Étude théorique de la relaxation par les collisions résonnantes pour une transition S-D

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Étude théorique de la relaxation par les collisions résonnantes pour une transition S-D

G. Meunier

To cite this version:

G. Meunier. Étude théorique de la relaxation par les collisions résonnantes pour une transition S-D.

Journal de Physique, 1976, 37 (2), pp.65-70. �10.1051/jphys:0197600370206500�. �jpa-00208403�

ÉTUDE THÉORIQUE DE LA RELAXATION

PAR LES COLLISIONS RÉSONNANTES POUR UNE TRANSITION S-D

G. MEUNIER

(*)

Laboratoire de

Spectroscopie

Hertzienne de l’Ecole Normale

Supérieure (**)

^et Université Paris

VII, 2, place Jussieu,

⁷⁵²²¹

Paris,

^France

(Reçu

^le

10 juillet

1975,

accepté

^{le 30}

septembre 1975)

Résumé. ^- L’étude théorique de la relaxation par des collisions résonnantes est étendue au cas

des collisions entre un atome dans un niveau excité D et un atome du même élément dans son niveau fondamental S.

Après

^une discussion sur le choix du

potentiel

^considéré

(quadrupôle-quadrupôle

en R-5 et

dipôle-dipôle

^{au 2e ordre avec un} niveau P intermédiaire en

R-6),

^{on donne la valeur}

des différents taux de relaxation et de transferts à partir d’un calcul numérique de la matrice de collision

semi-classique.

^Une

application

^{au cas de}

quelques

^{alcalins donne une} idée de l’ordre de

grandeur des sections efficaces de ces collisions

(10-14-10-13 cm2).

Abstract. ²⁰¹⁴ The theoretical study of the relaxation by ^resonant collisions is extended to the case

of collisions between an atom in a D excited state and an atom of the same element in its S fun- damental state. After a discussion about the choice of the

potential

considered

(the R-5 quadrupole- quadrupole

^{term and the R-6} second order

dipole-dipole

^term

taking

^{into account a P} intermediate

state), the values of relaxation and transfer rates are obtained from a numerical calculation of the semi-classical collision matrix. These calculations are

applied

^{to the case of some alkalis and an}

estimate of the size of the cross-section is obtained

(10-14-10-13 cm2).

Classification

Physics ^Abstracts

5.280

1. Introduction. ^- Le traitement des collisions r6sonnantes entre un atome excite et un atome du meme element dans 1’6tat fondamental a

g6n6rale-

ment 6t6 effectu6 _pour des transitions

dipolaires 6lectriques

^{entre un 6tat} fondamental S et un etats excite P

[1, 2, 3, 4]. Reprenant

la theorie

developpee

par Omont

[1, 2]

^{dans ce} cas, ^nous

l’appliquons

^ici

aux collisions entre un atome dans son etat fonda- mental S et un atome du meme element dans un 6tat excite D.

Nous supposons que la distance entre les atomes reste suffisamment

grande pendant

la dur6e de la collision _{pour que} le

potentiel

d’interaction ait _pour termes

pr6pond6rants

^{les termes}

multipolaires

^elec-

triques.

^{Ces termes} peuvent

agir

^au

premier

^{ordre ou à}

des ordres

plus eleves,

^ce

qui represente

^le passage du

syst6me

par des 6tats virtuels intermediaires

[1].

Dans le cas

present,

^{les termes} d’ordres les

plus

^bas

sont le

potentiel quadrupôle-quadrupôle ^V,

^{en R - 5}

et le

potentiel dipole-dipole

^au deuxi6me ordre

VD

en R - 6. Le traitement

general

de 1’effet simultan6 des deux

potentiels exigerait

^{un calcul}

num6rique

pour

chaque

valeur du rapport ^{de ces deux}

potentiels ;

mais l’un d’eux est en

general beaucoup plus impor-

tant que 1’autre. De ce fait nous traitons de

faqon separee

^{les deux cas} ou chacun de ces deux

potentiels agit

^seul.

2.

Expression

^des

potentiels.

