Sur des aspects alg´ebriques et combinatoires de l’Analyse Relationnelle

(1)

Sur des aspects alg´ ebriques et combinatoires de l’Analyse Relationnelle

Applications en classification automatique, en th´eorie du choix social et en th´eorie des tresses

Julien Ah-Pine

Thales Communications/CeNTAI - UPMC/LSTA 26 Octobre 2007

Julien Ah-Pine (Thales Com. & LSTA) 26 Octobre 2007 1 / 57

(2)

Motivations du travail de recherche pr´esent´e

L’Analyse Relationnelle (AR) est une théorie qui s’intéresse aux relations binaires selon une approche particulière définie intialement par J.F.

Marcotorchino et P. Michaud.

La notion algébrique de relations binaires est présente dans beaucoup de branches mathématiques aussi diverses les unes que les autres. L’Analyse Relationnelle présente dans ce contexte des caractéristiques qui lui permettent de couvrir de nombreux domaines.

Elle permet des résultats d’unification, desmodélisations originales de problèmes divers en s’appuyant sur une approche pluri-disciplinaire.

Nous avons cherché à participer à l’effort de développement de cette théorie en apportant denouveaux outils tels que l’algèbre des relations binaires, ce qui nous a permis d’une part, de contribuer à des axes de recherche existants de l’AR tels que la classification automatique ; d’autres part, d’élargir ses champs d’applicationstelle que la théorie des tresses.

(3)

Sommaire

1 Rappels

2 R´esultats d’unification

... sur certains indices de similarité ... sur certains critères d’association ... entre différentes structures

3 Sur des aspects combinatoires de l’AR

... dans le cadre de l’agr´egation de relations ... dans le cadre de la th´eorie du choix social

4 Sur des probl`emes d’optimisation dans des structures alg´ebriques en exploitant l’AR

...le probl`eme de classification automatique

...le probl`eme de la tresse minimale en th´eorie des tresses

5 Perspectives de recherche

(4)

Sommaire

1 Rappels

(5)

L’Analyse Relationnelle (AR)

Etude des relations binairesen général : de leur agrégation, de leurs mesures d’association, de leur résumé...

L’approche présentée ici est celle développée initialement par J.F.

Marcotorchino et P. Michaud Particularit´es de l’approche :

I s’inspire des travaux deCondorcet

I approche pluri-disciplinaire(th´eorie des graphes, logique, statistiques, optimisation)

I repr´esentation des relations binaires sous forme dematrices binaires de comparaisons par paires

I recherche de consensus par optimisation enprogrammation lin´eaireen nombres bivalents 0/1

Principaux domaines d’application :

I Analyse de donn´ees, classification automatique, crit`eres d’association...

I Aide multicritère à la décision, théorie des votes...

(6)

Matrices binaires relationnelles de comparaisons par paires

Unerelation binaireRsur un ensemble d’objetsOest le sous ensemble des couples de O×Otel queOⁱ est en relation avecOⁱ⁰ ce qui s’´ecritOⁱROⁱ⁰. Une matrice relationnelleC repr´esentative deRest telle que :

C_ii⁰ =

1 siOⁱROⁱ⁰ 0 sinon

Nous avons par exemple les diff´erents cas suivants :

relation d’´equivalence relation d’ordre {O¹≡O²};{O³ ≡O⁴} O¹ ≤O² ≤O⁴≤O³

C =







O¹ O² O³ O⁴

O¹ 1 1 0 0

O² 1 1 0 0

O³ 0 0 1 1

O⁴ 0 0 1 1





 C =







O¹ O² O³ O⁴

O¹ 1 1 1 1

O² 0 1 1 1

O³ 0 0 1 0

O⁴ 0 0 1 1







(7)

Agr´egation de relations et Crit`ere de Condorcet

M relations binairesR^k;k= 1, . . . ,M du même type (équivalence ou ordre) → une relation consensuelle ?En AR le procédé consiste à :

1 Pour chaque relation R^k, calculer sa matrice relationnelle C^k

2 Agr´egation des relations par sommation de leurs matrices relationnelles → matrices relationnelles collectives :

C=PM

k=1C^k etC=PM

k=1C^k o`u C^k_ii⁰ = 1−C_ii^k0 3 Maximiser enX le crit`ere de Condorcet suivant :

