PROBLÈME 1 — CLASSIQUE

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 7

du jeudi 25 janvier Durée : 4 heures Calculatrice autorisée

Instructions générales : Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien8 pages ;

• de traiter leur sujet :

? classique, composé du problème1;

? corsé, composé du problème2.

Merci d’indiquer clairement sur la première page de la première copie si vous traitez le sujet classique ou le sujet corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — CLASSIQUE

On s’intéresse ici à des suites et séries de fonctions en liaison avec des intégrales.

Dans la partie I, on calcule indépendamment deux intégrales particulières (les questions 1 et 2 pour l’une, la question 3 pour l’autre) qui interviennent dans les partiesIIetIII. Les partiesIIet IIIsont indépendantes.

Partie I : calculs préliminaires

I - 1.

I - 1.1.Justifier l’existence de l’intégraleK= Z +∞

0

1−cos(t) t² dt.

I - 1.2.Pour toutA >0, justifier l’existence de l’intégraleD(A) = Z A

0

sin(t) t dt.

I - 1.3.Grâce à une intégration par parties, prouver que D(A)a une limite (réelle) quandA tend vers+∞, égale à K, c’est-à-dire que :K=

Z +∞

0

sin(t)

t dt= lim

A→+∞D(A).

I - 2.

I - 2.1.Justifier que l’applicationL:x7→

Z +∞

0

1−cos(t)

t² e^−txdtest définie et continue surR+.

I - 2.2.Montrer que, pour tout réela >0, l’applicationLest de classeC²sur l’intervalle[a,+∞[. Établir ensuite que l’applicationLest de classeC² sur l’intervalle]0,+∞[.

I - 2.3.Justifier que les fonctionst7→ 1−cos(t)

t² et t7→ 1−cos(t)

t sont bornées sur]0,+∞[.

Établir alors que les fonctionsx7→ |xL⁰(x)|et x7→ |xL(x)|sont majorées surR^∗+. En déduire que : lim

x→+∞L⁰(x) = lim

x→+∞L(x) = 0.

I - 2.4.Pour tout réelx >0, exprimerL⁰⁰(x)sans utiliser d’intégrale.

On pourra remarquer quecos(t) = Re(e^it).

I - 2.5.En déduireL⁰(x)pourx >0, puisL(x)pourx≥0. Conclure queK= π 2. I - 3.

I - 3.1.Justifier que la fonctionu7→ ln(u)

u−1 est intégrable sur]0,1[.

I - 3.2.Pour toutk∈N, justifier l’existence et calculer Z 1

0

u^kln(u)du.

I - 3.3.Grâce à un développement en série de 1

1−u pouru∈]0,1[et en précisant le théorème utilisé, justifier que : Z 1

0

ln(u) u−1du =

+∞

X

k=0

1 (k+ 1)².

Par ailleurs, on donne sans avoir à le justifier :

+∞

X

k=0

1

(k+ 1)² = π² 6 .

Partie II : étude de quelques suites d’intégrales

II - 1.Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée.

II - 2.

II - 2.1.On considère ici une application continuef: [0,+∞[7→R. Pour toutn∈N, on poseI_n =

Z 1

0

f(tⁿ)dt. Déterminer lim

n→+∞I_n. II - 2.2.On suppose ici de plus que u7→f(u)

u est intégrable sur]0,1].

Déterminer lim

n→+∞nIn. On pourra transformernIn grâce à un changement de variable.

II - 2.3.Application 1.

Déterminer un équivalent quandn→+∞de Z 1

0

sin(tⁿ)dt(grâce à une intégrale).

II - 3.On considère maintenant que f : [0,+∞[7→Rest une application continue et intégrable sur R+. II - 3.1.Soitn∈N^∗.

Grâce à un changement de variable approprié, justifier l’existence deA_n= Z +∞

1

f(tⁿ)dt.

II - 3.2.Déterminer lim

n→+∞nAn (grâce à une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer).

II - 4.

II - 4.1.Pour toutn∈N,n≥2, et toutA >1, on poseCn(A) = Z A

1

sin(tⁿ)dt.

Grâce à un changement de variable et une intégration par parties, exprimerCn(A)en fonction de Z Aⁿ

1

1−cos(u) u² uⁿ¹du et deA.

II - 4.2.En déduire queCn(A)a une limite quandA→+∞, prouvant l’existence de Z +∞

1

sin(tⁿ)dtpour toutn∈N, n≥2.

II - 4.3.Application 2.

Déterminer lim

n→+∞n Z +∞

0

sin(tⁿ)dtgrâce àKcalculée enI-2.5.

Partie III : étude de séries de fonctions

III - 1.Un premier exemple.

III - 1.1.Pour toutx∈]−1,1[, calculerF(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ ainsi queF⁰(x).

III - 1.2.Déterminerlim

x<1 x→1

F(x), lim

x<1 x→1

(1−x)F(x), lim

x<1 x→1

(1−x)F⁰(x) et lim

x<1 x→1

(1−x)²F⁰(x).

III - 2.Un deuxième exemple.

Dans cette question, pour toutx∈]−1,1[, on pose cette fois :F(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ 1−xⁿ.

III - 2.1.Soita∈]0,1[. Prouver la convergence normale de cette série de fonctions sur le segment[−a, a].

En déduire queF est définie et continue sur]−1,1[.

III - 2.2.Montrer que, pour toutx∈]0,1[et toutn∈N^∗, on a 1−xⁿ 1−x ≤n.

En déduirelim

x<1 x→1

F(x)etlim

x<1 x→1

(1−x)F(x).

III - 3. Dans cette question,f est une application réelle continue et croissante sur[0,1[avec f(0) = 0et telle que u7→ f(u)

u soit intégrable sur]0,1[.

Soitx∈]0,1[.

III - 3.1.Justifier l’existence de G(x) = Z +∞

0

f(x^t)dtet l’égalitéG(x) =− 1 ln(x)

Z 1

0

f(u) u du.

III - 3.2.Pour toutn∈N^∗, justifier l’encadrement : Z n+1

n

f(x^t)dt≤f(xⁿ)≤ Z n

n−1

f(x^t)dt.

III - 3.3.En déduire l’existence deF(x) =

+∞

X

n=1

f(xⁿ), ainsi qu’un encadrement deF(x)par deux intégrales dépendant dex.

III - 3.4.Conclure avec soin quelim

x<1 x→1

(1−x)F(x) = Z 1

0

f(u) u du.

III - 4.Un dernier exemple.

Pour toutx∈]−1,1[, on pose enfin cette fois : F(x) =−

+∞

X

n=1

ln(1−xⁿ).

III - 4.1.Montrer que F est définie et de classe C¹ sur]−1,1[et exprimer sa dérivée sous la forme d’une série de fonctions.

III - 4.2.Grâce àIII-3.4, montrer que lim

x<1 x→1

(1−x)F(x) = Z 1

0

ln(u)

u−1duétudiée enI-3.