^{- Le}

potentiel

qua-

drupôle-quadrupôle

^{s’6crit sous la forme}

[5] :

R

est Ie vecteur unitaire

port6

par I’axe

joignant

I’atome 1 A I’atome

2,

^{R est leur}

distance, A?(i)

^est

(A

^{un facteur}

pr6s)

^la composante tensorielle irr6- ductible d’ordre

Q

^{du moment}

quadrupolaire

^6lec-

trique

de l’ atome i :

ou la somme s’etend sur les electrons de 1’atome i.

(*) Actuellement : Laboratoire de Spectrometrie Ionique ^et Mol6culaire, Universite Claude-Bernard, ^La Doua, Villeurbanne, France.

(**) ^{Associe au C.N.R.S.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197600370206500

66

Le

potentiel dipole-dipole

^au deuxieme ordre s’ecrit :

ou

V,

^{est le}

potentiel dipole-dipole

^en

R - ’; I IS, 2D >

est 1’6tat ou 1’atome 1 est dans le niveau

S, I’atome

²

dans le niveau

D ; I I i, 2 j >

^{est un 6tat}

intermédiaire ;

AEij

^est la différence

d’6nergie

^entre

I’état 1 S, 2D >

et

1’6tat I I i, 2 j > :

L’expression (3) représente

^{le terme direct du}

potentiel (1’excitation

^n’est pas

6chang6e

^{entre les}

deux

atomes),

^tandis que

1’expression (4) repr6sente

le terme de transfert

(1’excitation

^est

echangee).

La forme de ce

potentiel depend

fortement des 6tats intermediaircs consid6r6s dans le calcul. Dans le cas

des

alcalins, auquel

^nous nous sommes

particuli6re-

ment

int6ress6s,

la force d’oscillateur relative au

niveau fondamental S est presque enti6rement concen-

tr6e dans la transition entre cet 6tat S et le

premier

niveau P. De

plus

^{dans un} certain nombre de cas

1’energie

de 1’etat ou les deux atomes sont dans ce

niveau P est tres voisine de celle des 6tats initiaux et finaux

(AEij ^petit).

^{Dans ces}

conditions,

le niveau i dans les

expressions (3)

^et

(4)

^{est de}

facon pr6domi-

nante le

premier

^{niveau P. 11 en est} de meme du

niveau j

^{dans le terme} de transfert

(6q. (4)),

^{mais pas}

dans le terme direct

(6q. (3)).

^Par

consequent

^{dans ce}

cas, le terme de transfert du

potentiel dipole-dipole

au deuxi6me ordre peut ^s’6crire

légitimement :

Une ecriture

analogue

^{du terme direct se}

justifie

assez mal.

Nous avons

cependant pris

^cette

expression :

particulierement simple,

afin d’6valuer l’ordre de

grandeur

^{de la}

probabilite

de transfert _par un calcul

analogue

^{a celui} que ^nous avions effectu6 _pour le

potentiel quadrupôle-quadrupôle.

^{Mais il est bien}

clair _que les valeurs obtenues dans ce modele _pour

les ,

I

taux de

relaxation,

^{sans transfert}

d’excitation,

^ne peuvent pas etre

significatives;

leur valeur est certai- nement

plus grande

^en

pratique

^{car AE n’est}

jamais

assez

petit

pour que

1’expression (6)

^{soit le terme}

preponderant

^du

potentiel

^{en R -6}

Par

exemple

^{dans le cas du niveau 4d du sodium}

une evaluation

rapide

^du

potentiel

^total

^{en R-’}

^à

1’aide de fonctions d’onde coulombiennes

(cf.

par

exemple [9])

^montre

qu’il

^{est environ 15 fois}

plus grand

que le

potentiel

^de

1’expression (6)

^{ou l’on}

prend

le niveau

3p

^comme niveau interm6diaire

(AE =

⁶¹³

cm-1).

^La contribution essentielle a ce

potentiel

^total

provient

^{des termes ou} 1’6tat interme-

diaire j est

l’un des 6tats

5p,

^{4f ou}

^{5f ;}

la force de raie S

(c’est-a-dire

le carr6 de 1’616ment de matrice r6duit du

dipole electrique)

de la transition entre chacun de ces

etats et 1’6tat 4d est en effet

probablement

^{au moins}

100 fois

plus grande

que celle de la transition

3p-4d,

alors _que 1’ecart

d’6nergie AE;

^est

compris

^entre

16 500 et 19 500

cm -1.