Condorcet(C,X) =

N

X

i,i⁰=1

C_ii⁰X_ii⁰

| {z }

Accords positifs

+

N

X

i,i⁰=1

C_ii⁰X_ii⁰

| {z }

Accords n´egatifs

Propri´et´e du codage relationnel :

le crit`ere de Condorcet est lin´eaire en X

propriétés relationnelles = contraintes linéaires en X

(8)

Mod`eles de programmation lin´eaire en nombres bivalents

→ la relation consensuelleX peut ˆetre obtenue par programmation lin´eaire en nombres bivalents !

maxX Condorcet(C,X) sous les contraintes:

SiX est une relation d’´equivalence:











X_ii⁰ ∈ {0,1} (binarité) X_ii = 1 ∀i = 1, . . . ,N (réflexivité) X_i⁰_i =X_ii⁰ ∀i,i⁰= 1, . . . ,N (symétrie) X_ii⁰+X_i⁰_i⁰⁰−X_ii⁰⁰ ≤1 ∀i,i⁰,i⁰⁰= 1, . . . ,N (transitivité) SiX est une relation d’ordre strict:











Xii⁰ ∈ {0,1} (binarité) X_ii⁰+X_i⁰_i ≤1 ∀i,i⁰= 1, . . . ,N :i 6=i⁰ (asymétrie) X_ii⁰+X_i⁰_i ≥1 ∀i,i⁰= 1, . . . ,N :i 6=i⁰ (totalité) Xii⁰+Xi⁰i⁰⁰−Xii⁰⁰ ≤1 ∀i,i⁰,i⁰⁰= 1, . . . ,N (transitivité)

(9)

Sommaire

1 Rappels

(10)

Indices de similarit´e entre vecteurs binaires Exemple de deux vecteurs binaires :

( O~ⁱ = 11011001 O~ⁱ⁰ = 10111000 Quelques indices de similarit´e entre vecteurs binaires :

Dice(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) = ¹¹ⁱⁱ⁰

11_ii0+¹₂(10_ii0+01_ii0)

Jaccard(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) = ₁₁ ¹¹ⁱⁱ⁰

ii0+10_ii0+01_ii0

Ochiai(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) = √ ¹¹ⁱⁱ⁰

(11_ii0+10_ii0)(11_ii0+01_ii0)

Kulczynski(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) =¹₂ ₁₁

ii0

11_ii0+10_ii0 +₁₁¹¹ⁱⁱ⁰

ii0+01_ii0

D´efinition “logique” de ces indices qui utilisent les quantit´es suivantes : 11ii⁰ est le nb de 1 en commun entre les deux vecteurs (accords positifs)

00_ii⁰ est le nb de 0 en commun entre les deux vecteurs (accords n´egatifs)

10_ii⁰+ 01_ii⁰ est le nb de d´esaccords entre les deux vecteurs

(11)

Interprétations géométriques et extensions (1/3)

Existe t-il une interprétation géométrique de ces indices “logiques” ? Acc./désacc. Produit scalaire Interprétation

11_ii⁰ = hO~ⁱ, ~Oⁱ⁰i Produit scalaire euclidien 10_ii⁰ = hO~ⁱ, ~Oⁱ −O~ⁱ⁰i Dist. relative de O~ⁱ àO~ⁱ⁰ 01_ii⁰ = hO~ⁱ⁰, ~Oⁱ⁰ −O~ⁱi Dist. relative de O~ⁱ⁰ àO~ⁱ 10_ii⁰+ 01_ii⁰ = ||O~ⁱ−O~ⁱ⁰||² Dist. euclidienne 10_ii⁰+ 11_ii⁰ = ||O~ⁱ||² Norme au carré de O~ⁱ 11ii⁰+ 01ii⁰ = ||O~ⁱ⁰||² Norme au carré de O~ⁱ⁰ Définition (Indice de similarité d’ordre t >0)

S^t_ii⁰ = hO~ⁱ, ~Oⁱ⁰i M^t(||O~ⁱ||²,||O~ⁱ⁰||²) o`uM^t(a,b) = ¹₂(a^t+b^t)¹^t

(12)

Interprétations géométriques et extensions (2/3) Propriétés :

Dice(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) =S¹_ii0 (t= 1⇒ M^t =Moyenne arithmétique) Ochiai(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) = limt→0S^t_ii0 (t→0⇒ M^t=Moyenne géométrique)