III - 4.3.Par une méthode similaire à celle deIII-3, montrer que : lim

x<1 x→1

(1−x)²

+∞

X

n=1

nxⁿ 1−xⁿ

!

= Z 1

0

ln(u) u−1du.

En déduire lim

x<1 x→1

((1−x)²F⁰(x)).

PROBLÈME 2 — CORSÉ

Ce problème aborde l’étude de deux transformations intégrales utilisées pour le traitement des signaux analogiques : la transformation de Fourier et celle de Laplace. Chacune d’elles permet de modéliser le comportement fréquentiel d’un signal. La partie 1 étudie quelques propriétés de la transformée de Fourier d’un signal analogique continu par morceaux et intégrable surR. La partie 2 aboutit à la formule d’inversion de Fourier qui permet de retrouver un signal à partir de sa transformée de Fourier. La partie 3 traite le cas particulier d’un signal dont le spectre des fréquences est limité à

−1 2,1

2

. La partie 4 étudie le cas particulier d’un signal périodique. Le résultat auquel elle aboutit est utilisé dans la partie 5 pour démontrer le théorème de l’échantillonnage de Shannon.

M. Cochet.Une sixième partie, portant sur les probabilités, a été ôtée du présent sujet. Il est fortement suggéré de lui accorder un moment quand nous en serons à cette partie du cours.

On note :

• Ecpm leC-espace vectoriel des fonctionsf : R→Ccontinues par morceaux surRet intégrables surR.

• S leC-espace vectoriel des fonctionsf : R→Ccontinues surRtelles que pour toutk∈N, la fonctionx7→x^kf(x) est bornée surR.

1 Transformation de Fourier

Pour toute fonctionf ∈Ecpm, on considère la fonctionF(f)(transformée de Fourier def) définie par

∀ξ, F(f)(ξ) = Z +∞

−∞

f(t)e^−2πitξdt.

1.A On considère la fonction ϕdéfinie sur Rpar

∀x∈R, ϕ(x) =

( 1 si x∈[−¹₂,¹₂] 0 sinon

Justifier que ϕappartient àE_cpm et calculer sa transformée de FourierF(ϕ).

I.B On considère la fonction ψdéfinie surRpar

∀x∈R^∗, ψ(x) = sin(πx)

πx et ψ(0) = 1.

I.B.1 Justifier que ψest développable en série entière. Préciser ce développement ainsi que son rayon de conver- gence. En déduire que ψest de classeC^∞ surR.

I.B.2 Prouver

∀n∈N,

Z n+1

n

|ψ(x)|dx ≥ 2 π²(n+ 1). En déduire que ψn’appartient pas àE_cpm.

I.C Soitf ∈Ecpm. montrer que la fonctionF(f)est continue surR. I.D Soitf ∈ S.

I.D.1 Justifier que, pour tout entier natureln, la fonctionx7→xⁿf(x)est intégrable surR. I.D.2 Démontrer que la fonctionF(f)est de classeC^∞surRet que

∀n∈N, ∀ξ∈R, (F(f))ⁿ(ξ) = (−2iπ)ⁿ Z +∞

−∞

tⁿf(t)e^−2iπtξdt.

I.E On considère la fonction θ : R→Cdéfinie parθ(x) = exp(−πx²), pourx∈R. I.E.1 Justifier que θ∈ S et queF(θ)est solution de l’équation différentielle

∀ξ∈R, y⁰(ξ) = −2πξy(ξ).

I.E.2 Établir queF(θ) =θ.

On admettra que Z +∞

−∞

θ(x)dx= 1.

2 Formule d’inversion de Fourier

Soitf ∈ S. on suppose queF(f)est intégrable surR. Pour tout entier naturel non nuln, on pose I_n =

Z +∞

−∞

F(f)(ξ)θ ξ

n

dξ et J_n = Z +∞

−∞

f t

n

F(θ)(t)dt.

II.A Montrer que lim

n→+∞I_n= Z +∞

−∞

F(f)(ξ)dξ.

II.B Calculer lim

n→+∞J_n.

II.C Prouver que∀n∈N^∗, In =Jn. On admettra la formule de Fubini :

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f(t)θ ξ

n

e^−2iπξtdξ

dt = Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f(t)θ ξ

n

e^−2iπξtdt

dξ.

II.D Démontrer quef(0) = Z +∞

−∞

F(f)(ξ)dξ.

En déduire en utilisant la fonction h : t7→f(x+t), que

∀x∈R, f(x) = Z +∞

−∞

F(f)(ξ)e^2iπxξdξ (2.1)

Cette formule permet de reconstruire le signal f à partir de sa transformée de FourierF(f).

II.E Une application Démontrer que∀x∈R,

Z +∞

−∞

e^2iπξx

1 + (2πξ)²dξ = 1 2e^−|x|.

3 Transformée de Fourier à support compact

Soitf une fonction deS dont la transformée de FourierF(f)est nulle en dehors du segment

−1 2,1

2

. D’après la relation (2.1), on a

∀x∈R, f(x) = Z 1/2

−1/2

F(f)(ξ)e^2iπxξdξ.

III.A Démontrer queF(f)est de classeC^∞surRet queF(f)∈ S. En déduire quef est de classeC^∞surR. III.B Prouver que

∀(x, x₀)∈R²,

+∞

X

k=0

(x−x0)^k k!

Z 1/2

−1/2

(2iπξ)^kF(f)(ξ)e^2iπx0ξdξ = f(x).

III.C On suppose quef est nulle en dehors d’un segment[a, b]. Montrer quef = 0.

4 Cas de fonctions périodiques

Pour tout entier natureln, on noteSn la fonction définie surRpar

∀x∈R, Sn(x) =

n

X

k=−n

e^2πikx

Soitf : R→Cune fonction de classeC^∞ surRet1-périodique. On considère :

• La fonction gdéfinie sur[−1,1]par

∀x∈]−1,1[\{0}, g(x) = f(x)−f(0)

sin(πx) , g(0) = f⁰(0)

π , g(1) = g(−1) =−g(0).

• La suite de complexes(c_n(f))_n∈Zdéfinie par

∀n∈Z, cn(f) = Z 1/2

−1/2

f(x)e^−2πinxdx.

IV.A

IV.A.1 Montrer que la fonction gest de classeC¹ sur]−1,1[\{0} et continue sur]−1,1[.

IV.A.2 Calculer la limite deg⁰ en0. En déduire queg est de classeC¹ sur]−1,1[.

On admet dorénavant que gest de classeC¹sur [−1,1].

IV.B Soitn∈N. Calculer l’intégrale Z 1/2

−1/2

Sn(x)dx.

IV.C Démontrer que

∀n∈N, ∀x∈

−1 2,1

2

\ {0}, Sn(x) = sin((2n+ 1)πx) sin(πx) . IV.D Justifier que

∀n∈N^∗,

n

X

k=−n

c_k(f) = f(0) + Z 1/2

−1/2

g(x) sin((2n+ 1)πx)dx.

