Mathématiques Première
Sujet d’étude n°2 : Axes de symétrie d’une courbe de fonction Équation d’une parabole quelconque
Énoncé
On appelle application du plan dans lui-même toute fonction qui à tout point du plan associe un unique point noté . On appelle détermination analytique de l’application les formules qui
permettent d’exprimer les coordonnées du point en fonction des coordonnées de . Soit une droite du plan.
On appelle symétrie orthogonale ou réflexion d’axe l’application, notée , qui à tout point du plan associe le point tel que où est le projeté orthogonal de sur .
On dit que est le symétrique de par rapport à
Pour tout ensemble de points du plan, on note l’ensemble de tous les points avec et on dit qu’une courbe est symétrique par rapport à lorsque ; dans ce cas on dit aussi que est un axe de symétrie de .
0. Démontrer que si alors .
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé . I. Réflexion d’axe parallèle à l’axe des ordonnées
1. Soit un réel quelconque et la droite d’équation . a) Déterminer analytiquement l’application .
b) En déduire que la courbe d’une fonction définie sur un ensemble est symétrique par rapport à si, et seulement si, pour tout , .
c) Soit la fonction définie sur par ( réels quelconques).
Démontrer que la droite est un axe de symétrie de la courbe de . 2. Soit deux réels quelconques et .
On appelle translation de vecteur l’application, notée , qui à tout point du plan associe le point tel que .
a) Déterminer analytiquement l’application .
b) Soit la courbe d’une fonction définie sur un ensemble .
Démontrer que si, et seulement si, pour tout , et . Dans ce cas, on dit que est invariante par la translation de vecteur et, si , on dit que la fonction est périodique de période .
c) Soit la fonction définie sur par ( ).
Démontrer que la courbe de est invariante par la translation de vecteur .
3. Soit la courbe d’une fonction définie sur un ensemble et deux réels distincts.
Démontrer que si est symétrique par rapport aux deux droites d’équations et alors est invariante par la translation de vecteur .
II. Réflexion d’axe non parallèle à l’axe des ordonnées
1. Soit deux réels quelconques et la droite d’équation . Déterminer analytiquement l’application .
Soit deux réels quelconques. On note la demi-droite d’équation avec , la droite d’équation et .
2. a) Démontrer que est incluse dans la droite d’équation . b) Dire dans quel cas est parallèle à l’axe des ordonnées.
c) Dans le cas contraire, démontrer que est incluse dans le demi-plan si, et seulement si, .
III. Exemples de fonctions dont la courbe a un axe de symétrie non parallèle à l’axe des ordonnées Pour tout réel , l’objet de cette partie est de déterminer toutes les fonctions dérivables sur et sur telles que pour tout et dont la courbe a un axe de symétrie qui passe par le point .
Remarques. On a
. On dit que est dérivable à gauche en , on note et on dit que la courbe a une demi-tangente à gauche au point : c’est la demi-droite d’origine de pente située dans le demi-plan . Par symétrie, on admet que la demi-droite est aussi tangente à (demi-tangente à droite au point ) et qu’elle est située dans le demi-plan . Si est parallèle à l’axe des ordonnées alors n’est pas dérivable à droite en ; sinon, elle a une pente et on a
donc est dérivable à droite en et . Lorsque , est dérivable en et et sont incluses dans une même droite qui est la tangente à en .
1. Dans cette question, on suppose que a pour équation . a) Exprimer en fonction de pour .
b) Démontrer que est dérivable en si, et seulement si . Dans la suite de cette partie, on suppose que a une pente .
On note la partie de située dans le demi-plan et . 2. a) Démontrer que est au-dessus de .
b) Justifier que et n’ont pas d’autre point commun que . En déduire que et n’ont pas d’autre point commun que .
c) Déterminer les points communs à la parabole d’équation et à et en déduire que . d) En utilisant II, démontrer que .
3. Dans cette question, on suppose que . Soit . a) Démontrer que .
b) En traduisant le fait que a une abscisse inférieure ou égale à , démontrer que
Dans les questions c) et e), on pourra utiliser l’identité
.
c) En traduisant le fait que est sur la parabole d’équation , démontrer que avec
. d) On note le discriminant de cette équation d’inconnue .
Justifier que et, en utilisant b), démontrer que
. e) Démontrer que .
