3 Centre d’un groupe (6 points)

Licence Informatique 2 ^e année Informatique théorique II

Examen partiel - 09/11/2005 - 2h00

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1 Ordre lexicographique (6 points)

SoitA un alphabet (ensemble fini de symboles) sur lequel existe un ordre total≤. SurA×A, on définit la relationpar(x,y)(x^′,y^′)⇐⇒((x≤x^′ et x6=x^′)ou(x=x^′ ety≤y^′)).

a. Montrer queest une relation d’ordre surA×A. On l’appelle l’ordre lexi- cographique.

b. Soit P une partie non vide de A×A. P possède t-elle un minimum? En déduire si l’ordre lexicographique est total, bien fondé et si c’est un bon ordre.

(réponses à justifier)

2 Ordre défini par son diagramme (8 points)

Soit l’ordre défini par le diagramme de Hasse suivant : A

B C D

E

F

a.Utiliser l’algorithme du tri topologique pour obtenir un ordre total qui étend cet ordre (un ordre total fourni sans le déroulement de l’algorithme ne sera pas pris en compte). Combien d’ordres totaux étendant cet ordre peut-on construire?

b. Donner les majorants, minorants, minimaux, maximaux, minimums, maxi- mums, sup et inf de :

– 1){b,c,d}

– 2){c,d,f}

c. Cet ordre est-il un treillis? (à justifier)

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3 Centre d’un groupe (6 points)

On appelle centre d’un groupe (G,.) l’ensemble Z(G) = {x ∈ G tel que

∀y ∈G,x.y=y.x}.

a. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G. Que dire de Z(G) si G est abélien?

b. Montrer que Z(G) est distingué dans G. En déduire (en le justifiant) que G/Z(G)est un groupe.

c. Déterminer le centre du groupeS3des permutations de 3 éléments.

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Correction

Ordre lexicographique

a. Montrons que est réflexive. ∀(x,y) ∈ A×A, x = x et y ≤ y donc (x,y)(x,y).

Montrons queest anti-symétrique. Pourx,y,x^′,y^′∈A, supposons(x,y) (x^′,y^′)et (x^′,y^′) (x,y). Si x6=x^′, x≤x^′ et x^′ ≤xdonc, ≤étant un ordre, x =x^′. Donc xest forcément égal à x^′. Dans ce cas, y ≤y^′ et y^′ ≤ y. Or ≤ étant un ordre est anti-symétrique donc on en conclut quey=y^′. Ce qui prouve l’anti-symétrie de.

Montrons queest transitive. Poura,b,c,d,e,f∈A, supposons(a,b)(c,d) et (c,d)(e,f).

– Premier cas :a=c. Alors b≤d. Si c=e, alors d≤f et alorsb≤f par transitivité de≤. Donc on aa=eetb≤f donc on a bien(a,b)(e,f).

Si par contrec6=e, on a c≤edonca≤eet donc aussi(a,b)(e,f).

– Deuxième cas :a 6=c. Alors a≤ c. Si c = e, alorsa 6= eet a ≤e donc on a bien (a,b)(e,f). Si par contre c 6=e, on ac ≤ edonc a≤e par transitivité de≤et donc aussi(a,b)(e,f).

b.Le minimum dePest(n,m)oùn=min{x∈A|∃y∈Atel que(x,y)∈P}

etm=min{y∈A|∃x∈Atel que(x,y)∈P}. Donc toute partie non vide admet un minimum et donc est un bon ordre. Par le théorème 5 du cours, on en déduit que l’ordre est total et bien fondé.

Ordre défini par son diagramme

a.Il existe 6 ordres totaux étendant l’ordre donné : {FEBCDA}, {FEBDCA}, {FECBDA}, {FECDBA}, {FEDBCA}, {FEDCBA}.

b.

– 1) A est majorant, E et F sont minorants, B,C et D sont maximaux et minimaux, il n’y a ni maximum ni minimum, A est sup et E est inf.

– 2) A est majorant, F est minorant, C et D sont maximaux, F est minimal, F est minimum, il n’y a pas de maximum, A est sup et F est inf.

c.Oui, c’est un treillis, en dehors des couples ordonnés d’éléments, qui ont forcément un inf et un sup, les couples {B,C}, {B,D} et {C,D} ont pour inf E et pour sup A.

Centre d’un groupe

a. Si x et y sont dans Z(G), et si z ∈ G, (x.y).z = x.(y.z) = x.(z.y) = (x.z).y = (z.x).y =z.(x.y). Donc le produit x.y de deux éléments deZ(G)est dansZ(G). Six∈Z(G)et y ∈G, x⁻¹.y.x=x⁻¹.x.y=y donc x⁻¹.y =y.x⁻¹ en multipliant à droite parx⁻¹. Donc l’inverse d’un élémentxdeZ(G)est dans Z(G).Z(G)est donc bien un sous-groupe deG. SiGest abélien,Z(G) =G.

b.Six∈Z(G)et y,z∈G, (y.x.y⁻¹).z= (x.y.y⁻¹).z=x.z etz.(y.x.y⁻¹) = z.(x.y.y⁻¹) = z.x = x.z donc(y.x.y⁻¹).z =z.(y.x.y⁻¹). La conjugaison d’un

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élément deZ(G)et d’un élément deGest dansZ(G)aussi, doncZ(G)est bien distingué dansG.

c.Z(S³) ={σ¹²³}

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