/1, ZHA93, ZHA95, RAM94, RAM97, ALH95], champs de température (souvent traités en parallèle de l’élasticité), champs électromagnétiques [LAB95], champs acoustiques [DEW93, BOU96/1, BOU96/2, BOU96/6, BOU96/8, BAB96/1], dynamique des structures [WIB94/2, ABS96]. Parfois, les implantations présentent des variantes : prise en compte des conditions aux limites et du résidu en opérateur de champ [BLA94, WIB93/1, WIB94/1, BOU96/5, AAL96/1, AAL96/2], méthode de forces conjuguées [DUF97, BOR97/1, BOR97/2], lissage du champ de déplacements appliqué à l’estimation d’erreur en norme L²[WIB93/2, WIB94/3] sur les valeurs propres [WIB96/1]. Très souvent, la méthode de lissage est envisagée exclusivement dans un but d’estimation d’erreur a posteriori. Ici, nous découplons le calcul d’un champ de vitesses amélioré du calcul d’erreur proprement dit (chapitre 5).

4.3.1 Principes

Les principes de la méthode peuvent être très pédagogiquement résumés en trois figures [RAM95]. Vitesses éléments finis

La première (figure 4.1) représente une composante du champ de vitesses éléments finis (partie réelle ou imaginaire) tel qu’il est calculé par (4.1) pour des éléments quadrilatères lagrangiens à quatre noeuds. On observe en particulier qu’il est discontinu aux interfaces élémentaires.

x y

figure 4.1. Champ de vitesses éléments finis (éléments Q4 lagrangiens) Surface d’interpolation des valeurs superconvergentes

On considère alors les valeurs du champ de vitesses éléments finis aux points de superconvergence lorsqu’ils existent ou en des points de convergence optimale dans le cas contraire [BAB95/1]. Dans le cas des quadrilatères lagrangiens à quatre noeuds, le point de Gauss d’intégration réduite (situé au centre de l’élément) est superconvergent. On construit alors une fonction, sur le groupe d’éléments χ_Ν, connecté au noeud N d’un degré plus élevé que le champ de vitesses éléments finis (soit de même degré p en coordonnées globales que les fonctions de forme) passant au mieux par ces valeurs (au sens des moindres carrés). On obtient la surface grisée de la figure 4.2.

Points d’évaluation Noeuds

Valeur nodale SPR

figure 4.2. Approximation par moindres carrés d’une surface vP*

passant au mieux par les valeurs de vitesses superconvergentes

Champ de vitesses lissé

Cette surface donne au noeud N une valeur nodale de vitesse qui conserve des propriétés de superconvergence, comme nous le verrons ci-après (paragraphe 4.5). Il nous reste à choisir les fonctions d’interpolation de ces valeurs nodales que nous prenons identiques aux fonctions de forme du champ de pression, ce qui est représenté à la figure 4.3

figure 4.3. Champ de vitesses v* lissé (SPR)

Nous établissons au cours de ce paragraphe la formulation générale pour les noeuds internes avant d’aborder les cas particuliers des noeuds de côté et de frontière. Nous nous attarderons également sur le choix du système d’axes.

4.3.2 Noeuds sommets internes

La méthode proposée par Zhu et Zienkiewicz en 1992 [ZIE92/1] présentait deux variantes : l’une continue et l’autre discrète. Nous mentionnerons très brièvement la formulation continue et ne l’utiliserons plus car, comme d’autres auteurs [ZIE92/1, UPA97], nous avons observé la supériorité systématique de la formulation discrète [ALL95/1].

On construit un champ v_P^* est solution des problèmes locaux trouver v_P^*∈ P^p(χ_n) tel que

v_P^* - v^h _{0 (χn}), disc = min g∈ Pp

(χn)

g - v^h _{0 (χn}), disc

(4.6) La méthode consiste donc à rechercher parmi toutes les fonctions v_P^* polynomiales de degré p définies sur le groupe élémentaire ^χN celle qui minimise au sens des moindres carrés la norme L² discrète. Le champ de vitesses élémentaire v^*∈ P^p(τ) est obtenu par interpolation des valeurs nodales q_i^* = v_P^*(x_N)

v* = N_i i = 1 N(τ⁾

q_i^*

(4.7) où N_i sont les fonctions de forme de degré p du champ de pression (3.4). La formulation continue consiste évidemment à résoudre le problème (4.6) avec une norme L² continue (9.21) et non discrète (9.23). Ces deux méthodes conduisent toutefois au même résultat pour les quadrilatères à quatre noeuds lorsque le jacobien est unitaire, c’est-à-dire lorsque les éléments sont non distordus et aux côtés parallèles aux axes coordonnées.

