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Submitted on 1 Jan 1993
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magnétostatique dans les enroulements des réactances cuirassées de grande puissance. Comparaison avec le
calcul en 2D
Triomphant Ngnegueu, Claude Terme, Michel Mailhot
To cite this version:
Triomphant Ngnegueu, Claude Terme, Michel Mailhot. Modélisation par éléments finis 3D du champ magnétostatique dans les enroulements des réactances cuirassées de grande puissance. Com- paraison avec le calcul en 2D. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (3), pp.443-453.
�10.1051/jp3:1993141�. �jpa-00248931�
J. Phys. III France 3 (1993) 443-453 MARCH 1993, PAGE 443
Classification Physics Abstracts
41.10D 41.10F
Mod41isation par 414ments finis 3D du champ magn4tostatique
dans les enroulements des r4actances cuirass4es de grande puissance. Comparaison avec le calcul en 2D
Triomphant Ngnegueu, Claude Terme et Michel Mailhot
Jeumont Schneider Transformateurs, Groupe Merlin Gerin, 84 avenue Paul Santy, 69371 Lyon Cedex, France
(Regu le 17 mars1992, rdvisd le lo novembre 1992, acceptd le19 novembre1992)
R4sumd. Dans cet article, nous ddcrivons une application de la m£thode des £I£ments finis pour la mod£lisation du champ magndtostatique dans les enroulements d'une rdactance cuirassde de
grande puissance. La mod£lisation est conduite en 3D, en utilisant le logiciel FLUX3D. Les rdsultats du calcul sont compards avec ceux obtenus en 2D. Quelques comparaisons sont aussi effectudes avec des rdsultats de mesure.
Abstract. In this paper, the finite element method is applied for the computation of the magnetostatic field in the windings of a shell-form reactor. The modeling is carried out in 3D, using FLUX3D, a software developed at the Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble. The results are compared to those obtained in 2D. These calculation results are also compared to some test results.
1. Introduction.
Le but de ce calcul est de procurer un outil d'usage industriel, pour ddterminer l'impddance, les efforts et les penes suppldmentaires dans les rdactances cuirassdes de grande puissance.
D'un point de vue contractuel, ces grandeurs sent importantes et doivent due ddtermindes
avec le maximum de prdcision. Par exemple, la valeur de l'imp6dance doit en g6n6ral dtre calcu16e avec mains de 2,5 9b d'erreur.
Tant que la rdactance ne sature pas, impddance, penes suppldmentaires dans les enroule-
ments et efforts sent directement lids au champ magndtique dans les enroulements. Dans cette
Etude, nous nous limitons prdcisdment h l'analyse du champ magndtique dans les enroulements.
2. Description.
La figure I donne une vue de 1/8e d'une rdactance cuirassde de grande puissance. Une telle rdactance est constitude de bobines rectangulaires entourdes d'un circuit magndtique feuilletd,
sans noyau, L'ensemble est contenu dans une cuve en acier,
Dans la r6actance que nous prdsentons, les bobines ant une forme demi-ronde.
,/
Xi
cav~w~zJ,PWVg=o
Fig. I. Vue du 1/8~ d'une r£actance cuirass£e de I lo MVAR, 735 KV/ /.
[View of 1/8th of a I lo MVAR, 735 KV/ / shell-form reactor.]
3. Champ magnktique dans les enroulements.
UNE APPROCHE EN MAGNtTOSTATIQUE. Comme c'est le cas dans les transformateurs de
puissance, les enroulements des rdactances de grande puissance sent toujours constituds de conducteurs dent les dimensions sent de l'ordre de l'6paisseur de peau ou infdrieures h
l'dpaisseur de peau, aux frdquences usuelles des rdseaux d'6nergie dlectrique, 50 Hz, 60 Hz.
On montre alors, soit par le calcul analytique, soit par le calcul num6rique par la mdthode des 61dments finis par exemple, que le champ des courants induits dans les enroulements est
ndgligeable.
En gdndral, la spire n'est pas constitude d'un conducteur unique mais de plusieurs
conducteurs en paralmle. Ceci crde des boucles dans lesquelles, le champ magndtique induit
des courants. On annule ces courants dits courants de circulation en permutant les conducteurs
dans des endroits approprids,du bobinage.
En l'absence de toute autre pi~ce massive, ces techniques particuli~res de construction, qui permettent de minimiser le champ de rdaction des courants induits, conduisent h calculer le
champ magn6tique dans les enroulements en magndtostatique.