Afin

d’all6ger 1’expos6

^nous

n’exposons

^les

grandes lignes

^{du calcul} que dans le cas du

potentiel quadru- p6le-quadrup6le.

3. Modile de la collision. ^- Nous supposons que le mouvement des deux atomes peut etre decrit

classiquement

^{avec une}

trajectoire rectiligne.

^Cela

est

justifie

^si les sections efficaces calculees sont

plus grandes

que la section efficace

cin6tique.

^{Dans ce cas}

nous pouvons aussi considérer _que les fonctions d’onde des deux atomes ne se recouvrent pas ^et il est inutile de

sym6triser

les fonctions d’onde.

Dans ces

conditions,

^avec les notations

repr6sent6es

sur la

figure 1,

^les

equations

d’evolution s’6crivent en

representation

d’interaction

(h = 1) :

FIG. 1. ^- Schema de la collision.

ou

Ai

^et

A2

^{sont les vecteurs a}

cinq

composantes

repr6sentant

^les

projections

de 1’etat du

syst6me

^sur

les 6tats ou l’atome

1,

^{ou l’atome}

2,

^est excite seul.

Ce

syst6me

peut s’ecrire aussi :

t/J

^est

I’angle

^{entre le}

paramètre d’impact

^{b et R}

(cf. Fig.1),

q ^{est un}

paramètre représentant

la force de la collision :

I - I

avec

Fe(r)

^et

Ff(r)

6tant les fonctions d’onde radiales de 1’6tat excite

(L

⁼

2)

^{et de 1’etat} fondamental

(L

⁼

0),

v est la vitesse relative des atomes et

U(ql)

^{est une}

matrice d’ordre 5. Dans la base standard d’axe Oz

perpendiculaire

^au

plan

de collision

(Fig. 1),

^cette

matrice a pour

expression :

Soit 8 ⁼

S, S2

la matrice de collision decrivant

S2 S1

1’evolution du

syst6me

^entre t = - oo et t = + oo,

ou t/J = - n/2 et ql =

⁺

Tc/2.

^Du

syst6me (8),

^on

deduit les matrices

S±

⁼

Sl

±

S2 qui

^{ont les} pro-

pri6t6s

suivantes :

- L’herm6ticit6 de la matrice U entraine l’unitarit6 des matrices

S±.

- Comme la trace de U est

nulle,

les matrices

St

sont unimodulaires.

- La

sym6trie

par renversement du

temps

^{rend les} matrices

St sym6triques.

On

peut

^écrire

St

^sous la forme d’un

produit

^{de deux}

matrices

S(+) S(-)

^ou

8;) représente

l’évolution

entre t/J = - n/2 et ql

⁼

^0,

^et

S (+) entre 4(

^{= 0 et}

03C8 _

⁺

n/2.

^La

sym6trie

par renversement du temps

nous donne la relation :

La rotation L de

c/2

^{autour de Ox} rend la matrice U r6elle. Ceci nous donne la relation :

Par

consequent

pour calculer

S,

^et

S2 numeriquc-

ment a

partir

^des

eq. (8)

^et

(9),

^{il nous suffit de calculer}

s(+ ),

par

exemple,

^ce

qui abr6ge

^le temps ^{de calcul.}

4.

Moyenne

^sur les collisions. ^-

Une

fois calcul6 1’effet des collisions de

caractéristiques donn6es,

^il

nous faut calculer 1’effet _moyen de ces diverses colli- sions. Utilisant la m6thode et les notations d’Omont

[2],

nous nous

plarons

^{dans le cas d’une}

sym6trie sph6rique

du

probl6me

^{et nous faisons tout d’abord une} moyenne

sur les

angles

^{de la}

collision, puis

^{sur le}

paramètre d’impact.

^On caractérise 1’effet _moyen des collisions de meme valeur de

b let

^{de v par les} coefficients

nk

d6finis _par la relation :

On obtient finalement les taux de relaxation des moments

2k-polaires

de 1’atome initialement excite

gk(1)

^{ou les taux} de transfert

gk(2)

^en

integrant

^ces

quantités

^{sur le}

paramètre d’impact

^{b :}

ou

avec

N2

^est la densite des atomes initialement dans 1’6tat fondamental.

Les divers taux de relaxation et de transfert ne

dependent

de l’observable considere _{que par} le coeffi- cient purement

num6rique Kk(i).

