Étude théorique de la diffusion des électrons de hauts voltages

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Étude théorique de la diffusion des électrons de hauts

voltages

J. Winter

To cite this version:

J. Winter. Étude théorique de la diffusion des électrons de hauts voltages. J. Phys. Radium, 1933, 4

(12), pp.732-740. �10.1051/jphysrad:01933004012073200�. �jpa-00233192�

ÉTUDE

_THÉORIQUE

DE LA DIFFUSION DES

ÉLECTRONS

DE HAUTS

VOLTAGES

Par J. WINTER.

Sommaire. 2014 Il s’agit d’étudier la diffusion de jets électroniques de très hauts voltages,

par des atomes neutres. Comme dans notre précédent article (1), nous nous plaçons à un

point de vue _{purement mathématique} et avons cherché à _appliquer aux électrons de très courtes _longueurs d’onde, la méthode rigoureuse, appliquée généralement aux élec-trons lents et qui revient à suivre la _propagation des ondes de de Broglie.

Pour cela nous sommes amenés à employer des _{expressions asymptotiques} de _l’argument

Kr, K quantité de mouvement des électrons incidents, r rayon de l’atome diffuseur, expres-sions _{qui représenteront,} soit les éléments de _{décomposition} de l’onde plane par la for-mule de _Rayleigh, soit l’onde à l’intérieur de l’atome. Nous étudions les _déphasages subis par les éléments de décomposition de l’onde _plane, et cherchons ensuite _quelles déduc-tions on peut en tirer concernant la diffusion totale, et sa _répartition angulaire.

Critique

de la Méthode de Born. - Pour étudier la diffusion des électrons de hauts

_voltages,

on

_{emploie généralement}

la méthode de Born : Elle consiste à

_appliquer,

dans les conditions que nous allons

définir,

le processus des

approximations

successives.

On cherche une solution de

_{l’équation}

où A"

_représente

la

_quantité

de mouvement des électrons incidents et F le

_potentiel

per-turbateur,

et l’on

_part

comme

_{première approximation}

de l’onde incidente e - 1"x

_(unités

de

_Hartree).

Résumons les conclusions

_auxquelles

_{sont parvenus les auteurs}

_qui

ont étudié ce

problème :

Pour que la méthode de Born donne une suite

_{d’approximations}

W 2,".

de

somme

_convergente,

il faut : 11 _{que le}

_potentiel

F

_décroisse,

aux

_grandes

distances au

. f

.

moins _{comme ;:2} r2

2°

_Que

le

_{paramètre K}

soit assf z

_grand.

On voit même

_quelquefois

_{écrire que la} conver-r

gence de la méthode de Born est mesurée par le nombre

(Z

nombre

_atomique,

e, E

iv

charges

élémentaires, v

vitesse des électrons

_incidents).

En

_effet,

on a calculé les

approximations

successives

_Il’,,,

et on a _{montré que}

_’Fn

contenait en facteur ce

nombre,

élevé à la

_puissance

n.

_(Pour

ce

_calcul,

on «

_interrompt

»

F,

en

_supposant

les

_charges

négatives périphériques

de l’atome concentrée sur une

_sphère).

En

_réalité,

ces auteurs

_{(Môller, Distel)}

_{n’ont pu donner} aucune _{mélhode utilisable pour}

définir la limite de validité de la

_{première approximation}

de la méthode de Born. Les

principales propriétés

de ce

_{développement}

(convergence,

_par

_rapport

aux

_paramètres

et,

suivant les diverses valeurs de

_l’angle

d’observation

₀₎

sont encore inconnues.

Ainsi,

pour des valeurs données des

_paramètres,

on ne sait pas l’ordre de

_grandeur

de l’erreur

_commise,

ni la manière dont elle varie avec la direction 6 où l’on observe la diffusion. Dans leur

livre

_(2),

_Massey

et Mott donnent bien une

_réponse

à la

_{première question,}

mais elle n’a (1) Journal de _{Physique, juin 1933, p. 316-323. Nous} ne _répétons ici ni les _hypothèses, ni les résultats de cet article, dont la connaissance est nécessaire pour pouvoir comprendre celui-ci.

(2) Theory collisioîzs. Oxfoid, 1933.

733

aucune

_{rigueur mathématique}

et semble

_{d’application}

difficile. De

_plus,

elle ne

_permet

_pas

de donner la variation de l’erreur commise avec 0. Notre but a donc été de former des

expressions asymptotiques,

permettant

de retrouver la formule de Born à

_partir

des formules

_rigoureuses,

établies à l’aide de la

_{décomposition}

de l’onde

_plane.

Les conditions de validité de ces

_{expressions asymptotiques}

sont connues, et _{l’on pourra}

_trouver,

en

fonction de

_6,

une limite

_supérieure

de l’erreur commise. La marche

_générale

consiste à :

1° Calculer les

_{déphasages on; 2° Simplifier l’expression}

du flux diffusé

_{(ce qui}

donnera la formule de

_Born);

3° Discuter l’erreur commise en fonction des

_paramètres

et de 0. Dans le

présent

article nous donnons le calcul des

_{déphasages, qui}

_permet

de suivre l’allure

_générale

du

_phénomène.

A la

fin,

nous ne faisons

_{qu’indiquer}

très sommairement la manière dont

l’expression

du flux diffusé se ramène à celle de Born : On obtient une suite de

_{termes qui}

tendent vers les

_premiers

termes d’une série

_convergente

de somme

201320132013.

Cette dernière

, sin - _y .