EQUATIONS Du CHAMP ET coNDiTioNs Aux LIMITES. On part £videmment des £quations de Maxwell. En magn6tostatique, nous avons h rdsoudre :
Rot H
= J (I)
Div B
=
0 (2)
B
= pH (3)
oh, H est le champ magn6tique, B l'induction magn6tique, J la densitd de courant, et p, la permdabilitd magn6tique.
A ces dquations, il faut ajouter les conditions aux limites. La figure I donne une description
du modble g60m6trique du probmme. Compte tenu du fait qu'on ne s'intdresse qu'au champ
N° 3 ETUDE MAGNETOSTATIQUE DES REACTANCES CUIRASS#ES 445 magndtique dans les enroulements, dans un fonctionnement oh la rdactance n'est pas saturde,
on peut d6finir les conditions aux limites suivantes :
champ tangent aux plans z
= 0 et y =
0 : ce sent des plans de symdtrie gdomdtrique avec
inversion du sens du courant
champ normal au plan x
=
DHF c'est un plan de symdtrie gdom6trique qui conserve le
sens du courant ;
champ normal aux plans z
=
DHF, y
= DLF et x
=
0 : ce sent des plans d'interface
entre l'huile et les matdriaux de permdabilitd dlevde que sent le circuit magndtique et la cuve en
acier.
4. Choix d'une formulation pour la rdsolution par la mdthode des dldments finis en 3D.
CALCUL EN POTENTIEL RtDUIT. Compte tenu du nombre 61ev6 des bobines et du faible
espacement entre elles, la formulation en potentiel rdduit semble appropride pour le calcul en
trois dimensions. On ddcompose le champ magndtique sous la forme :
H=Hj+H~
oh, Hi est le champ que crderaient les bobines si elles dtaient seules dans le vide. Ce champ est donna par la loi de Biot et Savart.
Hi (M)
=
I/4 ar
iii
J A PM du/ iPM113 (4)v
Le champ H~ est obtenu en dcrivant H~ = Grad 4 et le potentiel rdduit 4 est alors obtenu h partir de (2) et (3), en r6solvant, l'6quation :
Divp(Hj-Grad4)=0. (5)
Le logiciel FLUX3D offre une banque d'inducteurs permettant de d6crire entre autres la forme de bobines prdsentes dons ce problbme.
Un autre aspect important qui pourrait conduire au choix d'une r6solution en potentiel rdduit est que, dans le maillage en tdtra~dres pour la r6solution du probmme en 4, on n'est pas obligd
de respecter le faible espacement entre les bobines. De plus, 4 dtant scalaire, on aura une seule inconnue par noaud du maillage. Le seul inconvdnient est que pour des formes compliqudes de bobines, le calcul du champ Hi peut dtre co0teux en temps CPU en effet, le calcul de
l'intdgrale (4) est relativement long pour un nombre 61evd d'inducteurs volumiques.
Malgrd les attraits du calcul en potentiel rdduit, nous effectuons un calcul en potentiel
vecteur sur un probmme simplifid (Fig. 2). Nous pensons en effet que, s'il devait y avoir une
diffdrence importante entre les rdsultats des calculs en 2D et en 3D, elle s'observerait aussi bien en remplagant les bobines par leur enveloppe. Des prdcalculs en 2D justifient cette
approche.
CALCUL EN POTENTIEL VECTEUR. A partir de (2), on d£finit le potentiel vecteur magn£tique A, par la relation,
B
=
Rot A (6)
dent on ddduit h partir de (I) et (2), l'6quation classique,
Rot (I/p Rot A
= J. (7)
,
@1, '
i
Qy (of
i
'
i
~,' =AdPMVM
, q
Fig. 2. Les bobines sont remplac6es par leur enveloppe commune.
[The windings are replaced by their common extemal envelope.]
Pour assurer l'unicitd de la solution qui est d6finie h un gradient pr~s, h l'dquation (7), on
adjoint en g6n6ral en magn6tostatique, la jauge
Div A
=
0 (8)
En trois dimensions, la rdsolution en potentiel vecteur conduit h trois inconnues par noaud du
maillage en 616ments finis. Cependant, en remplagant le bobinage par son enveloppe, on n'a
plus h respecter le faible espacement entre les bobines ; ce qui r6duit consid6rablement le nombre de noauds du maillage et par cons6quent le temps de calcul.
