Fonctions numériques

COURS PREMIÈRE S LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

A. La fonction racine carrée

1. Définition : C'est la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par f(x) =

√

^x.

Elle associe à un nombre réel positif sa racine carrée.

2. Variations : Pour déterminer les variations de la fonction racine carrée, on considère deux nombres réels a et b tels que 0  a < b ; alors

√

^{a –}

√

^{b = (}

√

^a−

√

^b)(

√

^a+

√

^b)

√

^a+

√

^{b =}

a−b

√

^a+

√

^b ; le signe de a – b est strictement négatif puisque si a < b alors a – b < 0, et le signe de

√

^{a +}

√

^b est strictement positif .

Ainsi le quotient a−b



^a



^b est strictement négatif, donc

√

^{a –}

√

^b < 0, donc

√

^{a <}

√

^b ; la fonction racine carrée conserve l'ordre des nombres sur [0 ; +∞ [, donc c'est une fonction strictement croissante sur [0 ; +∞ [.

3. Tableau de variations :

On obtient alors le tableau de variations :

Le minimum de la fonction racine carrée est 0 atteint pour x = 0.

4. Représentation graphique :

La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demie parabole.

5. Comparaison de nombres et inéquations :

Propriété : cette propriété se déduit du tableau de variations de la fonction racine carrée : si 0  a  b , alors

√

^{a }

√

^b.

Les racines carrés de deux nombres sont rangés dans le même ordre que ces deux nombres.

f) Comparaison des réels x, x² , 1

x et

√

^x pour x > 0 : Propriété : si 0 < x  1 , alors x²  x 

√

^{x  1}_x ^;

si x > 1 , alors 1

x 

√

^{x  x  x2 .}

La démonstration sera faite en exercice.

x 0 +∞

f(x)

+∞

0

B. La fonction valeur absolue

1. Définition : C'est la fonction f définie sur ℝ par f(x) = |x|.

Elle associe à un nombre réel positif sa valeur absolue : Si x ⩾ 0, |x| = x , si x < 0, |x| = – x.

2. Variations : Pour déterminer les variations de la fonction valeur absolue, on étudie sur l'intervalle [0 ; +∞ [ et sur l'intervalle ] – ∞; 0] :

On considère deux nombres réels a et b tels que 0  a < b ; alors |a| – |b| = a – b < 0 puisque a < b.

La fonction valeur absolue conserve l'ordre des nombres sur [0 ; +∞ [, donc c'est une fonction strictement croissante sur [0 ; +∞ [.

On considère deux nombres réels a et b tels que a < b  0 ; alors |a| – |b| = – a – (– b) = b – a > 0 puisque a < b.

La fonction valeur absolue inverse l'ordre des nombres sur ] – ∞; 0], donc c'est une fonction strictement décroissante sur ] – ∞; 0].

3. Tableau de variations :

On obtient alors le tableau de variations :

Le minimum de la fonction valeur absolue est 0 atteint pour x = 0.

4. Représentation graphique :

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est composée de deux demi-droites :

C. Sens de variation de fonctions

On considère la fonction u définie sur un intervalle I et k un réel.

Propriétés :

La fonction u + k a les mêmes variations que la fonction u sur I.

Si k > 0, la fonction ku a les mêmes variations que la fonction u sur I.

Si k < 0, la fonction ku a les variations opposées à celle de la fonction u sur I.

Si la fonction u est positive sur I, alors la fonction

√

^u a les mêmes variations que la fonction u sur I.

Si la fonction u ne s'annule pas sur I, alors la fonction 1

u a les variations opposées à celle de la fonction u sur I.

Démonstrations :

La démonstration est faite dans le cas d'une fonction u croissante sur I.

On considère deux nombres réels a et b de I tels que a < b ; alors u(a) < u(b).

Ainsi, u(a) + k < u(b) + k, donc la fonction u + k est croissante sur I.

Si k > 0, ku(a) < ku(b), donc la fonction ku est croissante sur I.

Si k < 0, ku(a) > ku(b), donc la fonction ku est décroissante sur I.

Si la fonction u est positive sur I, la fonction racine carrée étant croissante sur [0 ; +∞ [, alors

√

^{u(a) <}

√

^u(b),

donc la fonction

√

^u est croissante sur I.

Si la fonction u ne s'annule pas sur I, la fonction inverse étant décroissante sur ]0 ; +∞ [ et sur ] – ∞; 0[, alors 1

u(a) > 1

u(b) , et la fonction 1

u est décroissante sur I.

x – ∞ 0 +∞

f(x) +∞

0

+∞