3 Groupe à 4 éléments (7 points)

Licence Informatique 2 ^e année Informatique théorique II

Examen partiel - 08/11/2006 - 2h00

Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la notation de la qualité de rédaction et de la lisibilité des copies.

1 Ordre sur les relations binaires (7 points)

SoitE un ensemble quelconque non vide etR₁ et R₂ deux relations d’équi- valence sur E. On appelle intersection de R₁ et R₂ la relation binaire sur E notéeR₁∩R₂ définie par∀x,y∈E,x(R₁∩R₂)y⇔xR₁y et xR₂y.

a.Montrer queR₁∩R₂ est une relation d’équivalence sur E.

b.On considère maintenant l’ensemble des relations binaires surE, notéRB^E. On définit sur RB^E la relation ≤ par ∀R,R^′ ∈ RB^E, R ≤ R^′ ⇔ ∀x,y ∈ E, xRy⇒xR^′y. Montrer que ≤est une relation d’ordre surRB^E.

c.Étant données deux relations d’équivalenceR₁ etR₂ définies surE, peut-on ordonner R₁∩R₂, R₁ et R₂ par ≤ (répondre en justifiant et en donnant si possible l’ordre de ces 3 éléments)?

2 Ordre défini par son diagramme (6 points)

Soit l’ordre défini par le diagramme de Hasse suivant :

a e

d g

c h

f i

b

a.Utiliser l’algorithme du tri topologique pour obtenir un ordre total qui étend cet ordre (un ordre total fourni sans le déroulement de l’algorithme ne sera pas pris en compte).

b. Donner les majorants, minorants, minimaux, maximaux, minimums, maxi- mums, sup et inf de :

– 1){a,b,c,d}

– 2){b,e,f,g,h}

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3 Groupe à 4 éléments (7 points)

a. Donner la table de Cayley du groupe Z/4Z muni de la loi +₄ définie par

¯

x+₄y¯=x+¯ y.

b.Donner la table de Cayley du groupeZ/2Z×Z/2Z muni de la loi+^bdéfinie par(¯x,¯y) +b(¯z,¯t) = (¯x+₂z¯,y¯+₂¯t)où+₂est la loi surZ/2Z.

c. Montrer que tout groupe à 4 éléments est isomorphe soit à Z/4Z soit à Z/2Z×Z/2Z.

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Correction

Ordre sur les relations binaires

a. Montrons que R₁∩R₂ est réflexive. ∀x ∈ E, xR₁x et xR₂x (car R₁ et R₂ sont des relations d’équivalences donc réflexives), doncx(R₁∩R₂)xpar définition.

Montrons que R₁∩R₂ est symétrique. ∀x,y ∈ E, x(R₁∩R₂)y ⇒ xR₁y et xR₂y par définition, donc yR₁x et yR₂xpar réflexivité de R₁ et R₂, donc y(R₁∩R₂)xpar définition.

Montrons queR₁∩R₂est transitive.∀a,b,c∈E, sia(R₁∩R₂)betb(R₁∩R₂)c, alors par définitionaR₁b,aR₂b, bR₁c etbR₂c. DoncaR₁c carR₁ est transitive et aR₂ccarR₂ est transitive. Donca(R₁∩R₂)c par définition.

b.Montrons que≤est réflexive.∀R∈RB^E,∀x,y ∈E,xRy ⇒xRy. Donc R≤R.

Montrons que ≤ est anti-symétrique.∀R,R^′ ∈RB^E, telles que R ≤ R^′ et R^′ ≤R, ∀x,y ∈E, xRy ⇒ xR^′y et xR^′y ⇒xRy. Donc xRy ⇔xR^′y et donc R=R^′.

Montrons que ≤ est transitive. ∀R,R^′,R^′′ ∈ RB^E, telles que R ≤ R^′ et R^′ ≤R^′′, ∀x,y ∈E, xRy⇒xR^′y et xR^′y⇒xR^′′y. DoncxRy ⇒xR^′′y. Donc R≤R^′′.

c.∀x,y∈E,x(R₁∩R₂)y⇒xR₁yetxR₂ydoncR₁∩R₂≤R₁etR₁∩R₂≤ R₂.

Ordre défini par son diagramme

b.

– 1) c est majorant, maximal et maximum, pas de minorant, a et d sont minimaux, pas de minimum, c est sup et pas de inf.

– 2) pas de majorant, pas de minorant, e et h sont maximaux, b et f sont minimaux, pas de minimum, pas de maximum, pas de sup, pas de inf.

Groupe à 4 éléments

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c. Soit (0,a,b,c,+) un groupe à 4 éléments. a+b = b est impossible sinon a = 0 (en additionnant à droite par l’opposé de b). a+b =a est impossible sinon b = 0(en additionnant à gauche par l’opposé de a). Donc a+b =c ou a+b = 0. De mêmeb+a =c ou b+a = 0. a+c = c est impossible sinon a = 0 (en additionnant à droite par l’opposé de c). a+c =a est impossible sinon c = 0(en additionnant à gauche par l’opposé de a). Donc a+c =b ou a+c= 0. De mêmec+a=bouc+a= 0.b+c=cest impossible sinonb= 0 (en additionnant à droite par l’opposé dec).b+c=best impossible sinonc= 0 (en additionnant à gauche par l’opposé deb). Doncb+c=aoub+c= 0. De mêmec+b=aouc+b= 0.

Si l’opposé dea estc, alors l’opposé de b ne peut être que b, donc a+c= c+a= 0,b+c=c+b=aet a+b=b+a=c. On est alors dans un groupe isomorphe à Z/4Z par le morphisme f tel quef(0) = 0, f(1) =a, f(2) =b et f(3) = c. Si l’opposé de a est b, on intervertit b et c et on toujours un groupe isomorphe àZ/4Z. Si l’opposé deaestaet si l’opposé deb estc, et en intervertissantaet b, on se ramène au premier cas. Finalement, si l’opposé de aestaet si l’opposé deb estb, l’opposé dec est forcémentcet alors le groupe est isomorphe àZ/2Z×Z/2Z, en intervertissant au besoin lesa,bet c.

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