5. Description du problkme avec le logiciel FLUX3D.
La g60m6trie simplif16e du problbme est subdivis6e en trois volumes : un volume prismatique
oh la densitd de courant J est suivant (Oz ), un volume « cylindrique » oh la densit6 de courant J est circulaire d'axe (O'x), et le volume entourant l'enveloppe des bobines oh la densit6 de
courant J est nulle.
Nous avons mailld cette g60mdtrie en 24 957 dldments du premier ordre.
La topologie du syst~me d'6quations lindaires obtenu est la suivante :
nombre total d'Equations I1 593
longueur de la plus courte ligne 6
longueur de la plus longue ligne 72
longueur moyenne des lignes 43
nombre de coefficients non nuls 259 135
N° 3 #TUDE MAGNfTOSTATIQUE DES R#ACTANCES CUIRASS#ES 447
ILUI3L_1,09 re:>crond 9/03/92 9:b6 exi'loil:<lion tOULLUR
x~
y[View of 3D mesh of the indings' envelope.]
6. Comparaison des calculs en 2D en 3D.
En utilisant le logiciel FLUX2D, des rdsolutions sont effectudes dans diffdrents plans de coupe du probmme h g60m6trie simplifide de la figure 2.
En comparant les rdsultats obtenus, nous constatons de faibles scants entre les valeurs.
Les figures ci-aprbs comparent des courbes obtenues dans les plans y=0 et z=0.
Lorsqu'on se ddplace le long du bobinage paralmlement h l'axe (Oz), ces courbes se
conservent. Lorsqu'on toume autour de l'axe (O'x), ces courbes se conservent encore. Il
apparait cependant une composante normale au plan de coupe que nous avons estimd
ndgligeable pour le calcul de l'inductance et des penes dans les enroulements.
A partir des observations que nous venons de faire, nous avons ddvelopp6 un outil pour le dimensionnement des enroulements des rdactances cuirass6es de grande puissance, bass sur le calcul analytique du champ magndtostatique en 2D.
Dans les diff6rents plans de coupe de la figure I, nous obtenons l'expression analytique du
potentiel vecteur magndtique en 2D) sous la forme
A(X, Y = z z A~j cos (r, x) sin ~p~y)
,
ij
oh, les coefficients A~~, r~ et p~ sont obtenus h partir de l'expression des conditions aux limites et de la traduction de l'6quation (7) en 2D. Ces coefficients s'expriment en fonction des
courants dans les enroulements et de la gdomdtrie du probmme. Pour plus de ddtails sur ce
rdsultat, nous renvoyons au paragraphe en annexe et h la r6f6rence [2] oh nous avons mis en
oauvre ce type de calcul pour ddterminer les penes suppldmentaires dons les enroulements des
transformateurs de puissance de type cuirassd.
_ $$($~ cz/m£~J -$~ ~~
' (FIWZP) ~=
o.3
o,i
o-i
*o.i
o o-i o.< o-e o-o i
Po.,-,o<...- or FLuco Co& ~ < J53,>im, C4a+~ /=0mm « J
=
,/0Bm- Jxn# dL/Aa~L g = o
PLU~~fi 3= -~ <a ~O>a »m ~ ~o
~-~~~-~ am" «,=a '
o,3
o41
o,1
-o,1
~~.,,-l..,.~frzb
i<lm-11 £~
i ~.. ~i °l+'--i~S
£~
g .a '
Fig. 4. Comparaison graphique des valeurs du champ magn£tostatique en 2D et en 3D.
[Graphic comparison of the magnetostatic field in 2D and in 3D.]
Nous avons ddveloppd le mod~le de calcul des penes dans les enroulements dans [2] et ne le
ddvelopperons pas davantage ici. Par rapport au calcul des penes dons les enroulements des transformateurs de puissance de type cuirassd, seules les expressions du potentiel vecteur et du
champ magndtique changent.
N° 3 ETUDE MAGNETOSTATIQUE DES REACTANCES CUIRASStES 449
7. Comparaison entre les rdsultats de calcul en 2D et quelques rdsultats de mesures.
Les r6sultats de calcul en 2D issus de l'outil que nous avons ddveloppd et les r6sultats de
mesure sont compards pour une rdactance cuirassde de I lo MVAR et 735 KV/ v5. L'imp6-
dance que nous obtenons h partir de l'dnergie dlectromagndtique est calculde avec une tr~s bonne prdcision.
Tableau I. Impddance calculde et impddance mesurde.