IV.E À l’aide d’une intégration par parties, montrer l’existence d’un réelC tel que

∀n∈N,

Z 1/2

−1/2

g(x) sin((2n+ 1)πx)dx

≤ C

2n+ 1.

IV.F Soitt∈

−1 2,1

2

. On considère la fonctionGtdéfinie sur

−1 2,1

2

par

∀x∈

−1 2,1

2

, Gt(x) = f⁰(x+t) sin(πx)−(f(x+t)−f(t))πcos(πx).

Établir l’existence d’un réel D, indépendant dexet de de t, tel que

∀x∈

−1 2,1

2

, ∀t∈

−1 2,1

2

, |Gt(x)| ≤ Dx².

IV.G Prouver l’existence d’un réelE tel que

∀t∈

−1 2,1

2

,

f(t)−

n

X

k=−n

ck(f)e^2iπkt

≤ E

2n+ 1 (4.1)

On pourra introduire la fonction ht : x7→f(x+t).

5 Formule d’échantillonnage de Shannon

Soitf ∈ S dont la transformée de FourierF(f)est nulle en dehors du segment

−1 2,1

2

. on pose

∀k∈Z, ∀x∈R, ψk(x) = ψ(x+k) (5.1)

oùψest définie à la question 1.B.

V.A Justifier que ∀n∈N, (F(f))⁽ⁿ⁾ 1

2

= (F(f))⁽ⁿ⁾

−1 2

= 0.

V.B Soit hla fonction définie sur R, qui est 1-périodique et qui vautF(f) sur l’intervalle

−1 2,1

2

. Montrer que h est de classeC^∞ surR.

V.C À l’aide de l’inégalité (4.1), prouver l’existence d’une suite de nombres complexes (d_k)_k∈Z telle que la suite de fonctions x7→

n

X

k=−n

dke^2πikx

!

n∈N

converge uniformément versF(f)sur

−1 2,1

2

.

V.D Démontrer que la suite de fonctions

n

X

k=−n

dkψk

!

n∈N

converge uniformément versf surR.

On notera symboliquement f =

+∞

X

k=−∞

dkψk. V.E Établir que∀j ∈Z, f(−j) = dj.

L’égalitéf =

+∞

X

k=−∞

f(−k)ψk traduit la reconstruction du signalf à partir de l’échantillon(f(k))_k∈Z.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 7 – éléments de correction

PROBLÈME 1 — CLASSIQUE

d’après CCP 2013 PC maths 2 Partie I : calculs préliminaires

I - 1.

I - 1.1.L’intégrale a des problèmes de convergence en0 et en+∞.

• La fonctionk:t7→ 1−cos(t)

t² est continue surR^∗+. Elle est prolongeable par continuité en zéro par la valeur 1 2 car 1−cos(t)^t→0∼ t²

2. Ainsi Z 1

0

k(t)dtconverge.

• La fonctionkvérifie∀t∈R^∗+, 0≤k(t)≤ 2 t². Ainsi

Z +∞

1

k(t)dtconverge, par comparaison d’une fonction positive à une fonction de référence d’intégrale convergente.

D’où la convergence de l’intégraleK = Z +∞

0

1−cos(t)

t² dt . Remarquons que comme k est positive, cela revient à affirmer que kest intégrable surR^∗+ .

I - 1.2.SoitA >0. La fonction sinus cardinalt7→ sin(t)

t est continue sur]0, A]et est prolongeable par continuité en zéro par la valeur1 carsin(t)^t→0∼ t. On conclut à la convergence deD(A) =

Z A

0

sin(t) t dt .

I - 1.3. SoitA etε deux nombres réels tels que0< ε < A. On réalise l’intégration par parties sur le segment[ε, A]

où les fonctionsu:t7→1−cos(t)et v:t7→ 1

t sont de classeC¹ : Z A

ε

sin(t) t dt=

Z A

ε

u⁰(t)v(t)dt=

1−cos(t) t

^A

ε

− Z A

ε

1−cos(t)

t² dt= 1−cos(A)

A −1−cos(ε)

ε +

Z A

ε

1−cos(t) t² dt.

L’équivalent1−cos(ε)∼ε²

2 montre quelim

ε→0

1−cos(ε)

ε ) = 0. La majoration

1−cos(A) A

≤ 2

A permet d’affirmer que

A→+∞lim

1−cos(A)

A = 0. On en déduit d’abord (en faisant tendreεvers zéro) que D(A) = 1−cos(A)

A +

Z A

0

1−cos(t) t² dt

et ensuite (en faisant tendreAvers l’infini) que K = Z +∞

0

sin(t)

t dt= lim

A→+∞D(A). I - 2.

I - 2.1.Pour (x, t)∈R+×R^∗+, on pose`(x, t) = 1−cos(t)

t² e^−tx.Utilisons le théorème de continuité des intégrales à paramètre :

• Pour toutx∈R+, l’application`(x,·)est continue par morceaux (continue en fait) surR^∗+.

• Pour toutt∈R^∗+, l’application`(·, t)est continue surR+.

• Pour tout(x, t)∈R+×R^∗+il vient|`(x, t)| ≤k(t), où la fonctionk, définie à la première question, est continue par morceaux, positive et intégrable surR^∗+ (elle est bien indépendante dex).

On conclut alors que l’application L:x7→

Z +∞

0

1−cos(t)

t² e^−txdt est définie et continue surR+ . I - 2.2.On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales à paramètres :

• Pour toutt∈R^∗+, la fonctionx7→`(x, t)est de classeC² (c’est évident).

• Pour toutx∈R⁺, les deux fonctionst7→ ∂`

∂x(x, t) =−1−cos(t)

t e^−tx ett7→ ∂²`

∂x²(x, t) = (1−cos(t))e^−tx sont continues par morceaux (c’est évident).

• On dispose des dominations, pour tout(x, t)∈[a,+∞[×R^∗+:

∂`

∂x(x, t)

≤ φa(t) = 1−cos(t)

t e^−ta et

∂²`

∂x²(x, t)

≤ ψa(t) = 2e^−ta,

où les fonctionsφa etψa sont continues par morceaux, positives et intégrables surR^∗+ (et indépendantes dex).

En effet d’une partφa est prolongeable par continuité en zéro par la valeur zéro et est dominée par la fonction intégrablet7→e^−ta au voisinage de l’infini ; d’autre partψa est intégrable surR+ d’après le cours.

On conclut que Lest de classeC² sur l’intervalle[a,+∞[ pour touta >0, et qu’on a les formules suivantes, valables pour toutx∈[a,+∞[:

L⁰(x) = − Z +∞

0

1−cos(t)

t e^−txdt et L⁰⁰(x) = Z +∞

0

(1−cos(t))e^−txdt.