Kulczynski(O~ⁱ, ~Oⁱ⁰) =S⁻¹_ii0 (t =−1⇒ M^t =Moyenne harmonique)

Interprétation géométrique en terme de cosinus et de rapport des normes

→ extension `a des vecteurs non binaires

Propriété (Définition en fonction du cosinus et des rapports des normes) S^t_ii⁰ = θii⁰

M^t(γ_iⁱ⁰, γⁱ_i0) o`uθ_ii⁰ = cos(O\~ⁱO~ⁱ⁰),γ_iⁱ⁰ = ^||^O^~ⁱ

0||

||O~ⁱ|| et γⁱ_i0 = ^||^O^~ⁱ^||

||O~ⁱ⁰||

(13)

Interprétations géométriques et extensions (3/3)

Interprétation géométrique en terme de coefficients de colinéarité Propriété (Définition en fonction des coefficients de colinéarité)

S^t_ii⁰ =M^−t(P_O_~i0(O~ⁱ),P_O_~i(O~ⁱ⁰)) où P_O_~i0(O~ⁱ) = ^hÔ^~ⁱ^,~Ôⁱ

0i

hO~ⁱ⁰,~Oⁱ⁰i et P_O_~i(O~ⁱ⁰) = ^h^O^~ⁱ^,~^Oⁱ

0i

hO~ⁱ,~Oⁱi (rappel et pr´ecision)

(14)

Mesures d’association entre relations d’´equivalence ou partitions Exemples de deux partitions :

8

>>

<

>>

:

V^k =

„ O¹ O² O³ O⁴

marron marron bleu bleu

«

V^l =

„O¹ O² O³ O⁴

brun brun brun blond

«

Quelques mesures d’association entre partitions : Belson(V^k,V^l) =P

u,v n_uv −ⁿ^u._Nⁿ^.v2

Rand(V^k,V^l) = ²

P

u,vn²_uv−P

un²_u.−P

vn²_.v+N² N²

JV(V^k,V^l) = ^p^k^p^l

P

u,vn²_uv−p_kP

un²_u.−p_lP

vn²_.v+N² q

(^pk(p_k−2)P

un²_u.+N²)(^pl(p_l−2)P

vn²_.v+N²) χ²_T(V^k,V^l) =

P

u,v 1

nu.n.v(ⁿuv−^nu.n.v

N )²

√

(pk−1)(p_l−1)

Tableau contingentiel entre V^k etV^l :

n_uv = nb d’objets ayant la modalit´e u deV^k et la modalit´e v de V^l nu.=P

vnuv = nb total d’objets ayant la modalit´e u deV^k p_k = nb de modalit´es de la variable V^k

N =n_..= nb total d’objets

(15)

Formules de passage contingentiel / relationnel

Quelles sont les diff´erences majeures entre ces diff´erentes mesures d’association ?

Formule de passage entre codage contingentiel et codage relationnel [Kendall(1970)] et [Marcotorchino(1984)] :

Contingence ↔ Relationnel Ppk

u=1

Ppl

v=1(n^kl_uv)² = PN i=1

PN

i⁰=1C_ii^k0C_ii^l0

P

u(n^kl_u.)² = P

i,i⁰C_ii^k0

P

v(n^kl_.v)² = P

i,i⁰C_ii^l0

P

u,v (n^kl_uv)²

n^kl_u.n^kl_.v = P

i,i⁰ C_ii^k0C_ii^l0

C_i^k_.C_i.^l

P

u,vn^kl_uvn^kl_u.n^kl_.v = P

i,i⁰ C_i.^k+C_.i^k0

2 C_ii^l0

Permiers résultats d’unification obtenus par [Marcotorchino(1984)] et [Idrissi(2000)]. Notre contribution : représentation synthétique, davantage géométrique et ajout des coefficients de Jordan et de Belson dans ce formalisme.