[Calculated and measured reactances.]
Calcul Mesure Ecart relatif
Lw h 60 Hz 656 660 0,2 9b
La comparaison des penes suppldmentaires dans les enroulements est plus d61icate.
On mesure des penes globales et ii n'est pas possible de faire une premi~re sdparation en
penes dans le fer et en penes dans les enroulements comme on le fait pour des transformateurs de puissance.
Nous avons mesur6 les penes totales pour deux r6actances avec des circuits magn6tiques~
identiques mais des enroulements diffdrents.
La spire de la premi~re r6actance est constitu6e de deux couches de un conducteur en
paralmle ces deux couches de conducteurs sont permut6es au niveau des liaisons entre les bobines pour minimiser les penes par courants de circulation.
Dons la seconde r6actance, les deux couches de conducteurs prdc6dentes sont conserv6es.
Cependant, chaque conducteur est subdivis6 en deux brins pour r6duire les penes par courants
de Foucault. Pour annuler les courants de circulation entre ces brins, on r6alise des
transpositions h l'intdrieur des bobines. Nous avons calculd les emplacements de ces
transpositions comme dans [2].
Dans la table ci-dessous, nous pr6sentons les rdsultats des mesures que nous avons
effectudes.
Les deux rdactances dtant identiques sauf en ce qui conceme la structure de leurs bobinages,
la diff6rence des penes totales reprdsente la diffdrence des penes dans les enroulements.
Nous pouvons constater que cette diff6rence est calcu16e avec une bonne prdcision. Ce qui signifie que les penes et les transpositions dans les bobines sont bien calcu16es.
Tableau II. Pertes totales mesurdes et pertes calculdes dans les enroulements.
[Measured total losses and calculated losses in the windings.]
Penes Totales mesurdes Calculdes Ecart relatif
(kW) dans les bobines (kW)
R6actance 287 245
Rdactance 2 238 192
Rdactance I Rdactance 2 49 53 8 9b
8. Conclusion.
Nous avons calcu16 le champ magndtostatique dans les enroulements d'une rdactance cuirass6e
de grande puissance, en 3D et en 2D, en utilisant la m6thode des dldments finis. Nous avons constatd que les rdsultats obtenus sont trbs comparables. Nous avons alors ddveloppd un outil pour le dimensionnement des enroulements des rdactances cuirassdes, bass sur la solution
analytique du champ magndtostatique en 2D. Du point de vue des penes suppldmentaires dons les enroulements et de l'impddance, nous avons obtenu une trbs bonne corrdlation entre les rdsultats de calcul et les rdsultats de mesures sur des rdactances cuirassdes de l10 MVAR,
735 KV/ v5
et les autres rdactances cuirass6es construites ant6rieurement h cette Etude.
Annexe.
Champ magndtostatique dans [es enroulements d'une rkactance cuirassde dans l'approximation
2D plane.
Soit h calculer le champ magn6tostatique dans une coupe en 2D d'une r6actance cuirassde telle que nous l'avons repr6sent6e sur la figure I ou ci-dessous,
+U .~
~
jiK~
ii
X
Fig. 5. Coupe en 2D (ici plan z
=
0) dans une fenEtre de la r£actance cuirass£e.
[2D cross-section (here the plan z = 0 is considered) in the shell-form reactor.]
Les Equations (6), (7) et (8) conduisent h r6soudre : AA
= MD J (9)
oh A et J sont les composantes du potentiel vecteur magn6tique et de la densitd de courant
suivant (Oz). Ce sont les seules composantes non nulles de ces vecteurs dans cette
approximation en 2D ; d'oh l'int6rdt de la r6solution en potentiel vecteur.
Les conditions aux limites que nous avons exprimdes dons le paragraphe 3 conduisent h dcrire :
8A/8x
=
0 pour x =
0 et pour x =
DHF ; 8A/8y
=
0 pour y = DLF.
N° 3 tTUDE MAGNtTOSTATIQUE DES R#ACTANCES CUIRASS#ES 451
On traduit ainsi que le champ magndtique est normal h ces parois.
A=0 pour y=0.
On a ainsi traduit qu'on a une ligne de champ qu'on prend comme origine du potentiel vecteur
magndtique.
