Relaxation par collisions d'échange de spins. (II)

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Submitted on 1 Jan 1968

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Relaxation par collisions d’échange de spins. (II)

F. Grossetête

To cite this version:

F. Grossetête. Relaxation par collisions d’échange de spins. (II). Journal de Physique, 1968, 29 (5-6),

pp.456-466. �10.1051/jphys:01968002905-6045600�. �jpa-00206671�

RELAXATION PAR

COLLISIONS D’ÉCHANGE

^{DE SPINS}

(II) (1)

Par F.

GROSSETÊTE,

Faculté des Sciences de Paris, Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l’E.N.S., ^{associé au C.N.R.S.}

(Reçu

le 14 décembre

1967.)

Résumé. - Divers résultats nouveaux,

complétant

l’étude de la relaxation d’une vapeur alcaline par collisions

d’échange

^de

spins électroniques,

^{sont donnés ici : état} stationnaire atteint par ^le

système atomique, déplacements

des niveaux

d’énergie

d’un atome par suite des collisions avec des atomes différents, influence des collisions entre atomes

identiques

^sur

l’évolution de diverses observables...

Abstract. ²⁰¹⁴ Some new results,

completing

^the

study

^of

spin exchange

relaxation of an

alkaline vapor, ^are

reported

^{here :}

stationary

^{state reached}

by

^{the atomic} system, energy level shifts of an atom due to collisions with different atoms, influence of collisions with identical atoms on the evolution of different observables...

LE JOURNAL PHYSIQUE 29, MAI-JUIN 1968, :

Dans un article

publi6

^{en 1964 au}

Journal

^de

Physique [1]

^et

designe

dans la suite _par

JP,

^nous

avons 6tudi6 certains aspects de la relaxation d’une vapeur alcaline sous l’influence des collisions entre

atomes, ^en admettant que

chaque

^{collision entre}

deux alcalins se traduit _par un

6change

^{de leurs}

spins électroniques.

^{Nous avons,}

depuis, poursuivi

1’6tude de ces collisions

[2]

^{et nous}

publions

^{ici les}

resultats nouveaux obtenus.

Cet article

comprend

^deux

parties :

La

premiere

^6tudie

1’effet,

^sur des alcalins

1,

^de

collisions avec des alcalins 2

d’esp6ce

differente :

- Dans le cas ou la

polarisation electronique S2 >

des atomes 2 est

nulle, 1’equation

d’evolution de la matrice densite _p, des atomes 1 est

identique

^a

1’equa-

tion

rigoureuse

^de

Balling,

^{Hanson et}

Pipkin [3].

- Un transfert de coherence est

possible

^{d’un atome}

a 1’autre dans certaines conditions que nous examinons.

- Le terme

suppl6mentaire qu’il

^faut

ajouter

^a

1’equation

^de

JP

pour obtenir

1’expression

^{exacte de}

Balling et

^{al. entraine sur} 1’ensemble des niveaux

d’6nergie

^des

deplacements equivalents

^{a ceux}

qui

seraient obtenus _par un

champ magn6tique supple-

mentaire.

- Sous l’influence des seules collisions

d’6change,

1’etat

d’6quilibre

^du

systeme atomique

^{est different}

de celui de

1’equilibre

^de

Boltzmann;

^{nous le}

pr6cisons.

- Une

experience

prouve que, lors d’une

collision,

seule est transmise la

polarisation 6lectronique,

^a

1’exclusion de la

polarisation hyperfine.

(1)

Cet article

complete

^un article paru ^sur le même

sujet

^au

Journal

^de

Physique

^{en 1964.}

La seconde

partie

traite des collisions entre atomes

identiques :

-

L’équation

^6tablie par

Balling et

^al.

[3]

^{ne differe}

de celle

adoptee

^dans

JP

pour 1’6tude de la relaxation que par des termes

n6gligeables

dans les conditions

experimentales

habituelles.

- Dans

I’hypoth6se

^{ou le}

systeme

^{6volue sous le}

seul effet de

l’échange, l’état d’6quilibre

^est

identique

a celui

qui

^{est obtenu} pour des collisions entre atomes

differents. Nous

6tablissons,

^{avec cette meme}

hypothese,

les

equations

de relaxation de diverses observables.

-

Enfin,

^le

systeme

^{est 6tudi6 en tenant} compte simultan6ment des collisions

d’6change

^et des colli- sions contre l’enduit de

paraffine

^{de la}

paroi

^{de la}

cellule.

Comme dans

JP,

^toutes les matrices densite consi- d6r6es ici d6crivent

uniquement

1’6tat des variables de

spins 6lectronique

^et nucleaire des ^atomes.

1. COLLISIONS ENTRE ATOMES

DIFFPRENTS

1. Introduction.

equation

devolution. ^- Nous supposons que la cellule contient

N1

^atomes par cm3 de

1’espece

¹

(matrice

^densite

pl)

^et

N2

^atomes par cm3 de

1’espece

²

(matrice

^densite

P2),

^avec

N2 >> Nl.