^{Sur la}

figure

^{2 nous}

montrons, ^comme

exemple,

^la courbe donnant les variations avec

q-’12

^{de la}

probabilite

^de

disparition

de

1’alignement

de l’atome

1, n2(1).

L’allure de cette courbe est la meme _que celle

qu’on

^rencontre pour d’autres types ^de

potentiels (cf.

^par

exemple [2]

^et

[8]).

68

FIG. 2. ^- Variation avec le parametre

q - ’1’(ocb’)

(6q. (10) ^et 6q. (18))

du coefficient I12 (1), probabilite moyenne de destruction de 1’ali- gnement de l’atome initialement excite (potentiel quadrup6le-

quadrup6le).

En

particulier

^la

presence

^de nombreux sous-niveaux

d’6nergie

^entraine pour les

petites

valeurs de b une

structure

compliquee

des oscillations

qui remplace

les oscillations

regulieres qu’on

^{rencontre dans les cas}

plus simples

^{comme dans le modele de}

dephasage

^de

Weisskopf

^ou

1’6change

r6sonnant de

charge.

^Avec

ce choix

d’abscisse,1’aire

de la surface situ6e sous la courbe est

6gale

^au coefficient

K2(1) (taux

de relaxation de

l’orientation).

^{La courbe en}

pointilles represente

une

approximation analytique simple

^ne necessitant pas de calcul

num6rique

^sur ordinateur

[6, 2] :

- Pour les collisions

6loign6es (q 1)

^{ou le}

potentiel

d’interaction est

faible,

^{nous utilisons un}

d6veloppement

^de

perturbations

^au deuxieme ordre

(approximation asymptotique).

- Pour les collisions

rapproch6es (q > 1)

^nous

utilisons une

approximation adiabatique

a l’ordre 0

en ne

gardant

que la

partie diagonale

^du

potentiel

d’interaction dans le referentiel toumant.

Nous donnons dans le tableau

I,

les valeurs des coefficients

Kk(i).

Remarques.

^-

17k(l

⁺

2) = II k( 1 )

⁺

nk(2);

Kk(1

⁺

2)

^est

l’intégrale

^de

17 k(l

⁺

2).

Ces coefficients sont les seuls _que l’on

puisse

observer si les atomes 1 et 2 sont

identiques.

efK2(1)

^et

efK2(2) correspondent

^{aux taux de}

relaxation et de transfert de la cohérence

optique qui

interviennent en

particulier

dans les transitions 4 deux

photons

^{entre les etats S et D} consideres.

efK2(2)

^{est ici}

imaginaire,

^ce

qui represente

^un

déplacement

^{de cette}

cohérence

optique.

Les colonnes

A,

^B et C

representent

^trois

approxi-

mations differentes. Dans les

approximations

^{A et -B}

TABLEAU I

Valeurs des

coefficients Kk(i)

(potentiel quadrupôle-quadrupôle : eq. (17)

^et

(18))

nous avons

integre num6riquement

les valeurs

17 k(i)

obtenues

pr6c6demment

par ordinateur _pour

et pour q

10 - 2

nous avons

int6gr6 l’approximation asymptotique.

^Mais pour q >

25,

nous avons fait deux

hypotheses

distinctes :

*

Approximation

^{A : nous} prenons pour valeur des 1I

l’approximation adiabatique.

*

Approximation

^{B : nous} supposons que la collision est totalement efficace : tous les moments

multipolaires

^sont

d6truits,

1’excitation se retrouve dans la meme

proportion

^{sur les deux atomes. Cette}

hypoth6se

^se

justifie

^{dans une certaine mesure}

puisque

le

potentiel

d’interaction est mal connu pour les faibles

parametres d’impact.

Dans

1’approximation ^C,

^nous n’utilisons _pas les valeurs

num6riques

^obtenues par

ordinateur,

^mais

nous

int6grons simplement l’approximation asympto- tique pour q K qi

^et

1’approximation adiabatique pour q >

qi, avec qi choisi de telle

fagon

que pour q = ql les valeurs des deux

approximations

^soient

6gales (cf. Fig. 2).

5. Potentiel

dipole-dipole

^{au deuxikme ordre avec un}

niveau P intermediaire presque resonnant. ^- Le calcul est

analogue

^au

precedent.