Le problème (4.6) revient à chercher le minimum d’une fonctionnelle J(a) définie par

J (a) = v_P^*(x , a) - v^h(x) _{0 (}² _χN), disc (4.8) c’est-à-dire,

J (a) = v_P^*(x_s , a) - v^h(x_s) ^t v_P^*(x_s , a) - v^h(x_s) s = 1

ns

(4.9) où ns désigne le nombre de points d’évaluation dans le sous-domaine χN et

v_P^*(x) = P^t(x) a (4.10)

où l’on a rangé dans une matrice les polynômes correspondant à chaque composante de v_P^*(x). À trois dimensions, la matrice P(x) et le vecteur a sont définis par

P(x) =

p(x) 0 0 0 p(x) 0 0 0 p(x)

; a = a_x a_y a_z

(4.11) avec p(x) la base polynomiale lagrangienne exprimée en coordonnées globales, a est le vecteur des coefficients complexes inconnus et on notera na le nombre de monômes de la base p(x). La base polynomiale p(x) est explicitée dans les tables 4.1 à 4.5 en fonction du type d’élément (paragraphe 4.3.7).

Minimiser J(a) (par rapport aux parties réelle et imaginaire de a, voir annexe 9.4) dans le sous-domaine χN conduit à résoudre un système d’équations linéaires noté

A a = b (4.12)

où

A = P(x_s) P^t(x_s) s = 1

ns

(4.13) b = P(x_s) v^h(x_s)

s = 1 ns

(4.14) La matrice A est une matrice structurée par blocs qui ont chacun pour dimensions na x na, ce qui rend la méthode particulièrement économique. On montre aisément que la matrice ne peut être régulière que si la condition

ns(χN) ≥ na(χN) _(4.15)

pour le sous-domaine χN est satisfaite. Nous verrons au paragraphe 4.3.5 qu’il existe néanmoins des cas où cette condition nécessaire n’est pas suffisante.

Remarque

La définition (4.9) correspond rigoureusement à la norme L² discrète définie en (9.23). Néanmoins, nous avons adopté dans des publications antérieures [BOU96/6, BOU96/7, BOU96/8] une autre définition où la fonctionnelle J(a) est elle-même complexe (elle n’est donc pas une norme)

J₁(a) = v_P^*(x_s) - v^h(x_s) ^t v_P^*(x_s) - v^h(x_s) s = 1

ns

(4.16) L’annexe 9.4 montre que la minimisation des fonctionnelles J(a) et J₁(a) conduit au même résultat.

4.3.3 Noeuds milieux de côté ou sur la frontière

Il arrive que la condition (4.15) ne soit pas satisfaite, systématiquement pour les noeuds de côté (p ≥ 2), très souvent pour les noeuds de frontière, quelques fois pour des noeuds sommets intérieurs. Il convient alors d’adapter la méthode puisque le système (4.12) possède une infinité de solutions. Deux cas peuvent se présenter.

ns(χN) < na(χN) mais il existe n' ∈ χN tel que ns(χN') ≥ na(χN')

Cette condition exprime que dans le sous-domaine χN il existe au moins un noeud pour lequel il a été possible de calculer ^vP* (figure 4.4). Afin de conserver le caractère superconvergent de la méthode, nous optons pour calculer la valeur au noeud N à l’aide de la relation (4.10) obtenue pour le noeud N’. S’il existe plusieurs noeuds N’ pouvant fournir une valeur (figure 4.5), on calcule la moyenne algébrique de ces valeurs.

ns(χN) < na(χN) et ns(χN') < na(χN') ∀^N' ∈χN

Cette condition exprime qu’il n’existe aucun noeud du sous-domaine χN pour lequel il a été possible de calculer ^vP* (figure 4.6). Dans ce cas, nous décidons d’abandonner localement la superconvergence et augmentons le nombre de points d’évaluation par élément (par exemple, en considérant les points

d’intégration exacte). D’autres méthodes sont possibles, ainsi la prise en compte des conditions aux limites de Neumann permet aussi d’obtenir une matrice A régulière (voir paragraphe 4.4.1).