Pour les atomes

1,

1’effet des collisions 1-1 est

n6gli- geable

devant celui des collisions

1-2; l’équation

^d’6vo-

lution de _p, sous l’influence de l’hamiltonien

statique H1

et des collisions

d’6change

1-2 s’6crit alors

[2], [3] :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002905-6045600

T,

^{est le} temps moyen

qui s6pare

deux collisions suc-

cessives d’un atome 1 donne avec les atomes 2 :

(v12

vitesse relative moyenne des ^atomes

1-2, 7tai2

^sec-

tion efficace

d’6change 1-2).

Une

expression simple

^de

pe

^{est donnee} par

1’6qua-

tion

(1.5 a)

^de

JP.

^I

Le

parametre

^{K est tres}

petit;

^il

repr6sente

^une

moyenne ^sur 1’ensemble des ^atomes du

parametre

^K

défini dans

[3].

L’expression

^de

Pd1,

donnee dans

[3],

^{est :}

Pd1

^{= Trace sur 1’atome 2 de}

^{[2S1. S2,}

^{Pl ©}

^{P2] (I . 2)}

ou

S1

^et

S2

^{sont les}

spins 6lectroniques

^{des atomes 1}

et 2. Nous pouvons

simplifier (1.2)

^en

appliquant

la m6thode de calcul de Trace sur 2

expos6e

^dans

JP

et nous obtenons :

Pd1, de

^même que

pe1, ne depend de

l’etat de l’atome 2 _que

par

l’intermédiaire de sa

polarisation électronique S2 >.

Dans

JP,

^{nous avions}

négligé

^{Ie terme}

iKPd,

^{et nous}

avions calcule la relaxation de _PI

lorsque S2 >

^{= 0.}

Or,

^nous voyons ^sur 1.3 _que, dans cette

hypothèse, Pi

^{est nulle.}

L’équation

d’6volution

adoptee

^dans

JP

est donc

rigoureuse.

^Les verifications

experimentales

concernant, la relaxation de

grandeurs longitudinales (polarisation 6lectronique ( S01 >; polarisation hyper- fine Sl . I1 >; polarisation 6lectronique

dans le niveau

hyperfin ?=/-)-_, S )cp)

^ont ete faites sur les deux

isotopes

^du

^Rb,

^87Rb

(I

⁼

3/2)

^{et a5Rb}

(I = 5/2),

relaxant _par collisions contre du Cs

[4], [5], [6]

^en

maintenant

nulle

^S°

>cs

par ^un

champ

^{de radio-}

frequence

convenable. Les mesures ont confirm6 la th6orie.

Nous allons maintenant 6tudier

quelques propri6t6s

du

systeme atomique lorsque S2

^{0. Pour}

cela,

nous passerons ^en

representation

d’interaction et nous

poserons :

Nous aurons alors a r6soudre

1’equation suivante, qui

^est

rigoureuse :

avec

[2] :

et :

Dans

(I.5 a)

^et

(1 .5 b), p est 6gal ^{a 0,}

^{+ ou -,}

( p, q, r)

est une

permutation

^de

(0, +, -) ;

la sommation

sur p

comporte donc 3 termes ;

S2r >

^{est la}

polarisation 6lectronique

de 1’atome 2 dans la

representation

du laboratoire et non en

repre-

sentation

d’interaction;

^ce n’est pas ^{un terme}

statique.

Une

partie de S2r >

^{oscille aux}

fréquences AE(2)

de 1’etat fondamental de 1’atome 2.

2.

Approximation

sdeulaire. Transfert de coherence d’un atome a un autre. ^- Le

systeme d’equations (I .4)

est lin6aire ^en

p 1

^{et lin6aire en}

P 2

^mais

depend

^de

termes P 1 P 2

^De

plus,

^ses coefficients sont de la forme ei ^AEt OÙ :

1’atome 1.

AE(2), qui

^{est une}

frequence

d’evolution

de S2 >,

ne

depend

que de 1’atome 2.

Comme

dans JP,

^nous

simplifions (I .4)

par

l’approxi-

mation siculaire : nous ne

gardons

^{les termes affect6s}

d’un coefficient oscillant en

ei AEt

_{que si :}

La solution du

systeme simplifi6

^{est alors tres voisine}

de la solution exacte

[7].

Pour r6aliser la condition

(1.6),

^il

^faut,

^en

general,

que l’on ait

s6par6ment AE(1) =

^{0 et}

AE(2) ~

^0.

Dans ce cas, ^aucune coherence

port6e

par ^{un atome}

ne

peut

^{6tre transmise a un autre :} les évolutions des elements ^non

diagonaux

^de

P 1

^et

P 2

^sont

d6coupl6es.

Cependant,

^on

peut

^avoir

AE(l) -- - AE(2) =A

⁰

dans certains ^cas

particuliers.

¹¹ y ^a alors

possibilite

d’un transfert de coherence d’un ^{atome a} 1’autre.

Remarquons

^{tout de suite que les} structures

hyper-

fines des divers alcalins 6tant tres

differentes,

^{il ne}

peut

y avoir _que des transferts de coherence Zeeman.