L’appartenance à la classe C² étant une propriété locale (cela signifie que la continuité et la dérivabilité sur un intervalle sont définies par la continuité et la dérivabilité en tout point de l’intervalle), on en déduit que l’application

Lest de classeC² sur l’intervalle]0,+∞[, et que les formules ci-dessus restent valable pour toutx∈]0,+∞[.

I - 2.3.Ces deux fonctions ont pour limite zéro en+∞ (vu plus haut) donc elles sont bornées (par exemple par1) dans un voisinage de+∞, disons sur[b,+∞[. Par ailleurs, elle sont prolongeables par continuité en zéro (vu plus haut), donc les prolongements correspondants, continus sur lesegment[0, b], y sont bornés. On en déduit que les fonctions

t7→ 1−cos(t)

t² et t7→ 1−cos(t)

t sont bornées sur]0,+∞[. On noteM etM⁰ des réels positifs tels que :

∀x∈]0,+∞[,

1−cos(t) t²

≤ M et ∀x∈]0,+∞[,

1−cos(t) t

≤ M⁰.

Par inégalité triangulaire, et grâce à la valeur Z +∞

0

e^−txdt=

−e^−tx x

^+∞

t=0

= 1

x, on en déduit que pour toutx >0 :

∀x∈]0,+∞[, |xL(x)| ≤ x Z +∞

0

M e^−txdt = M

donc |xL(x)| ≤M . De même |xL⁰(x)| ≤M⁰ . Les majorations|L(x)| ≤ M

x et |L⁰(x)| ≤ M⁰

x prouvent alors que

x→+∞lim L⁰(x) = lim

x→+∞L(x) = 0.

I - 2.4.Pour tout réelx >0, on a (la convergence de chacune des intégrales écrites ci-dessous justifie le calcul) : L⁰⁰(x) =

Z +∞

0

e^−txdt−Re Z +∞

0

e^(i−x)tdt

= 1 x+ Re

1

−x−i

= 1

x− x x²+ 1 . I - 2.5.D’après la formule de la question précédente, il existe une constante c⁰∈Rtelle que

∀x∈]0,+∞[, L⁰(x) = ln(x)−1

2ln(x²+ 1) +c⁰ = ln x

√x²+ 1

+c⁰.

Or lim

x→+∞

√ x

x²+ 1 = 1, et lim

x→+∞L⁰(x) = 0d’après la questionI - 2.3. Par conséquentc⁰ = 0, donc

∀x∈]0,+∞[, L⁰(x) = ln x

√x²+ 1

.

On calcule ensuite une primitive dex7→ln(x²+ 1)par intégration par parties, en posantu(x) =xetv(x) = ln(1 +x²), avecuet v bien de classeC¹ sur[0,+∞[:

Z x

0

ln(t²+ 1)dt=

tln(t²+ 1)^x

0− Z x

0

2t²dt

t²+ 1 =xln(x²+ 1)−2 Z x

0

1− 1

t²+ 1

dt=xln(x²+ 1)−2x+ 2 arctan(x).

On en déduit qu’il existe une constantec∈Rtelle que

∀x∈]0,+∞[, L(x) = xln(x)−x−1

2 xln(x²+ 1)−2x+ 2 arctan(x)

+c = xln x

√x²+ 1

−arctan(x) +c.

Or xln x

√x²+ 1

=xln 1

p1 + 1/x²

!

= −x 2ln

1 + 1

x²

x→+∞

∼ − 1

2x donc lim

x→+∞L(x) = −π

2 +c. Par ailleurs d’après la questionI - 2.5. lim

x→+∞L(x) = 0, il s’ensuit quec= π

2. Finalement

∀x∈]0,+∞[, L(x) = −x 2 ln

1 + 1

x²

−arctan(x) +π 2 .

Par ailleurs la fonction L est continue y compris en zéro, d’où en prenant la limite du membre de droite en zéro, il vientL(0) =π

2. Enfin utilisant la définition de la fonctionL, nous obtenons : L(0) =

Z +∞

0

1−cos(t)

t² dt = K = Z +∞

0

sin(t)

t = π

2 . I - 3.

I - 3.1.La fonctionm:u7→ ln(u)

u−1 = ln(u)−ln(1)

u−1 est continue sur[0,1[. Elle a deux problèmes d’intégration : en0 et en1. En1, elle est prolongeable par continuité par la valeurln⁰(1) = 1, doncm est intégrable en1. En0, elle est équivalente à la fonction intégrable positive−ln, doncmest intégrable en0. Finalement mest intégrable sur]0,1[. I - 3.2. La fonction m_k : u7→ u^kln(u) est continue sur ]0,1], avec problème d’intégration en0. Pour tout n ≥ 1, elle est continue et prolongeable par continuité en 0 par la valeur0, donc intégrable en0. Pourn= 0 il s’agit de la fonctionm0= ln, intégrable sur]0,1]. On calcule par intégration par parties (les fonctions sont bien de classe C¹) :

∀ε∈]0,1], Z 1

ε

u^kln(u)du =

u^k+1ln(u) k+ 1

¹

ε

− 1 k+ 1

Z 1

ε

u^kdu = ε^k+1ln(ε)

k+ 1 −1−ε^k+1 (k+ 1)².

En faisant tendreεvers zéro, on obtient Z 1

0

u^kln(u)du = − 1 (k+ 1)² . I - 3.3.La somme de la série géométrique 1

1−u=

+∞

X

k=0

u^k pouru∈]−1,1[permet d’écrire que

∀u∈]0,1[, m(u) = ln(u) 1−u =

+∞

X

k=0

mk(u), où mk(u) = u^kln(u).

Appliquons le second théorème d’intégration terme à terme.

• Chaque fonctionmk est continue par morceaux sur ]0,1[.

• La série de fonctions X

k≥0

mk converge simplement vers la fonctionm.

• La série numérique de terme général Z 1

0

|m_k(u)|du= 1

(k+ 1)² converge.

Alorsmest intégrable sur]0,1[(on le savait déjà) et on a l’égalité Z 1

0

ln(u) u−1du =

Z 1

0 +∞

X

k=0

m_k(u)

! du =

+∞

X

k=0

Z 1

0

m_k(u)du =

+∞

X

k=0

1 (k+ 1)² .

Partie II : étude de quelques suites d’intégrales

II - 1. Soit(fn) une suite de fonctions continues par morceaux, définies sur un intervalleI de R, à valeurs dans le corpsKdes réels ou des complexes. On suppose que :

• La suite(fn)converge simplement vers une fonctionf :I→K

• La fonctionf est continue par morceaux.

• (Domination) Il existe une fonctionϕcontinue par morceaux deIdansR+, intégrable surI, telle que :

∀n∈N, ∀t∈I, |f_n(t)| ≤ϕ(t).

Alorsf et lesfn sont intégrables surI, la suite de terme général Z

I

fn converge et lim

n→+∞

Z

I

fn= Z

I

f . II - 2.

II - 2.1.On applique le TCD à la suite(f_n)_n de fonctions continues par morceaux définies par : ∀t∈[0,1[, f_n(t) = f(tⁿ).

