Master 1, Optimisation convexe et probl` emes inverses
Feuille de TD sur les outils alg´ ebriques de l’optimisation
Exercice 1 Etant donn´ ´ es :
A =
−2 3
1 −2
1 −1
b =
1
−1 2
(1) V´ erifier que le syst` eme Ax = b, x ∈ R
2, n’est pas r´ esoluble (motiver la r´ eponse) ; (2) D´ eterminer la solution du syst` eme au sens des moindres carr´ es ;
(3) Calculer la projection orthogonale de b sur l’espace Im(A), qu’on indiquera avec b
0;
(4) Calculer la matrice qui repr´ esente l’op´ erateur de projection orthogonale P
Im(A)sur le sous-espace Im(A) et v´ erifier que b
0= P
Im(A)b ;
(5) D´ eterminer la d´ ecomposition b = w + w
0avec w ∈ Im(A) et w
0∈ Im(A)
⊥en v´ erifiant l’orthogonalit´ e entre w
0et les vecteurs qui appartiennent ` a l’image de A.
Exercice 2 Soient A et B les matrices suivantes :
A =
1 1 0 1 1 0
, B = 1 2
3 6
.
(1) Calculer les valeurs singuli` eres de A et de B ;
(2) Prouver que, donn´ es une base orthonormale quelconque (e
1, e
2) de R
2, la circonf´ erence unitaire C de R
2sous forme param´ etrique avec param` etre t est d´ efinie comme ¸ ca :
C(t) = cos(t)e
1+ sin(t)e
2t ∈ [0, 2π].
(3) D´ eterminer l’image de C via les op´ erateurs lin´ eaires T : R
2→ R
3et S : R
2→ R
2d´ efinis par T v = Av et Sv = Bv, ∀v ∈ R
2. Suggestion : utiliser les bases orthonormales des vecteurs propres de A
tA et B
tB .
Exercice 3
(1) Prouver que, pour toute matrice r´ eelle A, les valeurs propres non nulles de A
tA et de AA
tsont les mˆ emes.
Si A est rectangulaire, A
tA et AA
tsont matrices carr´ ees avec dimensions diff´ erentes, d´ eduire quelle est la matrice qui convient utiliser pour le calcul des valeurs singuli` eres de A.
(2) Calculer la SVD de la matrice
A =
−1 1 0
0 −1 1
.
Suggestion : la preuve du th´ eor` eme de la SVD est constructive. . . En d´ eduire la pseudo-inverse de Moore- Penrose A
†de A.
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