4. a) Démontrer que si est dérivable en alors .
b) En déduire que si est dérivable en alors et déterminer en fonction de pour . c) Déterminer alors en fonction de pour lorsque n’est pas dérivable à droite en .
IV. Équation d’une parabole quelconque
On appelle parabole toute courbe telle qu’il existe un repère orthogonal avec dans lequel a pour équation
Remarque. On peut considérer qu’un tel repère est orthonormé en prenant comme unité ; dans ce cas, on n’a plus (sauf si ).
On a donc si bien que les résultats des parties I. et II. restent valables dans le repère .
1. Soit est un point de coordonnées dans le repère .
On pose et , étant quatre réels tels que et ne soient pas colinéaires.
Soit un point quelconque du plan. On note ses coordonnées dans le repère et ses coordonnées dans le repère .
Démontrer que et .
2. a) Démontrer que les seules droites qui ont un unique point commun avec une parabole sont ses tangentes ou les droites parallèles à l’axe des ordonnées.
b) En déduire qu’une parabole a un unique axe de symétrie.
c) Démontrer que les courbes d’équation avec sont des paraboles.
d) En déduire que les courbes d’équation avec et quelconques sont des paraboles.
3. Pour tout réel , on pose et on considère un vecteur unitaire quelconque . a) Justifier qu’il existe un unique réel tel que .
b) Exprimer dans la base ), en fonction de , les deux vecteurs unitaires orthogonaux à . On note celui dont l’abscisse est égale à et l’autre.
c) Déterminer, en fonction de , deux réels et tels que et .
d) Démontrer que, pour toute parabole , il existe un point et deux réels et tels que la courbe ait pour équation dans le repère .
4. Soit un réel fixé. On note les coordonnées d’un point dans le repère (défini au début de l’énoncé) et ses coordonnées dans le repère .
On note aussi les coordonnées du point dans le repère . On note la parabole d’équation ( ) dans le repère .
a) Exprimer et en fonction de et puis et en fonction de et . b) En déduire une équation de dans le repère .
5. Soit une parabole quelconque.
a) En utilisant les questions précédentes, démontrer que, dans le repère , a une équation de la forme avec .
b) Déterminer les réels dans le cas où est la parabole de sommet qui passe par le point et dont l’axe de symétrie passe par .
6. On considère la courbe d’équation où sont cinq réels tels que .
a) Démontrer que est une parabole.
b) Démontrer que l’axe de symétrie de la parabole passe par si et seulement si . 7. Soit la courbe d’équation .
a) En utilisant ce qui précède, démontrer que est une parabole, préciser les coordonnées de son sommet et un vecteur directeur de son axe de symétrie.
b) Déterminer l’ensemble des abscisses de tous les points de dans le repère .
c) Démontrer que est la réunion des courbes de deux fonctions et définies sur et exprimer et en fonction de
Méthodes et indications
0. Deux ensembles et sont égaux lorsque (tout élément de est dans ) et (tout élément de est dans . Remarquer que, pour tout point du plan, .
I. Réflexion d’axe parallèle à l’axe des ordonnées
1. a) Soit et de coordonnées Remarquer que est le milieu de .
b) Utiliser la question 0. et le fait que et . c) Utiliser la question b).
2. a) Il suffit d’écrire .
b) Démontrer les deux implications.
Pour la réciproque et pour montrer que , démontrer les deux inclusions et . Pour cette dernière inclusion, considérer avec .
c) Utiliser la question b).
3. Utiliser le fait que, pour tout , on a et et la question b).
II. Réflexion d’axe non parallèle à l’axe des ordonnées
1. Soit et de coordonnées
Trouver deux équations d’inconnues et en traduisant le fait que le milieu de appartient à et que la droite est perpendiculaire à .
2. a) Remarquer que si alors .
b) La droite d’équation est parallèle à l’axe des ordonnées si, et seulement si, . c) Si alors donc et . Cela permet de trouver à quelle condition on a .