Ils se feront par suite de

1’echange

^{de la}

partie

^des

polarisations 6lectroniques

transversales

dependant

^des

elements ^non

diagonaux

^{AF =}

^0, Am,

^{= + 1 de}

la matrice densite. Ceci peut ^se

produire

^en

champ

faible

lorsque

^{les deux} atomes ont presque le ^m6me facteur de Lande parce

qu’ils

^{ont le meme}

^spin

nucl6aire ^- par

exemple

pour deux ^atomes choisis

parmi Na, 39K, 41K,

^87Rb pour

lesquels I = 3/2.

^Dans

ce cas, l’élément ^non

diagonal F, m I PI I F, m :l::: 1 >

peut ^{devenir non nul par} suite des collisions 1-2

lorsque F, m’ p 2 IF, m’ :l::: 1 > =A 0 et vice

^versa.

3.

Ddplacement.

^{- Nous} 6tudions maintenant 1’effet du ^terme

iKPi

^dans

1’equation (1.4).

Nous nous

plaqons

^dans

I’hypoth6se

^{ou la condi-}

tion AE ~ 0 ne

peut

^6tre satisfaite _que

si, séparément :

a

1/Te pr6s.

Nous supposons donc que les

fréquences

^{des atomes}

sont nettement differentes ^ou sinon

que S2+ >

^est

nulle.

L’approximation

^{s6culaire nous} conduit alors a

remplacer,

^dans

1’equation (I.4), 1’expression (I .5 b)

de

P i

^{par :}

où s2 )8t. repr6sente

^la

partie statique ^de s2 >.

(On

^{ne tient} pas

compte

^{des termes 6voluant a une}

frequence

de l’ordre de la

frequence hyperfine.)

En absence de

polarisation 6lectronique longitu-

dinale des ^atomes

2, P i

^est donc nulle.

Les elements

diagonaux

^de

p i

^sont

toujours

^nuls.

II pf 1m)

n’est diff6rent de zero que

si Il) =F 1m);

il donne

alors,

^dans

l’équation

d’evolution de

II p I 1m),

^{un terme}

imaginaire proportionnel

^a

s2 )st. qui repr6sente

^une variation de la

frequence

d’evolution

de II PI 1m),

c’est-a-dire un

d6place-

ment des

niveaux Il) et 1m).

^Le

deplacement

^du

niveau Il )

^{est :}

Tout se passe ^comme si le

spin ilectronique

^n’était

plus

^{dans le}

champ magn6tique

^H mais dans un

champ magn6tique legerement

different :

Comme la

separation

Zeeman des niveaux

d’6nergie

est d6termin6e _par 1’action du

champ magn6tique

sur le

spin 6lectronique (a l’approximation gI gs),

on peut ^dire que le

champ magnetique agissant

^sur

1’ a t o m est modifie de la

quantite - 2K T ^{Te S2 o gt.} .

^{9S V-B}

Les

élargissements

de niveaux dus a

1’echange

^6tant

de l’ordre de

ljTe,

^nous voyons que le rapport

d6place-

ment sur

61argissement

^est de l’ordre de

2K s2 >st-;

K est

proportionnel A sin 2 (aS _ 8T), aS

^et

8l

l

6tant les

d6phasages produits

^{sur 1’onde}

partielle

^I

par la diffusion dans les

potentiels singulet

^et

triplet.

Or de tres nombreuses ondes

partielles

interviennent dans les collisions

alcalin-alcalin;

^on peut ^donc penser

qu’il

y ^a

compensation

^{entre ces} diverses ondes et que le rapport

deplacement

^sur

61argissement

^est

plus petit

que dans le cas e-Rb ou seule l’onde S

est diffusée

(il

^{vaut 2}

%

^{dans ce dernier cas, comme}

l’ont montre les mesures de

Balling et

^al.

[3]).

Remarquons enfin,

^sur la formule

(1.7), qu’il n’y

^a pas de

deplacement

par

6change

de la raie

(p’ 0)

^-

(cp’, 0) puisque :

4.

Iltat

stationnaire. ^- Nous avons vu dans

JP

que la

polarisation longitudinale totale F° )

⁼

N1 F01 >

+

N2 F02 >

^n’6tait pas modifi6e _par les collisions

d’6change

1-2. Sous l’action de ces seules

collisions,

le

systeme

^{ne tend donc} pas ^vers

1’equilibre

^{de Boltz-}

mann

qui correspond i1 ( PO)

^{= 0.}

Cependant,

^a

plus

^{ou moins}

longue 6ch6ance,

^la

polarisation

^finit

toujours

par s’annuler sous 1’effet des autres causes

de

relaxation;

^{ne tenir} compte que de 1’effet des col- lisions entre alcalins n’est donc _pas r6aliste. Nous cher- cherons n6anmoins 1’etat stationnaire atteint dans ce cas fictif.

Si,

^en

effet,

par suite des ^causes de relaxation

autres que

l’échange, F°

^{varie avec une constante}

de

temps

^{T telle} que

Te T,

^on pourra consid6rer

qu’a

^tout instant t les elements des matrices densite des deux atomes seront ceux de 1’etat stationnaire

lorsque

^la

polarisation est FO(t) ^).