Noeuds du maillage Noeud N

Noeuds N' de χN en lesquels, il est possible de construire v_*P

Points d’évaluation χN

N

N' N'

N'

Γ

figure 4.4. Exemple pour lequel ∃ N' ∈χN ns(χN' ) ≥ na(χN' )

N'₂ N'₁ N

figure 4.5. La valeur au noeud N est la moyenne algébrique des valeurs calculées grâce aux groupes χN1' et χN2'

Noeuds du maillage Points d’évaluation

Γ

N Γ

N

figure 4.6. Exemples où ∃ ^N' ∈χN ns(χN' ) ≥ na(χN' ) 4.3.4 Système d’axes

La méthode SPR s’exprime en axes globaux, ce qui la rend dépendante du système d’axes : les vitesses calculées par la méthode SPR pour le même maillage mais avec un autre système d’axes seront différentes. La normalisation des coordonnées introduite par O. C. Zienkiewicz et al. dès leur première publication [ZIE92/1] ne permet évidemment pas de contourner cet inconvénient mais conduit, particulièrement pour p > 1, à un meilleur conditionnement de la matrice A. Les coordonnées normalisées xⁿ sont définies par l’expression

xⁿ = -1 + 2 x - x^min

x^max - x^min (4.17)

où x^min et x^max désignent les coordonnées minimales et maximales dans chaque direction. Cette normalisation revient à utiliser des axes locaux représentés à la figure 4.7.

xn yn

+1 +1

-1

-1

figure 4.7. Axes locaux correspondant à la normalisation des coordonnées (4.17)

Certains auteurs ont alors pensé à rendre la méthode indépendante du système d’axes en choisissant une transformation isoparamétrique par sous-domaine [RAM95], mais pour une distribution arbitraire des points d’évaluation, cela conduit à un système d’équations non linéaires. E. Dufeu recommande alors [DUF97] d’opter pour des représentations polynomiales possédant la propriété d’isotropie géométrique comme c’est le cas pour tous les polynômes complets.

4.3.5 Régularité de la matrice A - configurations pathologiques

L’utilisation d’axes locaux dont l’origine se trouve au centre du sous-domaine, comme c’est la cas pour les coordonnées normalisées (4.17) génère des cas pathologiques où la matrice A est singulière. Deux exemples sont donnés à la figure 4.8.

La singularité de la matrice A se montre aisément sur l’exemple 4.8 (a). En effet, considérons le polynôme lagrangien correspondant au Q4

p^t = 1 , x , y , xy (4.18)

Les points d’évaluation correspondent aux points de Gauss d’intégration réduite et ont pour coordonnées en toute généralité pour le cas de la figure 4.8 (a)

P₁( a , 0 ) ; P₂( 0 , b ) ; P₃( c , 0 ) ; P₄( 0 , d ) (4.19) La matrice A du système (4.12) s’écrit alors

A =

1 1 1 1 a 0 c 0 0 b 0 d 0 0 0 0

1 a 0 0 1 0 b 0 1 c 0 0 1 0 d 0

=

4 a + c b + d 0

a + c a² + c² 0 0 b + d 0 b² + d² 0

0 0 0 0 (4.20)

Elle est de rang 3 car aucun des paramètres a et c, b et d ne peut être nul par définition. Il s’ensuit une impossibilité de calculer les valeurs SPR correspondantes. Ces cas pathologiques apparaissent pour des configurations régulières (figure 4.8), ce que l’on rencontre souvent en pratique. Il convient donc de modifier l’algorithme de manière à le rendre robuste.

y

x x

y

N points d’évaluation

N

(a) (b)

figure 4.8. Exemples de sous-domaines pour lesquels la matrice A est singulière

Nous avons opté pour un changement d’axes locaux centrés sur le premier noeud du sous-groupe élémentaire χN. La direction x'_n est définie par les premier et deuxième noeuds du sous-groupe et la direction y'_n lui est perpendiculaire dans le plan formé par les trois premiers noeuds dans le sens du troisième. Enfin, la direction z'_n (non représentée) complète le trièdre dextrogyre. Le système d’axes obtenu est illustré à la figure 4.9. Ce choix est valable à deux et trois dimensions.