III. Exemple de fonction dont la courbe a un axe de symétrie non parallèle à l’axe des ordonnées
1. Dans cette question, on suppose que a pour équation . a) Exprimer en fonction de pour .
b) Démontrer que est dérivable en si, et seulement si . 2. Dans cette question, on suppose que a une pente .
a) En utilisant II.2 et II.3, démontrer que .
b) Réciproquement, démontrer que, si alors on peut définir pour tout de façon que soit un axe de symétrie de .
c) Parmi les fonctions ainsi définies, préciser celles qui sont dérivables en . 3. a) Remarquer que .
b) Commencer par montrer que
puis montrer que en utilisant le fait que .
c) Développer avec soin !
d) est solution d’une équation du type et, d’après b),
e) Là encore, développer avec soin !
4. a) Justifier que, si est dérivable en alors et sont perpendiculaires à . b) Remplacer par
dans l’expressions de 3.d) et décomposer les calculs.
L’expression finale n’est pas simple.
c) Remplacer par dans l’expression de 3.d) et décomposer les calculs.
L’expression finale est encore moins simple qu’en b) ! IV. Équation d’une parabole
1. Utiliser l’égalité .
2. a) Choisir un repère orthogonal dans lequel a pour équation et chercher les points d’intersection de avec les droites d’équation et .
b) Utiliser I.3 pour montrer que la courbe ne peut pas avoir deux axes de symétrie parallèles à l’axe des ordonnées.
Utiliser III.2.b), IV.2.a) et III.2.a) pour montrer que la courbe ne peut pas avoir un axe de symétrie non parallèle à l’axe des ordonnées.
c) La courbe a pour équation dans le repère . d) Utiliser l’écriture canonique de .
3. a) où est un point du cercle de centre et de rayon
b) Poser et traduire le fait que est unitaire et orthogonal à .
c) Déterminer, en fonction de , deux réels et tels que et .
d) Considérer un repère orthogonal avec dans lequel a pour équation et poser de sorte que et soient unitaires.
4. a) Utiliser la même méthode qu’en 1. Pour exprimer et en fonction de et puis, par combinaisons linéaires, résoudre le système obtenu pour exprimer et en fonction de et . b) Il est inutile de développer car c’est l’objet de la question 5.a).
5. a) Développer dans l’équation obtenue en 4.b).
b) Utiliser l’équation précédente et trouver en utilisant le point .
6. a) Si l’équation trouvée en 5.a) est de la forme , il s’agit de trouver des réels et un réel tels que , , , et .
b) Trouver une équation cartésienne de l’axe de symétrie en utilisant les résultats de 6.a).
7. a) Reprendre les résultats de 6.a) avec et , remarquer que
b) Soit . Pour fixé, est solution d’une équation du second degré.
c) Il suffit de résoudre l’équation précédente.
Corrigé 0. Montrons que .
Soit . On a donc, comme , on a . Alors, comme , on a .
Finalement, on a et, par hypothèse, donc . I. Réflexion d’axe parallèle à l’axe des ordonnées
1. a) Soit et de coordonnées On a donc .
De plus, le milieu de appartient à donc ou encore . b) Soit la courbe de .
On a .
Si alors, pour tout , en prenant on a donc . Or, d’après a), a pour coordonnées donc . Réciproquement, supposons que, pour tout , .
Prenons un point de . En notant son abscisse, son ordonnée est donc a pour coordonnées . Comme on voit que donc . Finalement, est symétrique par rapport à si, et seulement si, pour tout , . c) Soit la fonction définie sur par .
Pour tout réel on a donc, d’après b), est un axe de symétrie de .
2. a) Soit et de coordonnées On a donc et . b) Soit la courbe d’une fonction définie sur un ensemble .
Supposons que . Alors si est le point de d’abscisse ( ), on a et
a pour coordonnées . Comme , on a . Réciproquement, supposons que, pour tout , et .
Prenons un point de . En notant son abscisse, son ordonnée est donc a pour coordonnées . Comme , on a donc . Considérons le point dont les coordonnées sont . On a . De plus, comme, pour tout , et , on a . Ainsi ce qui prouve que donc .
Finalement, si, et seulement si, pour tout , et . c) Comme est définie sur , la condition est bien réalisée pour tout .
De plus, car pour tout réel .
On en déduite que est invariante par la translation de vecteur .
3. Si est symétrique par rapport aux deux droites d’équations et alors, pour tout , .
Pour tout , on a et donc ou encore . De plus ce qui prouve que est
invariante par la translation de vecteur . II. Réflexion d’axe non parallèle à l’axe des ordonnées
1. Soit et de coordonnées
Le milieu appartient à donc Les vecteurs
et sont orthogonaux donc . On a donc
.
donne donc
donne donc
.