• La suite (f_n)_n converge simplement vers la fonction constantef : t7→f(0) définie et continue par morceaux sur[0,1[.

• Commef est continue sur le segment[0,1], elle y est bornée. Comme tⁿ ∈[0,1[lorsque t∈[0,1[, la fonction ϕ=kfk^[0,1]∞ continue par morceaux et évidemment intégrable sur[0,1[, vérifie bien l’hypothèse de domination.

On en déduit que

n→+∞lim In = Z 1

0

f(0)dt=f(0).

II - 2.2. Soit n∈ N^∗. La fonction θ : u7→u^1/n est une bijection de classe C¹ entre ]0,1] et lui-même, de bijection réciproque également de classeC¹. La fonctionfn est intégrable sur]0,1](car continue sur le segment[0,1]), il en est de même de la fonction(f◦θ)θ⁰. D’après le théorème de changement de variable :

Z 1

0

f_n = Z 1

0

(f◦θ)|θ⁰|, c’est-à-dire

Z 1

0

f(tⁿ)dt = 1 n

Z 1

0

f(u)u^−1+1/ndu ou encore nIn = Z 1

0

f(u)

u u^1/ndu . Pour toutn∈N^∗, on posegn :u7→ ^f(u)_u u^1/n sur]0,1]. Appliquons le théorème de convergence dominée.

• Chaque fonctiong_n est continue par morceaux sur ]0,1].

• Il vientu^1/n= exp(^ln(u)_n )^n→+∞−→ 1pour toutufixé dans]0,1], donc la suite (gn)n converge simplement vers la fonctiong:u7→ ^f(u)_u qui est continue par morceaux sur]0,1].

• Commeu^1/n≤1 pour toutu∈]0,1], il vient|gn| ≤ |g|avec|g| continue sur]0,1]et intégrable.

On conclut que

n→+∞lim nIn = Z 1

0

f(u) u du .

II - 2.3.La question précédente (applicable puisque sinest continue surR+ et Z 1

0

sin(u)

u duconverge) donne : Z 1

0

sin(tⁿ)dt ∼

n→+∞

1 n

Z 1

0

sin(u) u du . II - 3.

II - 3.1.Soitn∈N^∗. La fonctionθ :u7→u^1/n est une bijection de classeC¹ de [1,+∞[ sur lui-même, de bijection réciproque de classe C¹. Par conséquent l’intégrabilité de fn sur [1,+∞[ est équivalente à l’intégrabilité de u 7→

(f◦θ)(u)θ⁰(u) = _n¹f(u)u^−1+1/nsur[1,+∞[. Or l’exposant−1 +_n¹ est négatif, donc :

∀u∈[1,+∞[,

f(u)u^−1+1/n

≤ |f(u)|,

ce qui prouve l’intégrabilité de(f◦θ)θ⁰, donc la convergence deAn et l’égalité nAn = n

Z +∞

1

f(tⁿ)dt= Z +∞

1

f(u)u^−1+1/ndu.

II - 3.2.Nous avons|g(u)|=|^f(u)_u | ≤ |f(u)|avecf intégrable sur[1,+∞[, ce qui nous permet d’appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctionskn définies par kn(u) =f(u)u^−1+1/npour u∈[1,+∞[(chaquekn et g sont continues par morceaux et la domination est|kn| ≤ |g|) :

n→+∞lim nA_n = Z +∞

1

f(u) u du . II - 4.

II - 4.1. Comme l’intégrale Z A

1

sin(tⁿ)dtest celle d’une fonction continue sur un segment, il suffit de vérifier que le changement de variableu7→u^1/nest de classeC¹ entre[1, Aⁿ]et[1, A], ce qui est clair. Il s’ensuit que

C_n(A) = 1 n

Z Aⁿ

1

sin(u)u^−1+1/ndu.

On intègre ensuite par parties en dérivant la fonction puissance et en intégrant la fonction trigonométrique (on choisit u7→1−cos(u)comme primitive), toutes les fonctions en jeu étant de classeC¹ sur[1, Aⁿ]:

C_n(A) = 1 n

h

(1−cos(u))u^−1+1/niAⁿ 1

−

−1 + 1 n

Z Aⁿ

1

(1−cos(u))u^−2+1/ndu

! ,

= 1

n

(1−cos (Aⁿ))A¹⁻ⁿ−1 + cos(1) + 1

n

1− 1 n

Z Aⁿ

1

1−cos(u)

u² u^1/ndu.

II - 4.2.D’une part le premier terme de la dernière expression est clairement de limite −1 + cos(1)

n quandA→+∞.

D’autre part l’intégrande du second terme se majore par

1−cos(u) u² u^1/n

≤ 2

u^3/2 dès que n ≥ 2, avec u 7→ 2 u^3/2 intégrable sur[1,+∞[; ceci nous permet d’obtenir la convergence de l’intégrale

Z +∞

1

1−cos(u)

u² u^1/nduet nous assure de l’existence d’une limite finie quand A→+∞de l’intégrale de la formule de la question précédente.

Par conséquent la limite quandA→+∞deCn(A)existe et vaut lim

A→+∞C_n(A) = Z +∞

1

sin(tⁿ)dt = 1

n(−1 + cos(1)) +1 n

1− 1

n

Z +∞

1

1−cos(u)

u² u^1/ndu .

II - 4.3.La même intégration par partie que ci-dessus (déjà justifiée à la question I.2), pratiquée sur le résultat de la question II-2.3, donne

n→+∞lim

n Z 1

0

sin(tⁿ)dt

= 1−cos(1) + Z 1

0

1−cos(u) u² du.

On applique ensuite le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions continues par morceaux (jn)_n≥2 définies parj_n :u7→ ^1−cos(u)_u2 u^1/nsur[1,+∞[. Cette suite converge simplement sur[1,+∞[vers la fonction continue k définie à la partie I, et vérifie la domination |jn(u)| ≤ψ(u) = 2

u^3/2, où ψ est continue par morceaux et intégrable sur[1,+∞[. On en déduit que

n→+∞lim

n Z +∞

1

sin(tⁿ)dt

= −1 + cos(1) + Z +∞

1

1−cos(u) u² du.

En ajoutant ces limites il vient

n→+∞lim

n Z +∞

0

sin(tⁿ)dt

= Z +∞

0

1−cos(u)

u² du = K = π 2 .

Partie III : étude de séries de fonctions

III - 1.Un premier exemple.

III - 1.1.Les séries géométriques sont au programme du cours. Ainsi pour tout x∈]−1,1[, il vient : F(x) = 1

1−x−1 = x

1−x et F⁰(x) = 1 (1−x)² . III - 1.2.À l’aide des valeurs calculées ci-dessus, on vérifie aisément que

lim

x<1 x→1

F(x) = +∞, lim

x<1 x→1

(1−x)F(x) = 1, lim

x<1 x→1

(1−x)F⁰(x) = +∞, lim

x<1 x→1

(1−x)²F⁰(x) = 1 .