4.3.6 Sous-domaines mixtes

À notre connaissance, aucune publication ne s’est intéressée à la présence éventuelle de sous-domaines mixtes, c’est-à-dire de sous-domaines contenant différents types d’éléments de même degré. Pourtant, de nombreuses applications pratiques ont recours à ce type de maillage car, dans le cas bidimensionnel par exemple, on cherche souvent à obtenir des maillages composés d’un nombre maximal de quadrilatères complété par des triangles (pour éviter d’éventuelles grandes distorsions dans les quadrilatères).

x'n y'n

1 3

2 N

figure 4.9. Système d’axes locaux pour les configurations pathologiques

Considérons le cas où le sous-domaine contient deux types d’éléments (par exemple, quadrilatère et triangle). La base polynomiale (4.10) étant unique par sous-domaine, il faut faire le choix de la base de l’un ou l’autre élément et en montrer la fiabilité. Pour cela, nous étudions systématiquement les motifs mixtes qui peuvent définir un sous-domaine d’éléments plans pour un noeud intérieur car l’efficacité d’un algorithme de lissage dépend aussi du motif de triangle comme le montrent nos tests antérieurs [BOU96/7]

et, sur le triangle seul, C. S. Upadhyay [UPA97]. C’est la raison pour laquelle nous étudions pour le problème modèle 2 (tube unidimensionnel dont une paroi est excitée par une vitesse normale) les motifs de la figure 4.10.

(1) (3) (4)

(8) (9)

(7) (10)

(6)

(5) (2)

figure 4.10. Motifs de sous-domaines mixtes

Les figures 4.11 (a-b) donnent l’erreur sur la composante x de la vitesse en fonction du motif pour des éléments de degré 1 et 2 respectivement. Ces points ont été reliés par des droites uniquement pour donner la tendance en fonction de l’augmentation ou de la diminution de la proportion d’un type d’éléments.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v-vh v-vSPR(T3) v-vSPR(Q4)

configuration I(x =0.5 )

figure 4.11. (a) Problème modèle 2 : erreur locale sur la composante x de la vitesse en fonction du motif du sous-domaine (p=1, h=0^.1 m, κ = 5^.54)

0 0.02 0.04 0.06 0.08

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v-vh v-vSPR(T6) v-vSPR(Q8)

configuration I(x =0.5 )

figure 4.11. (b) Problème modèle 2 : erreur locale sur la composante x de la vitesse en fonction du motif du sous-domaine (p=2, h=0^.1 m, κ = 5^.54)

On observe aux figures 4.11 (a-b) que

1) le choix de la base polynomiale p(x) a peu d’influence sur la précision lorsque le sous-domaine est composé majoritairement de triangles (configurations 6 à 10), 2) le choix d’une base de quadrilatères dans un sous-domaine composé majoritairement

de quadrilatères donne un champ de vitesses lissé de meilleure qualité uniquement pour les configurations 2 et 5. Par contre, pour les autres configurations (1, 3 et 4), les résultats sont peu sensibles au choix de la base polynomiale,

3) la qualité de la solution éléments finis dépend très fortement du motif du sous- domaine, particulièrement pour les motifs de triangles (comparer par exemple les configurations 4 et 5). Cette perte de précision est par contre correctement compensée par l’algorithme de lissage superconvergent.

Nous préconisons donc l’utilisation systématique, quel que soit le motif, de la base polynomiale la plus petite (du triangle à deux dimensions par exemple).