Le type de probl~me que nous venons de ddfinir est propice pour la recherche d'une solution
sous la forme d'une sdrie double de Fourier. Compte tenu des symdtries que suggbrent les conditions aux limites essentiellement suivant les axes x
= 0 et y =
0 nous cherchons
une solution sous la forme, A (x, y
= ~ ~ A~~ cos (r~ x) sin ~p~ y (lo)
ik
L'application des conditions aux limites conduit h trouver r; et p~ sous la forme :
r~ = I ar/DHF
(I I) p~ = (2 k + I ) ar/2 DLF
En remplagant A dans (9) par son expression donnde par lo), on trouve que les coefficients A,~ sont donndes h partir de la relation,
~ ~ A~~(r) + p() cos (r, x) sin ~p~y)
= po J (12)
ik
On obtient alors les coefficients A~~ par identification en ddcomposant la densit6 de courant
en s6rie double de Fourier sur le domaine d'6tude.
On obtient : pour k
= 0,
A~k #
2 p
o(£ J(b )(X2 (b Xl (b)) (cos ~pk Y2(b)) cos ~p~ Yl (b)))j/~p( DHF DLF
b
(13>
pour k * 0, A;~
=
4 p
o[zJ(b>(sin (r~ X2 (b sin (r~ Xl (b »> (cos ~p~ Y2(b
b
cos ~p~ Yl (b ))j/[r, p~(r) + p() DHF DLF oh b vane de I au nombre d'dldments conducteurs dons lesquels, on a supposd que la densit6 de
courant J(b) est constante ; et k varient de 0 h l'infini.
L'induction magndtique est d6duite du potentiel vecteur en 2D (lo), h partir de (6). On
obtient par ddrivation tenure h tenure
B~(x, y)
= 8A/8y = ~ ~ A,~ p~ cos (r; x) cos ~p~ y)
'~ (14)
B~(x, y) = 8A/8x
= ~ ~ A;~ r; sin (r, x) sin ~p~ y).
ik
En fixant la limite supdrieure des indices I et k h 35, pour la gdomdtrie d£finie dans les
figures I et 5, l'dcart entre le champ magndtique calculd par un logiciel numdrique par la
mdthode des dldments finis comme FLUX2D et le calcul ddcrit ci-dessus est en moyenne
infdrieur h 19b. En rdalitd, fixer cette limite h 20 est suffisant.
Tableau III. Comparaison entre le calcul par dldments finis et le calcul analytique du champ
en 2D.
[Comparison between the finite element and the analytical calculation of the induction in 2D.]
Quelques points Calcul analytique en 2D Calcul par FLUX2D
de calcul
x (mm) y (mm) (Tesla) (Tesla) A B~ (Tesla) (Tesla) A (Wb/m)
153 0 0,4360 0 0 0,4358 0 0
153 542 0,4194 0,0536 0,2330 0,4243 0,0557 0,2330
153 600 0,3675 0,0726 0,2556 0,3682 0,0765 0,2556
153 650 0,3262 0,0821 0,2733 0,3265 0,0861 0,2733
153 700 0,2855 0,0872 0,2886 0,2852 0,0913 0,2886
243 0 0,4384 0 0 0,4380 0
243 542 0,4463 0,0426 0,2374 0,4500 0,0434 0,2374
243 600 0,3858 0,0526 0,2616 0,3864 0,0541 0,2616
243 650 0,3375 0,0586 0,2800 0,3377 0,0602 0,2800
243 700 0,2974 0,0623 0,2954 0,2907 0,0638 0,2954
Energie 38 041 38 036
magndtostatique (Joules/mbtre)
La mdthode de calcul qui vient d'dtre exposde est gdndrale pour ce type de problbme. Nous
l'appliquons aussi pour le calcul du champ magn6tostatique dans les enroulements d'une phase
de transformateur colonne ou d'inductance colonne sans noyau magndtique.
Dons ces cas, l'6quation (9) doit dtre transcrite et rdsolue en axisymdtrique avec les conditions aux limites approprides.
On obtient dans le cas d'un transformateur, une solution de la forme A (r, z) = ~ ~ A,~Zi
,
(r, r) cos ~p~ z (15)
ik
Et dons le cas d'une inductance, une solution de la forme A(r, z)
= ~ ~ A,~Ji (r, r) cos ~p~ z) (16)
<k
oh Zi, est une combinaison lindaire de fonctions de Bessel de premibre et de seconde esp~ce et d'indice I, et Ji la fonction de Bessel de premibre espbce d'indice 1.
N° 3 ETUDE MAGNETOSTATIQUE DES REACTANCES CUIRASStES 453
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