III - 2.Un deuxième exemple. On notef_nla fonction définie sur]−1,1[par l’expressionf_n(x) = xⁿ

1−xⁿ = 1 1−xⁿ−1.

III - 2.1. Commefn est dérivable sur]−1,1[de dérivée f_n⁰ :x∈[0,1[7→ _(1−x^nxn−1n)², le tableau de variation de fn sur [−a, a]possède deux allures distinctes selon la parité den(pair à gauche, impair à droite) :

x −a 0 a

f_n⁰(x) − 0 +

f_n(x) f_n(−a) & 0 % f_n(a)

x −a 0 a

f_n⁰(x) + 0 +

f_n(x) f_n(−a) % 0 % f_n(a) Dans les deux cas, on en déduit que

kfnk^[−a,a]_∞ = max(|fn(−a)|,|fn(a)|)≤ |fn(−a)|+|fn(a)|·

Comme a∈]0,1[, on dispose des équivalents positifs |fn(−a)|^n→+∞∼ |fn(a)| ^n→+∞∼ aⁿ. On conclut à la convergence normale deP

n≥1fn sur le segment[−a, a].

La convergence normale sur tout segment entraînant la convergence simple des séries de fonctions, cela assure que F est définie sur]−1,1[. Par ailleurs, toutes les f_n sont continues. La convergence normale sur tout segment entraînant la convergence uniforme sur tout segment des séries de fonctions, la somme F est continue sur]−1,1[. III - 2.2.Il suffit de factoriser : pour toutx∈]0,1[et toutn∈N^∗, nous avons 1−xⁿ

1−x = 1 +x+· · ·+xⁿ⁻¹ ≤ n. On en déduit que pour toutx∈[0,1[, fn(x) = xⁿ

1−xⁿ ≥ xⁿ

n(1−x), puis que F(x) ≥ 1

1−x

+∞

X

n=1

xⁿ

n = −ln(1−x) 1−x . Il résulte alors de la minoration de F(x)ci-dessus que limx<1

x→1

F(x) = limx<1 x→1

(1−x)F(x) = +∞.

III - 3.Soit x∈]0,1[. Pour t∈]0,+∞[, on poseh(t) =f(x^t). On remarque pour abréger les calculs qui vont suivre que : ∀u∈]0,1[,x

ln(u) ln(x) = exp

ln(u) ln(x)ln(x)

= exp(ln(u)) =u.

III - 3.1. Puisque x ∈]0,1[, l’application ϕ : u 7→ ln(u)

ln(x) est une bijection de classe C¹ décroissante de ]0,1[ sur ]0,+∞[. Par conséquenth est intégrable sur]0,+∞[si et seulement si la fonction u7→(h◦ϕ)(u)|ϕ⁰(u)|= f(u)

u|ln(x)|

est intégrable sur]0,1[, ce qui est le cas par hypothèse. Il s’ensuit que G(x) = Z +∞

0

f(x^t)dt= Z 1

0

h(t)dtconverge et

G(x) = − 1 ln(x)

Z 1

0

f(u)

u|ln(x)|du = − 1 ln(x)

Z 1

0

f(u) u du.

III - 3.2.Soitn∈N^∗. Puisquex∈]0,1[etf est continue et croissante, l’applicationh:t7→f(x^t) =f(exp(tln(x))) est continue et décroissante sur]0,+∞[, donc

∀(s, t)∈[n+ 1, n]×[n−1, n], h(t) = f(x^t) ≤ h(n) = f(xⁿ) ≤ h(s) = f(x^s).

Par croissance de l’intégrale, on en déduit que

Z n+1

n

f(x^t)dt ≤ f(xⁿ) ≤ Z n

n−1

f(x^s)ds. III - 3.3. La majoration de l’encadrement ci-dessus et la convergence de l’intégrale

Z +∞

0

f(x^s)ds prouvent, par comparaison de SATP (f est positive), que P

n≥1f(xⁿ)converge . En utilisant cette fois l’encadrement au complet et la relation de Chasles, on en déduit que :

Z +∞

1

f(x^t)dt ≤ F(x) =

+∞

X

n=1

f(xⁿ) ≤ Z +∞

0

f(x^t)dt .

III - 3.4.L’encadrement de la question précédente s’écrit, après multiplication par 1−x >0:

∀x∈]0,1[, (1−x)G(x)−(1−x) Z 1

0

f(x^t)dt ≤ (1−x)F(x) ≤ (1−x)G(x).

Or (1−x)G(x) =−1−x lnx

Z 1

0

f(u) u du^x→1

−

−→

Z 1

0

f(u)

u ducarln(x)^x→1∼ x−1. Il suffit maintenant d’établir que l’on a (1−x)

Z 1

0

f(x^t)dt^x→1−→0pour pouvoir conclure, par le théorème d’encadrement, que lim

x<1 x→1

(1−x)F(x) = Z 1

0

f(u) u du. Pour cela, on effectue le même changement de variable qu’à la question III-3.1 :

(1−x) Z 1

0

f(x^t)dt = −1−x lnx

Z 1

x

f(u) u du ∼

x→1

Z 1

x

f(u) u du.

Or Z 1

x

f(u)

u duest un reste d’intégrale convergente, donc il tend vers zéro quand x→1, et la question est résolue.

III - 4.Un dernier exemple. Pour tout x∈]−1,1[, on pose enfin cette foisg_n(x) =−ln(1−xⁿ), ce qui définit une suite de fonctions de classe (au moins) C² sur]−1,1[. On fixea∈]0,1[.

III - 4.1.On a|g_n(x)|^n→+∞∼ |xⁿ|doncPg_n(x)converge absolument, puis converge, pour toutx∈]−1,1[. Ainsi la série de fonctionsP

≥1gn converge simplement sur ]−1,1[, ce qui prouve que F est définie sur]−1,1[. De plus : g_n⁰(x) = n xⁿ⁻¹

1−xⁿ, g_n⁰⁰(x) = n(n−1)xⁿ⁻²(1−xⁿ) +nx²⁽ⁿ⁻¹⁾

(1−xⁿ)² = nxⁿ⁻²n−1 +xⁿ (1−xⁿ)² .

Soitx∈]−1,1[. Sin≥2, alorsn−1 +xⁿ>0, doncsgn(g⁰⁰_n(x)) = sgn(xⁿ⁻²) = sgn(xⁿ). De même qu’en III-2.1 : kg⁰_nk^[−a,a]_∞ = max(|g_n⁰(−a)|,|g⁰_n(a)|) ≤ |g⁰_n(−a)|+|g⁰_n(a)|.

Or a ∈]0,1[, donc |g⁰_n(−a)| ∼ |g_n⁰(a)| ∼ naⁿ = O 1

n²

. Ceci implique la convergence normale de P

n≥1g⁰_n sur le segment[−a, a], c’est-à-dire la convergence normale deP

n≥1g_n⁰ sur tout segment de]−1,1[.