4.3.7 Bibliothèque d’éléments et points d’évaluation

La précision du champ de vitesses lissé par la méthode SPR dépend évidemment directement du caractère superconvergent des points d'évaluation. Il n’existe pas à l’heure actuelle de connaissance universelle de la superconvergence pour tous les types d’éléments. Les conclusions des travaux dans ce domaine sont

1) éléments quadrilatéraux et hexaédraux. J. Barlow a démontré [BAR76, BAR89] que les points d’intégration réduite étaient superconvergents pour des maillages réguliers. La superconvergence se détériore lorsque les éléments sont distordus mais les points d’intégration réduite restent les plus précis,

type p représentation points d’évaluation p^t(x) na

Q4 1 ( 0 , 0 ) ( 1 , x , y , xy ) 4

Q8 2

( ± 3 3 , ±

3 3 )

( 1 , x , y , x² , xy , y² , x²y , xy² )

8

Table 4.1. Données élémentaires de la méthode SPR

pour la bibliothèque d’éléments finis quadrilatéraux disponibles dans SYSNOISE

type p représentation points d’évaluation p^t(x) na

H8 1 ( 0 , 0 , 0 ) ( 1 , x , y , z ,

xy , xz , yz , xyz )

8

H20 2

(±

3 3 ,±

3 3 ,±

3 3 )

( 1 , x , y , z , x² , y² , z² , xy , xz , yz , xyz ,

x²y , x²z , xy² , y²z , xz² , yz2 , x²yz , xy²z , xyz² )

20

Table 4.2. Données élémentaires de la méthode SPR

pour la bibliothèque d’éléments finis hexaédraux disponibles dans SYSNOISE

2) éléments triangulaires. Les points milieux de côtés sont superconvergents pour les éléments linéaires et quadratiques. Néanmoins, de nombreux tests ont montré la bonne précision obtenue avec le point central pour le triangle à trois noeuds, raison pour laquelle nous l’avons choisi suivant en cela les auteurs de la méthode [ZIE92/1], 3) autres éléments volumiques. Il n’existe aucun résultat pour les autres éléments

volumiques et nous avons opté pour une généralisation naturelle des résultats à deux dimensions.

Nous avons implanté et testé la méthode de lissage SPR avec les points d’évaluation donnés aux tables 4.1 à 4.5.

type p représentation points d’évaluation p^t(x) na

T3 1

( 1 3 ,

1 3 ,

1 3 )

( 1 , x , y ) 3

T6 2 (

1 2 , 0 ,

1 2 ) ( 0 ,

1 2 ,

1 2 ) (

1 2 ,

1 2 , 0 )

( 1 , x , y , x² , xy , y² )

6

Table 4.3. Données élémentaires de la méthode SPR

pour la bibliothèque d’éléments finis triangulaires disponibles dans SYSNOISE

type p représentation points d’évaluation p^t(x) na

T4 1

( 1 4 ,

1 4 ,

1 4 ,

1 4 )

( 1 , x , y , z ) 4

T10 2

α, β, β, β β, α, β, β β, β, α, β β, β, β, α α = 0^.58541020 β = 0.13819660

( 1 , x , y , z , x² , y² , z² , xy , xz , yz)

10

Table 4.4. Données élémentaires de la méthode SPR

pour la bibliothèque d’éléments finis tétraédraux disponibles dans SYSNOISE

type p représentation points d’évaluation p^t(x) na

P6 1

( 1 3 ,

1 3 ,

1 3 , 0 )

( 1 , x , y , z , xz , yz)

6

P15 2 (

1 6 ,

1 6 ,

2 3 , ±

3 3 ) (

2 3 ,

1 6 ,

1 6 , ±

3 3 ) (

1 6 ,

2 3 ,

1 6 , ±

3 3 )

( 1 , x , y , z , x² , y² , z² , xy , xz , yz , xyz , x²z,y²z , xz² , yz2 )