(16)

Unification d’un certain nombres de mesures d’association

L’expression relationnelle de certains crit`eres d’association permet de les unifier sous le formalisme suivant :

Propri´et´e (Unification d’un certain nombres de mesures d’association)

∆(C^k,C^l,f, µ^k, µ^l) =

P

i,i⁰ f(C_ii^k0)−µ^k

f(C_ii^l0)−µ^l q

P

i,i⁰ f(C_ii^k0)−µ^k2P

i,i⁰ f(C_ii^l0)−µ^l2

Les différences majeures entre plusieurs critères d’association s’expriment selon 3 paramètres (f, µ^k, µ^l)

(17)

Tableau synth´etique des r´esultats d’unifications

f(C_ii0) µ^k µ^l Critère apparenté Relation avec le critère apparenté f(C_ii0) = 0 0 Critère de Belson Le critère de Belson Cii⁰−^Cî.^+C_N^.i⁰ +^C_N^..2 correspond au numéra-

(Transformation -teur du coefficient

de Torgerson)

f(C_ii0) =C_ii0 1/2 1/2 Crit`ere de Rand 2Rand(C^k,C^l)−1 f(Cii⁰) =Cii⁰ 1/pk 1/pl Crit`ere de Janson JV(C^k,C^l)

et Vegelius

f(C_ii0) =C_ii0 C_..^k/N² C_..^l/N² Critère de Lerman, Tetra(C^k,C^l) Critère d’écart

carré à l’indépen- -dance, et coeffi- -cient tétrachorique

f(C_ii0) =C_ii0/Ci. 1/N 1/N Crit`ere du Chi-deux χ²_T(C^k,C^l) Tchuprow

f(Cii⁰) =Cii⁰ C_i.^k/N C_i.^l/N Critère de Jordan Le critère de Jordan correspond au numéra-

-teur du coefficient

`

a un facteur pr`es

(18)

Exemples de cas particuliers

Formulation g´en´erale :

∆(C^k,C^l,f,µ^k, µ^l) =

P

i,i0(^f^(C_ii^k0)−µ^k)(^f^(C_ii^l0)−µ^l)

q P

i,i0(^f^(C_ii^k0)−µ^k)²^Pi,i0(^f^(C_ii^l0)−µ^l)²

Cas particuliers :

∆(C^k,C^l,Id,1/2,1/2) =

P

i,i0(^C_ii^k0−1/2)(^C_ii^l0−1/2)

q P

i,i0(^C_ii^k0−1/2)²^Pi,i0(^C_ii^l0−1/2)²

= 2Rand(C^k,C^l)−1

∆(C^k,C^l,Id,C_i.^k/N,C_i.^l/N) =

P

i,i0(^C_ii^k0−C_i.^k/N)(^C_ii^l0−C_i.^l/N)

q P

i,i0(^C_ii^k0−C_i.^k/N)²^Pi,i0(^C_ii^l0−C_i.^l/N)²

= Jordan(C^k,C^l)

(19)

Exemples de cas particuliers

Formulation g´en´erale :

∆(C^k,C^l,f,µ^k, µ^l) =

P

i,i0(^f^(C_ii^k0)−µ^k)(^f^(C_ii^l0)−µ^l)

q P

i,i0(^f^(C_ii^k0)−µ^k)²^Pi,i0(^f^(C_ii^l0)−µ^l)²

Cas particuliers :

∆(C^k,C^l,Tor,0,0) =

P

i,i0 C_ii0−^{C k}^i.^{+C k}_N^.i⁰+^{C k}^..

N2

!

C_ii0−^{C l}ⁱ^.^{+C l}_N^.i⁰+^{C l}^..

N2

!

v u u tP

i,i0 C^k

ii0−^Ci.^{+C k}^.i⁰

N +^{C k}^..

N2

!2

P

i,i0 C_ii0−^{C l}^i.^{+C l}^.i⁰

N +^{C l}^..

N2

!2

= Belson(C^k,C^l) (num´erateur)

(20)

Mesures d’association entre relations d’ordre ou classements Exemples de deux classements :

8

>>

<

>>

:

V^k =

„O¹ O² O³ O⁴

1 2 4 3

«

V^l =

„O¹ O² O³ O⁴

2 1 4 3

«

Quelques mesures d’association entre classements : GK(V^k,V^l) = ^Conc(V_Conc(V^kk^,V,V^l^l^)−Disc(V)+Disc(V^k^k^,V,V^l^l⁾)

Kendall(V^k,V^l) = q ^Conc(V^k^,V^l^)−Disc(V^k^,V^l⁾

(^N(N−1)2 −Tie(V^k))(^N(N−1)2 −Tie(V^l)) Somers(V^k,V^l) = ^Conc(VN(N−1)^k^,V^l^)−Disc(V^k^,V^l⁾

2 −Tie(V^k)

Kim(V^k,V^l) = ^Conc(V_N(N−1)^k^,V^l^)−Disc(V^k^,V^l⁾

2 −^{Tie(V k}^{)+Tie(V l)}

2

Nb de concordances et de discordances entre V^k etV^l : Conc(V^k,V^l) = nb de paires d’objets concordantes Disc(V^k,V^l) = nb de paires d’objets discordantes Tie(V^k) = nb de paires en (ex-aequos) pourV^k.