D’après le théorème de dérivation terme à terme : F =

+∞

X

n=1

g_n est de classeC¹sur]−1,1[ avec

∀x∈]−1,1[, F⁰(x) =

+∞

X

n=1

g_n⁰(x) =

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹ 1−xⁿ.

III - 4.2. On applique la question III-3.4 à la fonction continue croissantef :u7→ −ln(1−u)sur [0,1[et telle que f(0) = 0. Cette fonction vérifie bien que

Z 1

0

f(u)

u du =− Z 1

0

ln(1−u) u du =

Z 1

0

ln(v)

v−1dv converge (on a effectué le

changement de variablev7→1−v de]0,1[, de classeC¹ et bijectif de]0,1[dans lui-même). Par conséquent : lim

x<1 x→1

(1−x)F(x) = Z 1

0

f(u) u du =

Z 1

0

ln(v) v−1dv .

III - 4.3. On applique le principe suivant, caché par le découpage de la question III.3 en sous-questions : pour déterminer un équivalent d’une somme de série de fonctions x 7→ P+∞

n=1un(x) en une borne de son ensemble de définition, on peut encadrer cette somme entre deux intégrales, en fixantxet en remplaçant la variable entièrenpar une variable réelle positivet. Ceci est possible à condition que la fonction f :t7→ut(x)ainsi obtenue soit monotone pour pouvoir appliquer les techniques de comparaison série-intégrale.

On fixe doncx∈]0,1[(puisqu’on cherche un équivalent de F(x) quand x→ 1), et on pose f(t) = tx^t 1−x^t pour tout t ∈ R+ (attention : cette fonction f n’est pas l’analogue de la fonction f de la question III.3). On écrit que f(t) = tg(h(t)) avec d’une part h : t 7→ x^t = exp(tln(x)) de dérivée t 7→ (lnx)x^t, et d’autre part g : y 7→ _1−y^y de dérivéey7→ _(1−y)¹ 2. La fonctionf est alors de classeC¹ surR+ avec :

∀t∈R+, f⁰(t) = g(h(t)) +th⁰(t)g⁰(h(t)) = x^t

1−x^t+ t(lnx)x^t

(1−x^t)² = x^t

(1−x^t)²ϕ(t) avec ϕ(t) = 1−x^t+t(lnx).

La fonctionf⁰ est du signe de la fonctionϕ, qui est de classeC¹, avecϕ⁰(t) = (−lnx)x^t+ lnx= (lnx)(1−x^t)qui est négatif carx∈]0,1[. On en déduit le tableau des variations suivant :

t 0 +∞

ϕ⁰(t) − ϕ(t) 0 &

f⁰(t) −

La fonction f est donc décroissante, et la technique usuelle de comparaison série-intégrale entraîne G(x)−

Z 1

0

f(t)dt = Z +∞

1

f(t)dt ≤ F(x) =

+∞

X

n=1

nxⁿ

1−xⁿ ≤ G(x) :=

Z +∞

0

f(t)dt = Z +∞

0

tx^t 1−x^tdt.

Par changement de variablet=ln(u)

ln(x) pour lequelu=x^tet dt= du

uln(x), déjà utilisé (et justifié) à la question III.3 : G(x) =

Z 1

0

ln(u)u (1−u) ln(x)

du

u|lnx| = − 1 (lnx)²

Z 1

0

ln(u) 1−udu.

L’équivalent usuel du logarithme en1 montre que lim

x→1(1−x)²G(x) = Z 1

0

ln(u)

u−1du. Pour établir la limite souhaitée, il suffit donc de démontrer que(1−x)²

Z 1

0

tx^t

1−x^tdttend vers zéro quandx→1. Le même changement de variable que ci-dessus montre que :

(1−x)² Z 1

0

tx^t

1−x^tdt = (1−x)² (lnx)²

Z 1

x

ln(u)

u−1du ^x→1∼ Z 1

x

ln(u) u−1du.

Cette dernière intégrale est un reste d’intégrale convergente, donc elle tend vers zéro quandx→1, d’où la preuve que lim

x<1 x→1

(1−x)²

+∞

X

n=1

nxⁿ 1−xⁿ

!

= Z 1

0

ln(u) u−1du.

CommeF⁰(x)ne diffère de

+∞

X

n=1

nxⁿ

1−xⁿ que d’un facteur multiplicatifx(voir la question III.4.1), il vient enfin lim

x<1 x→1

((1−x)²F⁰(x)) = Z 1

0

ln(u) u−1du .

PROBLÈME 2 — CORSÉ

d’après Centrale 2016 PSI maths 2

1 Transformation de Fourier

I.A La fonctionϕest continue surR\ {−1/2,1/2}et en±1/2, elle admet des limites finies à droite et gauche. C’est donc une fonction continue par morceaux surR. Les seuls problèmes d’intégrabilité sont aux voisinages des infinis oùϕest nulle et donc intégrable. Finalement ϕ∈Ecpm .

On a immédiatement

∀x∈R^∗, F(ϕ)(x) = Z 1/2

−1/2

e^−2iπxtdt =

−e^−2iπxt 2iπx

^1/2

−1/2

= − 1

2iπx(e^−iπx−e^iπx) = sin(πx) πx . De plus

F(ϕ)(0) = Z 1/2

−1/2

dt = 1 .

On remarque (puisque sin(u)∼uau voisinage de0) queF(ϕ)est continue surR. I.B

I.B.1 On sait quesin est développable en série entière de rayon infini et en utilisant le DSE, on trouve que :

∀x6= 0, ψ(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)!(πx)²ⁿ =

+∞

X

n=0

(−π²)ⁿ (2n+ 1)!x²ⁿ .

La formule reste valable pourx= 0. D’où le DSE deψ et le fait que le rayon de convergence est infini . La somme d’une série entière étant de classeC^∞ sur l’intervalle ouvert de convergence, on a ψ∈C^∞(R). I.B.2 Soitn∈N. Pour toutx∈[n, n+ 1], il vient 1

x≥ 1

n+ 1. On en déduit que Z n+1

n

|ψ(x)|dx ≥ 1 π(n+ 1)

Z n+1

n

|sin(πx)|dx.

La fonctionx7→ |sin(πx)|étant1-périodique, l’intégrale ci-dessus est égale à celle sur[0,1]où la fonction est positive. On peut enlever les valeurs absolue et l’intégrale vaut

Z 1

0

cos(πx)dx= 2 π. Ainsi Z n+1

n

|ψ(x)|dx ≥ 2 π²(n+ 1) . On en déduit que

Z n

0

|ψ(x)|dx≥ 2 π²

n

X

k=1

1 k

n→+∞−→ +∞.

Ainsi la fonction c7→

Z c

0

|ψ(x)|dxest croissante surR⁺ et ce qui précède montre qu’elle n’est pas bornée.