15

Table 4.5. Données élémentaires de la méthode SPR

pour la bibliothèque d’éléments finis pentaédraux disponibles dans SYSNOISE

4.4 Variantes de la méthode SPR

Le champ de vitesses lissé par la méthode SPR présente encore l’inconvénient de ne pas être statiquement admissible, c’est-à-dire, d’après notre définition (paragraphe 2.2.8) qu’il ne respecte pas l’équation de Helmholtz sous la forme (2.18) ni les conditions aux limites de Neumann (2.30) et de Robin (2.31). Il est donc naturel d’envisager des variantes permettant de minimiser les résidus en opérateur de champ et en conditions aux limites. En particulier, la plupart des études acoustiques par éléments finis présentent des conditions aux limites de Neumann (vitesses normales imposées modélisant la vibration des parois) et de Robin (admittance imposée modélisant les matériaux absorbants). Il est donc intéressant de chercher un champ de vitesses satisfaisant le mieux possible aux conditions aux limites.

4.4.1 Incorporation des résidus d’équilibre sous forme faible (méthodes SPREB)

Les méthodes SPREB ont été proposées par N.-E. Wiberg et al.[WIB93/1, WIB94/1, WIB95/1] et consistent à incorporer dans la fonctionnelle J(a) (4.9) les résidus en opérateur de champ et en conditions aux limites de manière faible et pondérée. Définissons les résidus suivants

1) résidu en champ de vitesses

R_v = v_P^*(x) - v^h(x) (4.21)

2) résidu en opérateur de champ (équation de Helmholtz sous la forme 2.18) r_H(x) = ∇^tv_P^*(x) - k²

jρω p^h(x)

(4.22) 3) en conditions aux limites de Neumann

r_N(x) = n^t(x)v_P^*(x) - v_n(x) (4.23)

4) en conditions aux limites de Robin

r_R(x) = n^t(x)v_P^*(x) - A_np^h(x) (4.24) Nous avons adapté (partiellement) les méthodes de Wiberg à l’acoustique en définissant la fonctionnelle J(a) suivante par

J a = w_v R_v^t(x_s)R_v(x_s) s

+ w_N r_N(x_r)r_N(x_r) r

+ w_R r_R(x_q)r_R(x_q) q

+ w_H r_H(x) r_H(x) dΩ

χN (4.25)

où w_v, w_N, w_R et w_H sont des poids permettant de donner plus ou moins d'importance aux résidus correspondants. Il faut remarquer que les termes de J(a) ne sont dimensionnellement homogènes en 3D que si le dernier terme de (4.25) est multiplié par un poids w_H qui possède une dimension de [m]-¹. Pour les problèmes 2D, l’homogénéité est automatiquement assurée. Le champ lissé SPREB est toujours solution du problème (4.6) mais pour une norme définie par la fonctionnelle (4.25). En exprimant les conditions d’extrémum, on aboutit à un système d’équations linéaires de la même taille que (4.12) mais qui contient des termes de couplage entre les composantes,

A a = b (4.26)

où,

A = w_v P(x_s) P^t(x_s) s = 1

ns

+ w_N P(x_r)n^t n P^t(x_r) r

+ w_R P(x_q)n^t n P^t(x_q) q

+ w_H ∇^tP ∇^tP ^t dΩ

χN (4.27)

b = w_v P(x_s) v^h s = 1

ns

+ w_N P(x_r)n^t v_n r

+ w_R P(x_q)n^t A_n p^h q

+ w_H ∇^tP k

jρc p^h dΩ χN

(4.28) Les différentes variantes de l’algorithme correspondent aux valeurs suivantes des poids

w_v w_N w_R w_H

SPR 1 0 0 0

SPRE 1 0 0 1

SPRB 1 1 1 0

SPREB 1 1 1 1

Table 4.6. Variantes de l’algorithme SPR

Les valeurs non nulles ont été choisies unitaires mais ce choix est arbitraire et l’on pourrait donner plus ou moins d’importance au terme correspondant en choisissant d’autres valeurs.

4.4.2 Incorporation des résidus d’équilibre par paramètres de Lagrange

Les méthodes SPREB présentent l’avantage de simplicité et de faible coût mais présentent l’inconvénient d’être mathématiquement peu fondées. On peut penser en fait à formuler plus correctement un problème d’extrémum lié où les résidus (4.22-24) sont introduits comme conditions avec paramètres de Lagrange.