2. a) Soit . On a donc, d’après 1 avec ,
ou encore, après simplifications, .
Si et alors et . La dernière équation donne et l’avant-dernière donne alors ce qui est impossible.
L’équation est donc l’équation d’une droite qui contient . b) est parallèle à l’axe des ordonnées lorsque (c’est alors l’axe lui-même).
c) Dans le cas contraire, avec les notations de a), on a
et donc
ou encore –
.
Comme – , donc est incluse dans le demi-plan si, et seulement si, .
III. Exemples de fonctions dont la courbe a un axe de symétrie non parallèle à l’axe des ordonnées
1. a) Soit et le point de d’abscisse . Comme est un axe de symétrie, donc . Or donc .
On en déduit que pour tout .
b) Pour tout , on a donc .
Comme , est dérivable en si, et seulement si c’est-à-dire si, seulement si . Dans ce cas, pour tout .
2. a) a pour équation ou encore pour . Pour tout , on a donc est au-dessus de .
b) Comme est la courbe d’une fonction, est incluse dans le demi-plan donc et ont pour seul point commun le point .
Soit un point commun à et à . Comme , on a mais, comme , on a . Ainsi est un point commun à et à donc .
c) a pour équation donc les abscisses des points communs à et sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire et .
Remarque. On peut trouver ces deux solutions avec le discriminant ( ) mais on peut aussi utiliser le fait que est solution puis factoriser par ou encore, plus rapidement, utiliser le fait que le produit des racines de lorsqu’elle existent (si ) est . Ici ce produit vaut .
D’après b), on a donc
d) D’après le préambule du III, est incluse dans le demi-plan donc, d’après II.2.b) et c) en prenant le point pour origine et en posant , on a c’est-à-dire
( si est parallèle à l’axe des ordonnées).
Le discriminant de cette inéquation d’inconnue est et le coefficient de est positif donc ou .
Alors, d’après b), comme , on a .
3. a) On a donc, comme la fonction est strictement croissante sur , on a . Or donc et .
b) La droite a pour équation (voir 2.c) et, d’après II.1, les coordonnées de sont
et
.
Comme , on a donc .
Ainsi, comme , on a
donc, en multipliant par , car . Alors .
Or, par hypothèse, donc (voir 2.d) ou encore . En utilisant deux fois cette inégalité, on en déduit que et .
Finalement . c) Comme , on a aussi donc, d’après b),
. En utilisant l’identité , on a
De plus, on a
Donc, après regroupements, on obtient
d) Comme existe, l’équation précédente a au moins une solution donc . On a
. Or, d’après b),
donc
e) En utilisant une fois de plus l’identité , on a
.
4. a) Si est dérivable en alors et ont la même pente. Comme elles sont symétriques par rapport à , elles lui sont perpendiculaires. Comme la pente de est et comme celle de est , on a .
b) D’après 2.d), on a et, d’après 3.a), on a donc, comme , on a
D’après 3d), on a
.
Comme
, on a
,
, et
donc
De plus,
et donc
. Finalement, pour ,
c) C’est le cas où . On a donc
, et
Ainsi
De plus
et
donc Enfin
donc Finalement, pour , on a
Remarque. Le seul intérêt de ces formules est de pouvoir tracer les courbes et ainsi vérifier graphiquement la symétrie par rapport à comme sur la figure ci-dessous.
IV. Équation d’une parabole
1. On a et donc, comme , on a
Par unicité des coordonnées d’un vecteur dans une base, on en déduit que et .
2. a) Notons une parabole quelconque. Par définition, on peut choisir un repère orthogonal dans lequel a pour équation .
Soit une droite quelconque. Si est parallèle à l’axe des ordonnées alors elle a pour équation et son unique point commun avec est lepoint de coordonnées .
Si est parallèle à l’axe des ordonnées alors elle a pour équation donc les abscisses des points communs à et sont les solutions de l’équation . Cette équation a une unique solution si, et seulement si, . Dans ce cas a pour équation et le point commun a pour coordonnées . La tangente à au point d’abscisse a pour équation ou encore donc, en prenant on voit que est la tangente à au point d’abscisse .
b) Si la courbe a un deuxième axe parallèle à l’axe des ordonnées alors, d’après I.3, elle est invariante par translation et l’équation a une infinité de solutions ce qui est faux.