Nous donnerons la solution de

dp1/dt

⁼ 0 dans deux cas : le

champ magn6tique

^{est faible ou fort.}

a)

^CHAMP

MAGNETIQ,UE

^{FAIBLE. - Le}

champ magn6- tique

^est suffisamment faible pour que F soit un bon nombre

quantique.

^{Sur les}

equations (I.5),

^{3 on voit}

qu’un

^{6tat ou tous} les elements non

diagonaux

^{de la}

matrice densite sont nuls

repr6sente

^{un 6tat station-}

naire du

systeme atomique.

^Nous admettrons que le

systeme atomique

^{atteint cet 6tat}

d’equilibre.

^Remar-

quons que ^toute coherence

qui

passe d’un ^{atome a} 1’autre au cours d’une collision est

perdue;

^il y ^a donc la un m6canisme de destruction de la coherence

qui justifie

^notre

hypothese.

Dans ces

conditions,

^{nous cherchons les valeurs}

des

populations

^a

l’équilibre (ptmm

^{celle du niveau}

celle du niveau

Pour

cela,

^nous montrerons d’abord _que

ptmm

⁼

Ps1mm ;

s

nous en déduirons _que

Pls m

^est

indépendant

^{de m et}

Plmm

,

nous obtiendrons alors les valeurs de

ptmm

^et

Pim [8].

Considérons

l’opérateur :

Nous pouvons calculer sa valeur _moyenne

apres échange.

On obtient :

D’autre part, ^a l’état stationnaire :

et, ^comme le

systeme

^ne

possede

^aucune coherence :

donc :

Explicitons

^cette derniere relation. Il vient :

ou k est une constante non nulle.

11 en r6sulte

bien,

comme nous l’avions annoncé :

Calculons maintenant

prmm/P:nm’

^Pour

^cela,

^dédui-

sons de

(1.5)

^les

expressions

^de

Plmm

^et

p[£,

^ecrivons

qu’à

l’état stationnaire :

et utilisons

(I.9).

11 vient immédiatement :

et par recurrence :

A

1’equilibre,

^{on a donc :}

avec :

De

(1.10)

^et

(I.11), on deduit :

et la relation

sym6trique

^de

(I.11) :

On montrerait de _{meme que} 1’etat stationnaire d’un ensemble d’atomes 2 soumis a des collisions contre des

atomes 1 est donne _{par :}

où B

^{est le} meme que

pr6c6demment.

D’autre

part,

comme nous le verrons

plus loin,

^la

r6partition pïmm

⁼

Ps1mm

⁼

À1 e-m[3

décrit 1’6tat ^sta- tionnaire d’un ensemble d’atomes 1 soumis a des collisions

d’6change

entre atomes 1 et la

r6partition P28mm

⁼

P2rnm

⁼

X2e-mO

d6crit 1’etat stationnaire d’un ensemble d’atomes 2 soumis a des collisions

d’6change

entre atomes 2.

Ainsi, lorsqu’on

^tient

compte

^{de toutes} les collisions entre

alcalins,

^les

populations

^{a l’état}

stationnaire ^sont donnees _par les

equations (I.10)

et

(I .12). À1

^et

À2

^sont d6termin6es _par les conditions :

et valent :

B

^{est un}

parametre

que l’on peut ^{calculer en fonction} de

l’invariant ( F° > puisque,

^{si le}

systeme

^{est hors}

d’équilibre,

^{on sait}

qu’il

6volue de telle sorte que

po >

reste constant. On a done :

F°

>in.

^{est connu} par les conditions

initiales;

^F°

)éq.

s’exprime

^a

partir

^de

(I .10)

^et

(I .12)

^{en fonction}

de B

que l’on peut alors calculer.

Ainsi,

^a

l’équilibre,

^les

populations

^ne

dépendent

que de _mF; elles ne

dependent

pas du niveau

hyperfin;

elles sont les memes pour les deux sortes d’atomes

lorsqu’ils

^{ont le meme}

spin

nucl6aire. Les coh6rences

sont nulles. Les

polarisations 6lectroniques longitu-

dinales sont

6gales,

^{meme si les}

spins

nucl6aires ^sont differents. Si seul l’atome 1 a initialement de la

polari-

sation

6lectronique (obtenue,

par

exemple,

par pom- page

optique),

1’atome 2 en

acquiert

^par

6change

avec 1. Nous constatons, ^sur

(1. 9),

^,

qu’il

^n’existe

pas alors de difference de

populations

^{entre les}

niveaux

(c2, 0)

^et

(y’, 0)

de 1’atome 2. Il avait 6t6

sugg6r6

^{de faire une}

horloge atomique

fonctionnant

sur une transition

hyperfine

^{de 2 oriente} par

6change

avec 1

pomp6 optiquement

dans le but d’6viter les

deplacements

lumineux dus ^au _pompage

optique

direct sur 2

(1’echange

^entre alcalins n’introduisant pas de

deplacement appreciable).

^{On voit que 1’hor-}

loge

^ne

peut

fonctionner sur la raie

(Y2, 0)

²⁰¹³

(cp2, 0).