^{On obtient} pour les taux de relaxation et de transfert les resultats suivants :

e est la

charge

^de

l’électron,

^{m sa} masse,

Asp

^et

ÅPD

^sont

les

longueurs

d’onde des transitions S-P et

P-D, fsP

et

/pD?

les forces d’oscillateur

(d’absorption)

^corres-

pondantes.

Les coefficients

K’k(Z)

^sont donnes dans Ie tableau

II,

avec les memes

approximations

que

precedemment.

TABLEAU II

Valeur des

coefficients, K’k(i)

(potentiel dipole-dipole

^{au 2e ordre :}

éq. (19))

Remarque.

^{- Si l’on}

remplace

le niveau excit6 D par ^{un autre} niveau S

(note S’),

^{les taux} de relaxation se

calculent exactement

(avec

le meme modele _pour le

potentiel

^en

R - 6) ;

^{on trouve}

(8) :

avec

6. Valeurs

num6riques

^{dans le cas de}

quelques

alcalins. ^- Les valeurs

num6riques

^{des taux de}

relaxation et des sections efficaces

correspondant

^aux

deux interactions consid6r6es sont

port6es

^{dans le}

tableau _{III pour}

quelques

^{niveaux des alcalins. Les}

valeurs des moments

quadrupolaires etectriques (6q. (11))

^{utilises ont ete calcul6es} par E. Luc

(1).

Ces valeurs

numeriques

permettent ^{d’avoir une} idee sur les ordres de

grandeur

des effets a attendre pour les deux types d’interaction

consideres ;

^{on voit}

qu’elles

conduisent a des

paramètres

de collision

comparables

^et

qui

peuvent

prendre

des valeurs considérables : les sections efficaces _par

exemple depassent

^{dans les cas extremes}

^10-13 cm2,

^valeur

typique

des collisions risonnantes avec une interaction

en

R -3

_pour des forces d’oscillateur assez faibles

(transition

⁶

’SO-6 3P

^{1 de}

Hg

par

exemple).

^{Cela est}

du au caractere

particulier

de l’interaction entre deux

alcalins,

^et

sp6cialement

a leur tr6s

grande polarisa-

bilit6. 11 ne faut _pas oublier _que ces valeurs sont seulement une limite inferieure _pour les taux de relaxation proprement

dits, gk(1).

^{La valeur exacte}

correspondant

pour 1’essentiel a la totalite de l’inte- raction en

1 /R 6

^est certainement nettement

plus grande [7].

^{N6anmoins on} peut considerer _que ces

valeurs foumissent une evaluation correcte de l’ordre de

grandeur

^{de la}

probabilite

de transfert

(2) ;

^{on voit}

que selon les cas ce transfert sera determine essen-

tiellement soit _par le

potentiel quadrupôle-quadrupôle

soit _par le

potentiel dip6le-dip6le ^{en R - 6.}

(1) Luc, E. Communication priv6e.

(2) ^{11 faut} souligner ^aussi que si 1’approximation ^de trajectoire rectiligne ^est certainement excellente pour q N 1 ^avec les modeles de potentiel utilise, ^il peut etre necessaire de reconsiderer sa validite pour calculer les taux de transfert d’excitation en presence ^d’un potentiel ^en 1 /R 6 plus ^realiste.

TABLEAU III

Taux de relaxation et sections

efficaces correspondantes

pour

quelques

^alcalins

, 1t. T

70

Les

grandes

valeurs de ces sections efficaces _per- mettent de penser que 1’etude

exp6rimentale

^{de la}

relaxation des

premiers

^{niveaux D} des alcalins _par ce

type ^de collisions _{n’est pas} hors de

port6e.

^{11 faut certes}

s’attendre a des difficultes causees pour le sodium par

exemple

par la necessite de travailler a une

pression supérieure

^a

0,1

^{torr. Mais le}

d6veloppement

^{des lasers}

accordables et

sp6cialement

^de 1’excitation a 2

photons

devrait faciliter ^ce type ^d’6tude.

Remerciements. ^- Je remercie A. Omont pour

son constant intérêt

pendant

^ce

travail,

^{ainsi que}

J.-P. Descoubes _pour ses nombreuses _remarques.

Bibliographie [1] OMONT, A., ^J. Physique ²⁶ (1965) ^26.

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