C’est cette démarche qu’a suivie J. Aalto [AAL96/1, AAL96/2] sans succès puisqu’il conclut lui-même que le champ lissé qui en découle est toujours moins précis que le champ SPREB malgré son coût plus important. Cette méthode n’a donc pas été abordée.

4.4.3 Méthodes de lissage équilibré

Les méthodes SPREB posent néanmoins la question de leur pertinence car l’introduction des conditions aux limites sous forme faible viole l’équilibre éléments finis. On trouve dans la littérature des réponses récentes à cette objection qui feront très certainement l’objet de nombreuses études : O. Boroomand et al.

introduisent une méthode de lissage équilibré [BOR97/1, BOR97/2] et E. Dufeu introduit une méthode de forces conjuguées [DUF97] dont la nature est semblable. Nous ne décrivons que brièvement la méthode de lissage équilibré (Recovery by Equilibrium Patches, REP) car elle n’a pas été incluse dans ce travail pour les raisons qui découleront de nos conclusions sur l’applicabilité des estimateurs a posteriori dans le cadre de l’acoustique (paragraphe 5.5).

La formulation de la méthode REP apparaît très attractive. Basée sur la propriété d’orthogonalité de l’erreur, elle consiste également à chercher une solution polynomiale par groupes d’éléments. Résumons- en les principes appliqués à l’acoustique.

Considérons d’une part la forme faible (2.60) du problème continu avec des fonctions tests de type éléments finis

a(p , w^h) = ϕ(w^h) ∀ w^h ∈ S^h (4.29) et d’autre part, la formulation éléments finis (3.3)

a(p^h, w^h) = ϕ(w^h) ∀ w^h ∈ S^h (4.30) où S^h désigne un sous-espace éléments finis. En soustrayant membre à membre (4.29) et (4.30), on obtient

a( p - p^h, w^h) = 0 ∀ w^h ∈ S^h (4.31) qui est souvent appelé orthogonalité de l’erreur et qui est valable quel que soit le domaine auquel on s’intéresse. Si l’on se restreint par exemple à un sous-domaine χn, la fonctionnelle ϕ(w^h) contiendra des termes supplémentaires traduisant l’action de Ω \ χn sur χn mais qui sont égaux dans les deux cas (4.29- 30) et la relation (4.31) est donc tout à fait générale.

Si l’on considère une fonction test de type fonction de forme N, il vient,

a_χn( p - p^h, N) = 0 ∀ N (4.32)

L’idée principale de la méthode REP consiste à chercher une solution approchée p^* par lissage au problème (4.32) qui s’écrit, ∀ N,

∇^tN ∇p^* dΩ χn

- k² N p^* dΩ χn

+ jρcA_n N p^* dΓ Γ(χn) ∩ΓR

=

∇^tN ∇p^h dΩ χn

- k² N p^h dΩ χn

+ jρcA_n N p^h dΓ

Γ(χn) ∩ΓR (4.33) On voit immédiatement qu’une méthode de lissage équilibré doit, dans le cadre de l’acoustique, lisser simultanément le champ de pression et son gradient. Une telle méthode n’est toutefois pas envisageable parce que le nombre d’équations disponibles sera le plus souvent inférieur au nombre d’inconnues (il y autant d'équations que de noeuds dans le groupe d'éléments χn). Une manière de contourner la difficulté consiste à choisir

p^* = p^h (4.34)

et à chercher un champ de vitesses lissé sur le groupe d’éléments χn par une variation polynomiale du même type que celle de la méthode SPR (4.10). Le problème (4.33) dans le cas particulier (4.34) conduit au système algébrique d’équations linéaires

A a = b (4.35)

où,

A = ∇^tNP^t dΩ

Ω (4.36)

b = ∇^tN v^h dΩ

Ω (4.37)

Le nombre de coefficients na du développement polynomial (4.10) étant cette fois inférieur au nombre d’équations du système, on cherche une solution approchée en minimisant au sens des moindres carrés la fonctionnelle

J (a) = A a - b ^t A a - b _(4.38) Par analogie avec les méthodes SPREB, B. Boroomand et al. proposent également d’incorporer des résidus d’équilibre dans la fonctionnelle (4.38) en surface pour tenir compte des conditions aux limites de Neumann ou en volume pour “améliorer la stabilité” de la méthode [BOR97/1].