(21)

Nouvelles formules de passage concordance / relationnel

La question de l’´ecriture relationnelle de ces mesures d’association entre classements ?

Premiers résultats donnés par [Ghashghaie(1990)]. Notre contribution : nouvelles formules de passage davantages symétriques

interprétation du dual d’un ordre strict dans le cadre de l’algèbre des relations binaires:converse ˘C (ou transposée) de C où ˘C_ii⁰ =C_i⁰_i

Concordance ⇔ Relationnel Conc(C^k,C^l)−Disc(C^k,C^l) = ¹₂PN

i,i⁰=1

C_ii^k0−C˘_ii^k0 C_ii^l0−C˘_ii^l0

Conc(C^k,C^l) +Disc(C^k,C^l) = ¹₂P

i,i⁰

C^k_ii⁰+ ˘C^k_ii⁰ C^l_ii⁰ + ˘C^l_ii⁰

Tie(C^k) = ^N(N−1)₂ −¹₂P

i,i⁰

C_ii^k0−C˘_ii^k0

2

o`u C^k_ii⁰ = 1−C_ii^k0 et C˘_ii^k0 =C_i^k0i

(22)

Nouvelles ´ecritures relationnelles des mesures d’association

Nouvelles ´ecritures relationnelles : GK(C^k,C^l) =

P

i,i0

(

^C_ii^k0−C˘_ii^k₀

)(

^C_ii^l0−C˘_ii^l₀

)

P

i,i0

C^k_ii0+ ˘C

k ii0

C^l_ii0+ ˘C

l ii0

Kendall(C^k,C^l) =

P

i,i0

(

^Cii^k0−C˘_ii^k₀

)(

^Cii^l0−C˘_ii^l₀

)

q P

i,i0

(

)

²^Pi,i0

(

)

²

Somers(C^k,C^l) =

P

i,i0

(

)(

)

P

i,i0

(

)

²

Kim(C^k,C^l) =

P

i,i0

(

)(

)

1 2

P

i,i0

(

)

²⁺^Pi,i0

(

)

²

(23)

Ind´ependance statistique versus Ind´etermination [Marcotorchino(1984)]

V^k et V^l deux variables qualitatives :

Ind´ependance statistique→ mod`ele multiplicatif : V^k ⊥_S V^l

⇔P

u,v

n^kl_uv −ⁿ^kl^u._Nⁿ^kl^.v2

= 0

⇔P

i,i⁰C_ii^k0C_ii^l0×P

i,i⁰C^k_ii⁰C^l_ii⁰ =P

i,i⁰C_ii^k0C^l_ii⁰×P

i,i⁰C^k_ii⁰C_ii^l0

⇔11kl×00_kl = 10kl×01_kl Ind´etermination→ mod`ele additif :

V^k ⊥_L V^l

⇔P

i,i⁰C_ii^k0C_ii^l0+P

i,i⁰C_ii^k0C^l_ii⁰+P

⇔11_kl +00_kl = 10_kl +01_kl

(24)

Ind´etermination entre relations d’´equivalence et entre relations d’ordre

Dans le formalisme relationnel, le concept d’ind´etermination est commun aux relations d’´equivalence et aux relations d’ordre

Cas des relations d’´equivalence (variables qualitatives) : V^k ⊥_L V^l

⇔P

i,i⁰C_ii^k0C^l_ii⁰+P

Cas des relations d’ordre (variables ordonn´ees) : V^k ⊥_L V^l

⇔P

i,i⁰C˘_ii^k0C˘_ii^l0 =P

i,i⁰C_ii^k0C˘_ii^l0+P

i,i⁰C˘_ii^k0C_ii^l0

Unification permise en considérant les points de vue algébriques suivants : Pour des relations d’équivalence le dual deC est le complémentaireC Pour des relations d’ordre, nous prenons comme dual de C,sa converse ˘C (et non son complémentaire)