Par contre, ^on

peut

observer les raies

(Y2, 0)

^-

(cp2, 1 )

et

(cp2, 0)

^-

(cp2, - 1)

^{dont la}

frequence

^{de batte-}

ment donne la

frequence

de la raie

(cp2,

^{0 --}

Y2’, 0) (en champ

^tres

faible).

^Des

experiences [9]

^ont

montre

qu’on

creait effectivement ^une orientation

hyperfine

^{de 2 lors} des collisions de 2 avec 1 oriente

optiquement

mais que, ^comme

pr6vu,

^{il etait}

impos-

sible d’observer la transition

(cp2, 0)

^-

(p§, 0).

La forme

(I .10)

^et

(I .12)

^de

Ps,

^{2mm et}

Pis2m

^a

deja

^6t6

sugg6r6e

^par

^Anderson, Pipkin

^{et Baird}

[10] :

ils ont calcule 1’etat stationnaire

correspondant

^a

des collisions sodium-azote ^en

supposant

que les

atomes n’ont pas de

spin

^{nucl6aire et ont trouve une}

r6partition

^en

^e-mf3.

^Ils

indiquent ensuite,

^sans

justi- fication,

que ^cette

r6partition

^{a la meme forme}

lorsqu’on

^tient compte ^du

spin nucl6aire,

^ce

qui

^est

effectivement vrai. Ils

appellent P parametre

^{de tem-}

p6rature

^de

spin

^{du moment}

angulaire ( « angular

momentum

spin temperature ») .

b)

^CHAMP

MAGNÉTIQUE

^{FORT. - Nous} supposons

que

^{I et S sont} totalement

decouples.

Nous avons

deja

^{montre dans}

JP

que la ^somme des

populations

des deux niveaux de

meme mI

^reste

constante

puisque :

Nous voyons

alors,

^{sur les}

equations (IV. 2) de JP,

que 1’etat stationnaire

correspond

^{a :}

oii S est la valeur commune des

polarisations

^6lectro-

niques

^{des atomes 1 et 2 a} 1’etat stationnaire. S se

calcule a

partir

de l’invariant F° :

10 1

^et

I2

^{6tant cons-}

tants

(cf. JP), l’invariance

de F° conduit a

l’équation :

5. Transfert de

polarisation dlectronique

lors d’une collision

d’échange.

^{- Nous}

signalons

^{enfin une}

experience qui

^montre que c’est la

polarisation

^elec-

tronique S >

^{et non la}

polarisation hyperfine ( S. I >

qui

^{se transmet d’un atome a} 1’autre lors d’une col- lision entre deux alcalins.

Nous avons v6rifi6

qu’un

^alcalin

A,

pour

lequel S. I > A =1=

^{0 et}

SOA >

⁼

0,

^ne peut ^trans-

mettre tout ou

partie

^{de sa}

polarisation hyperfine

a un alcalin _{B par} collision

d’6change.

L’obtention d’une orientation

hyperfine

^de

B,

^{S. I}

>B,

par collision

avec A ne

peut

^se faire que par l’interm6diaire des _po- larisations

électroniques :

^{on oriente A de telle sorte} que

S1 ) =1= 0,

^B

acquiert

^{de la}

polarisation 6lectronique SBO >

par

échange.

^{I1 en r6sulte}

que

^{S .}

1 >B :0

^0.

L’exp6rience

^a ete r6alis6e ^sur le

montage

^d6crit dans

[11],

^{avec une cellule contenant A ,= 85 Rb et}

B ⁼ Cs. Le

rapport

des nombres d’atomes

ncs/nRb

est environ

3,5

^{dans cette} cellule. Nous orientons Rb a 1’aide du faisceau

pompant Fp,

^{dont la source 6met}

la raie de resonance de Rb. Nous

détectons

^S.

I >cs

a l’aide du faisceau d6tecteur

Fd, perpendiculaire

a

Fp,

^{dont la source} 6met la raie de resonance de Cs.

Cette

experience

comporte ^deux

parties;

^{les caract6-}

ristiques

^{de Fd restent les memes dans les}

^deux,

^celles

de F"

changent

^{de l’une a 1’autre.}

a)

^{F" est}

polarise

^{en 6+.} On cree ainsi des

polari- sations

^So

>Rb et

^{S . I}

>Rb importantes.

^{On trouve}

alors _que la

polarisation électronique So )>cs

^du

cesium est non nulle :

lorsqu’on applique

^un

champ

de

radiofr6quence

^{a la}

frequence

^{Zeeman de}

Cs,

S°

>Rb

^est modifi6e. D’autre

part,

^on

observe,

^sur

Fd,

^une

polarisation hyperfine

^{S. I}

>Cs.

b)

^{F" n’est}

plus polarise

^{et nous}

plaçons

^{sur son}

trajet

^{un filtre «}

hyperfin » [12].

^{Nous obtenons}

ainsi,

pour

Rb,

^{un etat dans}

lequel

^{S . I}

)Rb

^est

grande

^et

s°

>Rb

^est nulle. Nous n’avons _pu alors detecter

aucun

signal (

^{S. I}

>Cs.