Elle est donc de limite infinie en+∞, etψn’est pas intégrable surR⁺. En particulier ψ /∈Ecpm . I.C Il s’agit d’utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètres. Soit f ∈Ecpm eth(x, t) =f(t)e^−2iπxt.

• Pour toutx∈R,h(x,·)est continue par morceaux sur R.

• Pour toutt∈R,h(·, t)est continue surR.

• Pour tout [−a, a] ⊂ R, pour tout x ∈ [−a, a], pour tout t ∈ R, |f(t)e^−2iπxt| = |f(t)|. Le majorant est indépendant de x, continu par morceaux et intégrable sur R.

Le théorème s’applique et donne F(f)∈C⁰(R). I.D Soitf ∈ S.

I.D.1 Soit n ∈ N. La fonction x 7→ xⁿf(x) est continue sur R et les seuls problèmes d’intégrabilité sont au voisinage des infinis. Orx²×(xⁿf(x)) =xⁿ⁺²f(x)est bornée surR, doncxⁿf(x) =O(1/x²)au voisinage des infinis, ce qui nous donne l’ intégrabilité de x7→xⁿf(x).

I.D.2 On veut maintenant utiliser le théorème de dérivation sous le signe R

, avech(x, t) =f(t)e^−2iπxt :

• Pour toutx∈R,h(x,·)est continue par morceaux et intégrable surR.

• La fonction h admet sur R×R une dérivée partielle par rapport à x à tout ordre : ∂^pf

∂x^p(x, t) = (−2iπ)ⁿtⁿf(t)e^−2iπxt.

• Vérifions que ces dérivées partielles satisfont les hypothèses du théorème de continuité sous le signeR :

? Pour toutx∈R, la fonction ∂^pf

∂x^p(x,·)est continue par morceaux surR.

? Pour toutt∈R, la fonction ∂^pf

∂x^p(·, t)est continue surR.

? Soit(x, t)∈[−a, a]×R, alors

∂^pf

∂x^p(x, t)

=|(−2iπ)ⁿtⁿf(t)e^−2iπxt|= (2π)ⁿ|tⁿf(t)|=ν(t). La fonction ν est positive, continue par morceaux et intégrable surR(on vient de le voir).

D’après le théorème, la fonctionF(f)est de classeC^∞ sur (tout segment[−a, a]donc sur)Ravec :

∀n∈N, ∀x∈R, (F(f))⁽ⁿ⁾(x) = (−2iπ)ⁿ Z +∞

−∞

tⁿf(t)e^−2iπxdt .

I.E

I.E.1 La fonction θest continue et θ(x)est négligeable devant toute puissance de xau voisinage des infinis par croissances comparées. En particulier pour toutn∈N,x7→xⁿθ(x)est continue et de limite finie (et même nulle) en±∞et donc bornée. Ainsi θ∈ S .

La question I.D.2donne la dérivabilité de y=F(θ)avec

∀x∈R, y⁰(x) = (−2iπ) Z +∞

−∞

te^−πt2e^−2iπxtdt.

On effectue une intégration par parties avec u⁰(t) = te^−2iπt2 et v(t) = e^−2iπtx, les fonctions uet v étant bien de classeC¹ surR:

y⁰(x) = (−2iπ) 1

−2πe^−πt2e^−2iπtx +∞

−∞

−(−2iπ) Z +∞

−∞

1

−2πe^−πt2(−2iπx)e^−2iπxtdt.

Le terme tout intégré est nul puisque |e^−πt2e^−2iπxt|=e^{−πt2t→±∞}−→ 0. Ainsi comme attendu F(θ)est solution de l’EDL y⁰(x) = −2πxy(x).

I.E.2 On résout cette équation différentielle linéaire d’ordre1. Il existe une constantectelle que

∀x∈R, F(θ)(x) = ce^−πx2.

Avec F(θ)(x) = Z +∞

−∞

e^−πt2e^−2iπxtdt il vient F(θ)(0) = Z +∞

−∞

e^−πt2dt = Z +∞

−∞

θ(t)dt = 1 (donné dans l’énoncé), on en déduit que F(θ)(0) = 1d’oùc= 1. Finalement

∀x∈R, F(θ)(x) = e^−πx2 = θ(x).

2 Formule d’inversion de Fourier

II.A Appliquons le théorème de convergence dominée (TCD) surRavec la fonctionu_n :x7→ F(f)(x)θ _n^x :

• Chaque un est continue par morceaux sur R.

• par continuité deθ en0, la suite(u_n)_n converge simplement surRversF(f), qui est continue par morceaux surR.

• Pour tout n,|un| ≤ |F(f)|(car|θ|est majorée par 1) avec|F(f)|qui est continue par morceaux, positive et intégrable sur Rpar hypothèse de cette partie.

D’après le TCD, chaque u_n etf sont intégrables surRet

n→+∞lim In = Z +∞

−∞

F(f)(x)dx .

II.B Appliquons le théorème de convergence dominée surRavec la fonctionvn:t7→ F(θ)(t)f _n^t

=θ(t)f t

n

:

• Chaque vn est continue par morceaux sur R.

• Par continuité def en0, la suite(v_n)_n converge simplement surRversf(0)θ, qui est continue par morceaux surR.

• La fonction f étant dans S, la fonction t 7→t⁰f(t)est bornée surR doncf est bornée surR. Il vient alors

|vn| ≤ kfk_∞θaveckfk_∞θ qui est positive, continue par morceaux et intégrable surR. D’après le TCD, chaque v_n et f sont intégrables surRet

n→+∞lim Jn = f(0) Z +∞

−∞

θ(t)dt = f(0).

II.C En revenant à la définition deF(f), nous avons : In =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f(t)e^−2iπxtθx n

dt

dx = Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f(t)e^−2iπxtθx n

dx

dt (Fubini)

= n

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f(t)e^−2inπutθ(u)du

dt (avecu=x/n)

= Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f t

n

e^−2iπutθ(u)du

dt (avecv=nt)

= Z +∞

−∞

f t

n

Z +∞

−∞

e^−2iπutθ(u)du

dt = Z +∞

−∞

f t

n

F(θ)(t)dt

ce qui permet d’affirmer que In=Jn .

II.D Il suffit de combiner les trois questions qui précèdent et l’unicité de la limite pour conclure que f(0) =

Z +∞

−∞

F(f)(x)dx .

Fixons x∈Ret appliquons ce qui précède àh:t7→f(x+t). La fonctionhest continue (carf l’est). De plus, pour |t|assez grand,

tⁿh(t) = tⁿ

(x+t)ⁿ(x+t)ⁿf(x+t) ^t→±∞∼ (x+t)ⁿf(x+t),

ce qui montre que t 7→ tⁿh(t) est bornée (car f l’est), au voisinage des infinis et donc sur R. Par conséquent h∈ S et on peut lui appliquer ce qui précède. Il s’ensuit que

f(x) = h(0) = Z +∞

−∞

F(h)(y)dy.