Si a un deuxième axe non parallèle à l’axe des ordonnées alors, d’après III.2.b), elle ne coupe cet axe qu’en un point donc, d’après a), c’est nécessairement une tangente à . Alors, d’après III.2.a), est au-dessus de donc ne peut pas être un axe de symétrie.
Finalement n’a pas d’autre axe de symétrie que l’axe des ordonnées.
c) Considérons une courbe d’équation avec dans le repère .
Il s’agit de trouver un repère orthogonal avec dans lequel la courbe a pour équation (avec les notations de I).
Comme l’axe de symétrie de la courbe est la droite on doit avoir et avec puisque, d’après b), l’axe des ordonnées est le seul axe de symétrie de la courbe.
Comme le repère est orthogonal, on doit aussi avoir avec . Enfin, comme , on doit avoir .
Alors, avec les notations de I, on a et donc la courbe a pour équation dans le repère . On veut que cette équation soit équivalente à donc on doit avoir ou encore (car ) et, comme , .
Réciproquement, on vérifie avec les formules précédentes que a pour équation dans le repère . C’est donc une parabole de sommet .
d) On a
(écriture canonique) avec . En posant
et
, on a
donc la courbe d’équation dans le repère a pour équation dans le repère avec
. C’est donc une parabole de sommet .
3. a) On peut poser où est un point du cercle de centre et de rayon donc il existe un unique réel tel que a pour coordonnées . Alors .
b) Soit un vecteur unitaire orthogonal à . On a et . On a donc et avec (on peut toujours poser ou
car au moins un des deux termes ou est non nul ; cela revient à dire que le vecteur est colinéaire au vecteur de coordonnées
qui est non nul).
Finalement, les deux vecteurs unitaires orthogonaux à sont et .
c) On remarque que
et
donc et .
d) Si est une parabole alors il existe un repère orthogonal avec dans lequel a pour équation Posons . On a et, d’après 3.a), comme le vecteur est unitaire, il existe tel que et, d’après 3.b), .
Alors, en notant et les coordonnées respectives d’un point dans les repères et , on a donc et (voir 1). Alors, dans le repère , a pour équation ou encore .
4. a) On a (voir 1)
donc
donne et donne b) Une équation de dans le repère est donc
.
5. a) D’après 3.d), il existe un point et deux réels et tels que la courbe ait pour équation dans le repère .
Alors, d’après 4.b), une équation de dans le repère est
ou encore
c’est-à-dire
.
qui est bien une équation de la forme avec ,
,
et On a donc .
b) L’axe de symétrie est la droite donc il est dirigé par ou encore par
. Avec les notations précédentes, on a donc
et
. De plus, comme est le sommet de la parabole, et .
Une équation de dans le repère est donc
et, comme , on a, en remplaçant par et par , soit .
Finalement a pour équation
ou encore, en multipliant par , .
6. a) D’après 5.a), il suffit de trouver des réels , , , et tels que , , ,
et puisque si ces conditions sont satisfaites alors a pour équation dans le repère .
donne donc
. Alors, d’après , on peut choisir
et
.
donne ou encore . Ainsi
et
.
donne alors successivement à
De même donne
d’où on déduit
ce qui permet de transformer :
Alors donne
et donne
On en déduit et .
Réciproquement, on peut vérifier que si on pose
et
et si on prend et avec les égalités précédentes alors on a bien :
donc on a
De même donc on a et donc on a .
Les formules de et donnent et puis c’est-à-dire et enfin puis .
b) L’axe de la parabole est la droite dirigée par qui passe par ; . Son équation est donc ou encore (en multipliant par ). D’après , cette équation s’écrit
donc l’axe de la parabole passe par si, et seulement si, .
7. a) Prenons et . On a donc, d’après 6, est une parabole.
Avec les notations de 6, on a
,
, (soit ) et, comme ,
et .
a donc pour sommet et un vecteur directeur de son axe de symétrie est ou encore . Comme , cet axe est la droite ).
b) Soit .
Pour fixé, est solution de l’équation donc le discriminant de cette équation est positif ou nul.
On a donc ou encore ce qui prouve que
. c) D’après ce qui précède,
ce qui prouve que est la réunion des courbes et de deux fonctions et définies sur par et .