Dans les deux _cas, la cellule etait a 44

OC, temp6-

rature a

laquelle

^le

temps d’6change

^{de Cs avec Rb}

etait suffisamment court

(23 ms)

pour assurer un bon transfert de

polarisation

^{de Rb a Cs et le} temps ^de relaxation de Rb _pas trop ^court pour

que

^So

>Rb

soit

grand.

^{Nous avons} pu ainsi obtenir une

polari-

sation

hyperfine

^{S. I}

>Cs importante

^{dans la} pre- mi6re

experience

^{et nous} pouvons affirmer _que, dans la

seconde, S. I >c.

^est inferieure a

10 %

^{de ce}

qu’elle

etait dans la

premiere.

II. COLLISIONS ENTRE ATOMES

IDENTIQUES

1. Introduction.

Equation

devolution. ^- Nous consid6rons maintenant une cellule contenant une

seule

espece

d’atomes. Pour d6crire 1’evolution de la matrice densite _p de ces atomes sous l’influence de l’hamiltonien

statique

^{af et} des collisions entre atomes

identiques,

^nous avions 6crit dans

JP 1’equation :

T’e

^{est Ie} temps

qui sépare

deux collisions _pour un atome

donne,

Pe ^est donne par

(1.5 b)

^de

JP.

L’équation rigoureuse (cf. éq. (B. 2)

^de

[3])

^contient

en

plus

^{un terme}

imaginaire (iK’l T’) pd

^très

analogue

a

(iKfTe) pf

intervenant dans

1’6quation

^d6crivant

les collisions entre atomes differents et un autre terme

qui provient

^{de ce}

qu’on

^{a tenu} compte de l’identit6 des c0153urs des atomes entrant en

collision;

^{ce deuxième}

terme est

proportionnel

^{a :}

alors _que Ie terme

(p - pe) / T;, apparaissant

^dans

(II.1),

^est

proportionnel

^{à :}

Nous _voyons, sur

(II.2)

^et

(II.3),

que

a a’

a cause de

(-)i qui

^{fait que, dans}

1’expression

^{de a,}

les ondes de 1

impair

^se retranchent de celles de I

pair

alors que, dans

1’expression

^de

oc’,

^elles

s’ajoutent

a celles de I

pair.

^{Comme un nombre L tres}

grand

d’ondes intervient dans la

diffusion,

^{on s’attend a ce}

que ^a

a’;

^une evaluation

approch6e [13]

^donne

I a/,x’l

⁼

1/2(L

⁺

1).

^Nous admettrons _que a est

totalement

n6gligeable

devant oc’.

Remarquons cependant

que, si la

temperature

^est

tres

basse,

tres peu d’ondes sont diffusées et l’on ne

peut

plus negliger

^{a. I1 en est ainsi} pour

I’hydrog6ne

en dessous de 10

°K;

^ce

probl6me

^se pose ^{en astro-}

physique.

-

_d

Nous

negligeons

^{aussi i}

T,

^e

^{P , qui}

^{est tr6s}

^petit

parce que ^{K’ est tres}

petit.

^Son

expression

^{est tres}

compliqu6e

^{et ne} permet pas ^une

interpretation

^claire

et

simple

^{de son influence.}

Nous ne nous int6resserons _pas au

deplacement

^des

niveaux

d’energie;

^nous n’étudierons que la relaxation par collisions

d’échange

entre atomes

identiques

^a

l’aide de

1’6quation (II .1 )

^et nous verrons que ^cette

equation

decrit bien ce

qui

^{est observe}

experimentale-

ment. Nous 1’ecrirons en passant ^en

representation

d’interaction :

ou

p e

^{est donne} par

1’expression (11.8)

^de

JP;

^a

1’avant-derniere

ligne

^{de cette}

expression,

^{au lieu de}

klm>-Ili> ...,

^il faut lire :

Elle ^est

identique

^a

(I .5 a) lorsqu’on

y

supprime

^les

indices,

^ce

qui

^{est normal}

puisque

^{nous avons}

n6glig6

les effets d’identit6 des atomes.

L’equation (11.4)

^{est une}

equation

differentielle a coefficients

dependant

^du temps; ^{elle est}

quadra- tique

^en

p puisque p

^e comporte ^{des termes de la}

forme II p 1m) Sa.). L’approximation

^s6culaire

permet ^de se ramener a une

equation

^a coefficients

independants

^du

temps,

^mais

qui

^{reste assez}

compliqu6e.

Nous 6tudierons d’abord le cas ou seules les colli- sions

d’6change agissent, puis

^nous supposerons que les atomes relaxent aussi _par collisions sur les

parois

de la cellule.

2. Relaxation sous l’effet des seules collisions

d’échange

^{entre atomes}

identiques. - a) ^ETAT

^STA-

TIONNAIRE. ^- 11 est tel que

dps/dt ^{= 0,}

^{soit encore}

tel

que II pe 1m) = II pS 1m).

^On

peut

^montrer

que,

lorsque

les elements non

diagonaux de p

^sont

nuls,

ils le restent; ^un tel 6tat

repr6sente

^{un 6tat}

d’6quilibre

pour les elements non

diagonaux.