(25)

Crit`eres d’association et indices de similarit´e d’ordre t

Matrices relationnelles = tenseurs dans l’espace de base canonique {e_i⊗e_i⁰;i,i⁰= 1, . . . ,N}

Exemples dans le cas des ordres :

Kendall(C^k,C^l) = Ochiai(C~^k −C~˘^k, ~C^l −C~˘^l)

= ^hC^k⁻^C^˘^k^,C^l⁻^C^˘^lⁱ

M^t^→0(hC^k−C˘^k,C^k−C˘^ki,hC^l−C˘^l,C^l−C˘^li)

Kim(C^k,C^l) = Dice(~C^k −C~˘^k, ~C^l−C~˘^l)

= ^hC^k⁻^C^˘^k^,C^l⁻^C^˘^lⁱ

M¹(hC^k−C˘^k,C^k−C˘^ki,hC^l−C˘^l,C^l−C˘^li)

Somers(C^k,C^l) = P

(C~^k−~C˘^k)(C~^l−~C˘^l)

= ^hC^k⁻^C^˘^k^,C^l⁻^C^˘^lⁱ

hC^k−C˘^k,C^k−C˘^ki

o`uhC^k,C^li=P

i,i⁰C_ii^k0C_ii^l0 =Trace(^tC^k.C^l) =produit scalaire de Frobenius

(26)

Sommaire

1 Rappels

(27)

Mesure consensuelle à une majorité donnée

M matrices relationnelles pour lesquelles :

C_ii^k⁰ =µ(OⁱR^kOⁱ⁰) = mesure comprise entre 0et1

de (l’“intensit´e”) la relation entre Oⁱ etOⁱ⁰ Quelle est la mesure consensuelle qu’il y aitm (compris entre 0 etM) relations qui supportent la relation entre Oⁱ et Oi⁰?

Exemple :

Variables C_ii¹0 C_ii²0 C_ii³0 C_ii⁴0

Probabilit´e 0.9 0.8 0.7 0

Si on suppose que les variables sont mutuellement ind´ependantes, nous avons :

Majorit´e m 4 3 2 1

[E_m^M]_ii⁰ 0.000 0.504 0.902 0.994 E_m^M est appel´eeenveloppe de Condorcet d’ordrem.

(28)

Expression arithm´etique de l’enveloppe de Condorcet

Enveloppe de Condorcet = combinaison lin´eaire des matrices relationnelles suivantes :

D´efinition (Somme de matrices d’intersection) S_k^M =P

1≤i1<i2<...<ik≤M Cⁱ¹⊗Cⁱ²⊗. . .⊗Cⁱ^k

∀k = 1, . . . ,M o`u⊗ est un op´erateur de conjonction ou encore “t-norms”.

Par exemple, pour M = 4 et k = 3, nous avons :

S₃⁴ =C¹⊗C²⊗C³+C¹⊗C²⊗C⁴+C¹⊗C³⊗C⁴+C²⊗C³⊗C⁴. Par ailleurs :E₃⁴ =α^3,4₃ S₃⁴−α^3,4₄ S₄⁴ =1×S₃⁴−2×S₄⁴

Propriété (Expression arithmétique de l’enveloppe de Condorcet) E_m^M =PM

k=mα^m,M_k S_k^M

Les coefficients de la combinaison lin´eaire sont donn´es par l’inversion du triangle de Pascal.

(29)

Diff´erentes formulations combinatoires des coefficients α_k^m,M

Propriété (Expression simplifiée des coefficients α^m,M_k en fonction des coefficients binomiaux (expression donnée par Ch. Jordan))

α^m,M_k = (−1)^{k−m k}_m−1⁻¹

∀k =m, . . . ,M

Propriété (Expression en fonction des coefficients binomiaux négatifs) α^m,M_k = _k−m^−m

∀k =m, . . . ,M Nous avons donc :

E_m^M =PM k=m

−m k−m

S_k^M = PM−m k=0

−m k

S_m+k^M Formulation qui rappelle celle du binˆome de Newton : (1 +s)^−m= P∞

k=0

−m k

s^−(m+k)

(30)

Théorème d’impossibilité d’Arrow

D´efinition (Axiomes d’Arrow)

axiome d’universalité (chaque votant a la possibilité d’exprimer tout type de préférence)

axiome de non dictature

axiome de Pareto par paires (condition d’unanimit´e)

axiome d’indépendance (vis à vis des situations non pertinentes) axiome de transitivité (la relation collective doit être transitive afin d’éviter les effets Condorcet)

Théorème (Théorème d’Arrow (1951))

Si le nombre de votants M est supérieur où égal à 2 et si le nombre de candidats N est supérieur ou égal à 3, alors il n’existe pas de règle d’agrégation dont le résultat vérifie simultanément les cinq axiomes présentés précédemment.