D’excellents résultats ont été décrits dans la littérature [BOR92/1, BOR92/2, DUF97] qui montrent que la méthode est superconvergente, s’applique à tous les types d’éléments et se généralise aux problèmes non linéaires, dynamiques, etc. Il s’agit donc d’une méthode prometteuse qui mérite d’être investiguée mais qui, dans le cadre de l’acoustique, s’inscrit dans le champ d’application des estimateurs d’erreur a posteriori que nous montrerons au paragraphe 5.5.

4.5 Tests numériques sur les méthodes de lissage

4.5.1 Convergence locale à faibles nombres d’onde

Afin d’illustrer les propriétés de superconvergence de la méthode du lissage superconvergent par groupe d’éléments (SPR), les figures 4.12 (a-b) et 4.13 (a-b) donnent la convergence locale I(x=0^.5 m) (noeud

interne) et I(x = 0 m) (noeud externe) pour le problème modèle 2 pour des éléments plans de degré 1 et 2 respectivement. Le calcul est mené à faible nombre d’onde, en l’absence de singularités (κ = 0^.92, L = 1 m).

Noeud interne

On observe (figures 4.12 a-b)

1) la solution éléments finis est donnée sous la forme de moyenne aux noeuds (h-AVG).

On constate qu’avec des maillages réguliers et une solution régulière, ces valeurs nodales sont superconvergentes o(h²) pour les éléments linéaires (p=1), résultat qui n’est pas général,

1.0E-7 1.0E-6 1.0E-5 1.0E-4 1.0E-3 1.0E-2 1.0E-1 1.0E+0

1 10 100

h-AVG (Q4) SPR (Q4) h-AVG (Q8) SPR (Q8) 1 1/h

2 I(x=0.5)

figure 4.12. (a) Problème modèle 2 : convergence locale de la composante x du champ de vitesses au point x = 0.5 m (éléments quadrilatéraux, p=1 ou 2, κ = 0^.92)

1.0E-6 1.0E-5 1.0E-4 1.0E-3 1.0E-2 1.0E-1 1.0E+0

1 10 100

h-AVG (T3) SPR (T3) h-AVG (T6) SPR (T6)

1/h 1

2 I(x=0.5)

figure 4.12. (b) Problème modèle 2 : convergence locale de la composante x du champ de vitesses au point x = 0.5 m (éléments triangulaires, p=1 ou 2, κ = 0^.92)

2) la solution lissée par groupe d’éléments SPR est toujours plus précise que la solution éléments finis,

3) la solution lissée par groupe d’éléments SPR est superconvergente o(h²) pour les éléments linéaires (p=1) et même ultraconvergente o(h⁴) pour les éléments Q8.

Noeud externe

On observe (figures 4.13 a-b)

1.0E-5 1.0E-4 1.0E-3 1.0E-2 1.0E-1 1.0E+0

1 10 100

h-AVG (Q4) SPR (Q4) h-AVG (Q8) SPR (Q8)

1/h

1

2 I(x=0)

figure 4.13. (a) Problème modèle 2 : convergence locale de la composante x du champ de vitesses au point x = 0^.0 m (éléments quadrilatéraux, p=1 ou 2, κ = 0^.92)

1.0E-5 1.0E-4 1.0E-3 1.0E-2 1.0E-1 1.0E+0

1 10 100

h-AVG (T3) SPR (T3) h-AVG (T6) SPR (T6)

1/h

1

2 I(x=0)

figure 4.13. (b) Problème modèle 2 : convergence locale de la composante x du champ de vitesses au point x = 0.0 m (éléments triangulaires, p=1 ou 2, κ = 0^.92)

1) à la frontière du maillage également, la solution lissée par groupe d’éléments SPR est toujours plus précise que la solution éléments finis. Nous verrons ci-dessous (paragraphe 4.5.5) que ce n’est pas toujours le cas pour les maillages les plus grossiers,