^Nous

admettons que le

systeme atomique l’atteint;

^ceci

semble raisonnable

puisque,

les aimantations ^trans- versales tournant en sens

oppose

dans les deux sous-niveaux

hyperfins,

^toute aimantation

qui

passe d’un niveau a l’autre est

perdue.

Nous

explicitons

alors les elements

diagonaux

^de

P e

en supposant les elements non

diagonaux de P

^nuls.

p.. ^est la

population

^{du niveau}

(cp, m), p:nm

^{celle du}

niveau

(p’, m) :

Comme nous 1’avons

deja annonc6,

^{on v6rifie}

bien,

en la reportant ^dans

(II.S),

que la solution :

repr6sente

^{un 6tat}

stationnaire;

^{on a bien la m6me}

loi que pour les collisions entre atomes

differents,

comme on

pouvait s’y

^attendre

puisque pe

^est

6gale

^a

P i en supprimant les

^{indices 1 et 2 dans son}

expression.

La condition _{Tr p} ⁼ 1 donne _pour valeur de X celle de

1’6quation (I.13)

^avec cp ⁼ CPl ⁼ CP2°

La valeur

de P

^est d6termin6e a

partir

de l’invariant

FO> :

et on a la relation

simple :

Sous 1’effet de 1’6change, FO > = FO >, + (F" >p,

reste constant, mais il n’en est pas de ^meme de Lors d’une

collision,

une

partie

^{AF° de la}

polarisation

^totale passe du niveau _cp

au

^niveau

cp’,

^F°

(cp devient- FO B

^{- AFO et}

même, mais S° > devenant S° >

^{AFO est}

non nul tant que le

systeme

^n’a pas atteint l’état stationnaire.

b) EVOLUTION DE S. I).

^{- Nous avons}

deja

montre dans

JP

que,

si S > = 0, S - I >

^relaxe

exponentiellement

^{avec la constante de} temps

Te

^ind6-

pendante

^du

spin

^nucl6aire.

Si 1’etat initial est

quelconque,

^{nous avons}

(cf. (1.6) de JP) :

Lorsqu’on

^fait

1’approximation s6culaire, 1’6quation

d’6volution

de

^S.

I >

s’6crit de

faron

^{tout a fait}

generale :

« S >. I ) )st. indique qu’on

ne conserve du

produit S ). I)

que les ^termes

statiques (par exemple I- >,. S+ ) cp’

¹⁰

)st.. so>St....).

Nous _voyons que la ^mesure du

temps

de relaxation de S.

I )

^{nous donnera}

Te

^et,

par suite,

^{la section}

efficace d’echange

^de

spin, pourvu toutefois

que les atomes ne

pos-

sèdent ni cohirence ni

polarisation ilectronique longitudinale.

c) EVOLUTION DE

^SO

)cp.

^{- L’6tude}

^théorique

^et

expérimentale

de la relaxation de

SO)cp lorsque

SO

>,,

^{est maintenue nulle par un}

^champ

^{de radio-}

fréquence

^tournant

d’amplitude

convenable a

d6jA

6t6

publi6e [6].

^{Nous ne} reviendrons _pas dessus.

d) ^EVOLUTION

^{DE LA COHERENCE HYPERFINE}

cp, 0 I p I cp’, 0).

^{- La constante de}

temps

^{de la} relaxation de cette observable permet ^{d’obtenir la}

largeur

de la raie 0-0 dans un maser ou une

horloge atomique.

^C’est

pourquoi

^{nous donnons son}

equation

d’evolution. Nous supposons

ici S+ ) = S- >*

^{= 0}

et S° ) quelconque.

^{Le calcul montre} que :

alors que, pour des collisions contre des atomes diffé- rents, ^{on a :}

(cf. JP (111.8). Signalons

que ^cette

equation

^est

valable meme

si SO 2 > =A 0).

On ne peut ^definir

rigoureusement

^un temps ^de relaxation a

partir

^de

(II.9). Cependant,

^{nous allons}

voir

comment

(p,

0 p cp’, 0 >

^6volue

approximative-

ment. Notons d’abord _que la relaxation _par collisions

entre atomes

identiques

^{est moins} efficace que celle par collisions entre atomes differents _parce

qu’une partie

de la coherence

qui

passe d’un ^{atome a} 1’autre n’est _pas

perdue.

Pour

l’hydrogène atomique (I = 1/2, cp = 1), (II . 9)

conduit a une

equation simple qui

^avait

deja

^6t6

donnee _par Wittke et Dicke

[14] :

Lorsque I > 3/2,

^la décroissance

de

cp,

0 p cp’, ^{0 )}

n’est

plus exponentielle.

^On peut

cependant

^caract6-

riser son evolution _par une

pseudo-constante

^de

temps ^{T dont nous donnerons un ordre de}

grandeur

dans deux

hypotheses :

- La

polarisation

^{est tres faible et toutes les popu-}

lations sont presque

6gales :

- Seul le niveau _cp est

peuple,

^{toutes les}

popula-

tions de ce niveau sont

6gales (il

^{en est}

^ainsi,

^par

exemple, lorsque

^S.