(31)

Conditions de restriction de domaines Relaxation de la condition d’universalit´e

Conditions existantes : conditions de Black, d’Inada, de Sen, de Chichilnisky et Heal.

(32)

Matrices relationnelles et dio¨ıde (ZM,max,min)

Règle majoritaire simple : Oⁱ est préférée àOⁱ⁰ s’il y a plus de voix qui préfèrent Oⁱ àOⁱ⁰ que l’inverse.

Nous consid´erons de ce fait la matrice de comparaisons par paires suivante :

Cii⁰ =

PM

k=1C_ii^k0−PM

k=1C_i^k0i ∀i 6=i⁰ M ∀i =i⁰

Nous nous pla¸cons dans le cadre d’undio¨ıde dont : les ´el´ements appartiennent aux relatifs

{−M,−M+ 1, . . . ,−1,0,1, . . . ,M−1,M}

l’addition est remplacée par l’opération max, dans ce cas l’élément neutre relatif estM

la multiplication est remplacée par l’opération min, dans ce cas l’élément neutre relatif est−M

(33)

Opérateurs (matriciels) considérés et issus de l’algèbres des relations binaires

multiplication relative(multiplication matricielle ne prenant pas en compte tout ´el´ement de la diagonale) :

[C^∗C⁰]_ii⁰ = max_i⁰⁰_:i⁰⁰_6=i∨i⁰⁰_6=i⁰ min(C_ii⁰⁰,C⁰_i00i⁰)

addition relative(similaire à une multiplication relative mais avec les opérateurs max et min inversés) :

[C]^∗C⁰]_ii⁰ = min_i⁰⁰_:i⁰⁰6=i∨i⁰⁰6=i⁰ max(C_ii⁰⁰,C⁰_i00i⁰) opérateursTraceassociés à une opération max ou min :

Tracemax(C) =max^N

i=1 Cii Tracemin(C) =

N

mini=1 Cii

Permanent(ne prenant pas en compte la permutation neutre donn´ee par la diagonale) :

Perm^∗(C) = maxπ∈SN:π6=π min^N_i=1C_i,π(i)

(34)

Conditions nécessaires et suffisantes relatives aux propriétés relationnelles

Propriété (CNS relatives à l’asymétrie)

Tracemax(C^∗C)<0 ⇔ la relation agrégée est asymétrique Propriété (CNS relatives à la totalité)

Tracemin(C]^∗C)≥0 ⇔ la relation agrégée est totale Propriété (CNS relatives à l’acyclicité)

Perm^∗(C)<0 ⇔ la relation est acyclique

(35)

Conditions nécessaires et suffisantes relatives à la transitivité

Propriété (CNS relatives à la transitivité)

min(C^∗C,UN)max(C,−U_N) ⇔ la relation agrégée est transitive où U_N est la matrice carrée de dimension N remplie de0,−U_N celle remplie de−1 et où deux matricesC et C⁰ sont telles que CC⁰ si et seulement si [C]_ii⁰ ≤[C⁰]_ii⁰ ∀i,i⁰ = 1, . . . ,N.

(36)

Exemple d’application

C =







O¹ O² O³ O⁴

O¹ 5 1 1 3

O² −1 5 −1 1

O³ −1 1 5 1

O⁴ −3 −1 −1 5







Trace_max(C^∗C) =−1<0⇔ Asym´etrie

Tracemin(C]^∗C) = 1≥0⇔Totalit´e Perm^∗(C) =−1<0⇔ Acyclicit´e (C^∗C)⊗U_N

⊆[C⊕(−U_N)]⇔ Transitivit´e

(37)

Sommaire

1 Rappels

(38)

Insuffisance des op´erations sous-jacentes aux algorithmes k-means

L’algorithme des k-means utilise basiquement des

op´erations de transfert entre objets

qui consistent `a transf´erer un objet dans la classe d’un

autre objet.