I >

^{est cree a}

partir de S° )

et

qu’on applique

^{ensuite un}

champ

de radiofr6- quence

qui ^annule So > [11]).

^{Alors :}

pmm = 0. T est encore

6gal

^a

4y/(3y - 1).

Nous nous attendons ainsi a ce

que

cp, 0

P cp’, 0>

varie avec une

pseudo-constante

^{de temps}

comprise

entre

1,5 T’e

^et

2 T’ e-

Remarquons

que, dans les memes

conditions,

^la

difference _poo ^-

Poo

^des

populations

des deux niveaux

(cp, 0)

^et

(cp’, 0)

^evolue

exponentiellement

^{avec la}

constante de temps

T’e :

3. Relaxation en

champ magndtique

^{fort. - Nous}

supposons le

champ magn6tique

^H suffisamment fort pour

decoupler

^{I et S :}

A l’ordre ziro en

ajgs

uB

H,

^{les vecteurs} propres de l’hamiltonien

statique sont ms, mI >

^{et les valeurs}

propres associ6es sont, ^a l’ordre 1 :

On calcule alors

pe

^a

partir

^de

1’6quation (II . 8) de JP.

Les elements de matrice de Sp n’étant differents de zero que s’ils ^sont

pris

^{entre 6tats de meme mI, 1’6vo-}

lution d’un

élément

ms,

mI p m’, mÍ)

^ne

depend

que des

éléments m,’, mI P ! m’s m’I >

^{ou du}

produit

d’un tel element

par

^S+

>, S-) ou S° >.

^De

1’expression

^de

P e,

^{on deduit :}

la somme des

populations

des deux niveaux ayant meme valeur

de mI

^est constante; il

n’y

^{a pas de trans-}

fert aux niveaux de _mI different :

La

polarisation

^nucl6aire

longitudinale

^{est invariante}

lors des collisions

d’6change. Rappelons

que ^ces deux

propri6t6s

^sont aussi valables lors de collisions entre atomes differents.

Pour les collisions entre atomes

identiques,

^nous

avons de

plus :

La

polarisation 6lectronique longitudinale

^{est aussi}

invariante :

le

temps

de relaxation de l’élément non

diagonal

I B

ments seraient invariants si 1’atome n’avait _pas de

spin

nucl6aire. Comme l’atome a un

spin

^nucl6aire

I, ( S+ >

^{relaxe avec 21} + ¹ constantes de

temps.

Dans le cas

particulier

^{ou les}

populations

^sont presque

6gales (atomes

^a

1’equilibre

de Boltzmann a la

temp6-

rature de

1’exp6rience,

le temps de relaxation est

T’(21 + 1) /2L

^C’est

1’expression

^donnee par Sands et Moos

[15].

Ainsi, lorsque

^le

champ magn6tique

^{est suffisam-}

ment fort _pour

decoupler

^{I et}

S, S° >

^se comporte de la meme

faqon

que si l’atome n’avait pas de

spin

nucl6aire

mais S+ >

6volue differemment.

Toutes ces

propri6t6s

^sont valables a l’ordre 1

en

a/gs [1.B H compris.

^{A l’ordre}

2,

^les

6quations

d’evolution

de I° > et S° >

deviennent :

4. Relaxation dans une cellule. ^-

Jusqu’ici,

^nous

nous sommes

préoccupés

de la relaxation _par les seules collisions

d’6change

^et nous avons vu que

po >

restait constant. Ceci n’est _pas r6aliste : dans une

cellule, lorsque

^le pompage

optique

^est

supprime, F° )

^s’annule par suite des collisions contre la

paroi.

Dans ce

paragraphe,

^{nous tenons} compte ^{de cette}

cause

suppl6mentaire

de relaxation. Nous 6tudions les observables

dependant

^des

populations.

^Nous sup- posons les elements non

diagonaux

de la matrice densité nuls : s’ils le sont a un moment

quelconque,

^{ils le}

restent. Nous nous

plaqons

dans les conditions sui-

vantes : la

cellule,

^{de 6 cm de}

diam6tre,

^est

plac6e

dans un

champ magn6tique faible;

^{elle contient l’up}

des deux

isotopes

^du

rubidium;

^sa

paroi

^{est recou-}

verte d’un enduit de

paraffine.

^{Nous ne tenons} pas compte de 1’effet

queusot (disparition

^{des atomes}

dans le

queusot

de la cellule

([12], p. 148);

^en

general,

il est

negligeable;

certaines de nos mesures 1’eliminent.

M. A. Bouchiat

[12], [16]

^a montre que les trois observables

S. I >

^relaxent

exponentiellement lorsque

^{les atomes}

de rubidium subissent des collisions contre un enduit de

paraffine :

(nos

notations different de celles des references

[11],

^,

[12], [16];

^nous

ajoutons

^un p ^en indice aux

temps

de relaxation _pour

indiquer

que les temps ^consid6r6s

sont relatifs a une relaxation sur la

paroi;

^cela

evite,

en

particulier,

^{toute confusion}

possible

^{entre le}

T,

des references

pr6c6dentes

que ^nous

appelons Tep

^et