.

2

série converge d’ailleurs d’autant

_plus

_{lentement que} 0 est

_plus

voisin de 0 ou 1t.

Nous ne faisons

_{qu’indiquer}

ces derniers

_résultats,

afin de ne _pas entraîner le lecteur dans

_trop

de discussions

_{mathématiques.}

De

_même,

nous ne donnons que les résultats des

calculs par la méthode de

col,

dont nous ne

_reprendrons

_{pas la définition.}

Les travaux de

_Debye

_(1).

- Afin d’éviter la méthode de

Born,

nous allons donc

suivre la méthode usuelle dans le cas où Kr

_C

1. En

_cela,

nous allons suivre ’les idées

générales indiquées

en 1909 par P.

_Debye.

Cet auteur étudiait alors la diffusion des ondes lumineuses par de

petites sphères

conductrices,

problème analogue

au

_nôtre,

et a cherché à voir ce

_qui

se

_passait

_lorsque

la

_longueur

d’onde de la lumière incidente était

_beaucoup

plus petite

que la

sphère

diffusante. Il a montré

_qu’il

fallait

_employer

deux sortes de

for-mules

_{asymptotiques,}

les unes

valables

pour des

indices n

Kr,

les autres pour des indices

_quelconques.

Nous les

_appellerons

formules 1 et Il. Les formules 1 sont les formules usuelles. "

Enfin,

les formules lI s’écrivent différemment _{selon que n est}

_{, >}

ou = à Pour

n flr

_(mais

il faut

_malgré

tout _que soit

_grana,

_1).

On

a

avec

Debye

a montré que les ondes diffusées d’indices > Kr étaient d’intensité

négligeable,

et a fait une étude de la

_pression

de radiation. Nos calculs sueront

_{plus simples}

_que ceux due

Debye,

car en utilisant les résultats de notre

_précédent

_article,

nons nous bornerons à calculer les

_déphasages

des ondes extérieures.

Etude des

_{déphasages. -}

Nous commencerons _{par faire} une _remarque

_{générale :}

REMAROUIZ

I. - Nous voulons

prolonger

une onde

’1

à travers une discontinuité du

champ.

Nous savons : _{~° que l’onde}

_prolongée

à la forme

c’F2; 2°

que

Tl

et

transpor-tent le même flux

_si

_{1 1Ft}

_{1 ==}

₁

_cW2

₁

Alors il suffira _que

CT2

sur la surface de discontinuité : il

_n’y

aura _pas d’onde

réfléchie. ,

Appliquons

cette remarque au cas

_qui

nous _{occoupe :} l’onde

_plane

se

_décompose

en

ondes

_{convergentes (’)}

7z

1 et

divergentes

H

1 telles que :

-n+@

"+2

et de

même,

l’onde intérieure à la

_sphère

_{perturbatrice}

_(où

nous _supposons

_régner

un

potentiel

de la forme

Ze

r

en fonctions

_{analogues R(1)}

_n et

R(’),

_n

_{ima ina,ires}

_conjuguées,

_g

transportant

les mêmes flux que les Il

1.

L’onde incidente

H(1)

1 sera réfractée

suivant

+

n+

(qui

correspond

au même

_polynôme

de

_Legendre

à

_laquelle

on _superposera

1 iî(2)

_qui

à son tour donnera

H .

Le

_{déphasage 20n}

_{subi par}

H’

_(voir

étude

_{précédente)}

sera le

n+2

n+2

double de la différence de

_phase

de 1 et de

+

n

Fig. 1.

En

effet,

si

_ân

est cette différence de

_phase,

_~~

sera le

_prolongement

de

H n (1) + _~ 1,

si on

la

_multiplie

_par

_(c

constante

_réelle).

La

_{figure (1)}

montre

_qu’il

en _{résultera pour}

H

_t

,

un

_{déphasage 28,,,}

car la différence de

_phase

entre et

R)/1

est déterminée et doit rester constante.

735

Déphasages

I. - Le

paramètre

Iir = _{p étant}

_supposé

très

_grand,

nous

_partagerons

les

déphasages

en 2 classes : les

_déphasages

I,

d’indices

VPt

et les

_déphasages

II d’indices

compris

en et _p; nous _{montrerons que les}

_déphasages

_{d’indice >} p sont nuls.

La coupure

VF

est un _{peu arbitraire. Les formules 1}

_exigent,

_{pour être}

_valables,

qu’on

ait n2 _{p, le deuxième} terme du

_{développement asymptotique}

différent du

_premier

d’un

facteur n2

est très

_{petit .}

F

u

B

Les f,ormules II seront encore _{valables pour n} _-_

Vp

_puisque

ï

est

_grand,

et elles

coïncident pour cette valeur avec les formules I. Dans le

_voisinage

de n =

~p,

les formules 1 et II sont

_{équivalentes.}

Ne voulant pas insister sur ces

_{considérations,}

nous

admettrons que les formules II seront valables à

partir

de

VP

et

_qu’elles

se raccorderont

parfaitement

avec les formules I au

_{poin t n}

=

B/p.

Sommerfeld et Schur

₍₁₎

ont calculé

_}-/.~;)

et

_R)/1

et trouvé

2

rayon ° de la

_première

orbite de

Bohr;

Z nombre

atomique.

‘Avec les

unités de

Hartree,

on aurait a 1

-Comparons

I et 1’. Si nous dérivons ces

_expressions

_par

_rapport

à r, nous avons

₍₂₎

Mais nous devons limiter l’étendue du

_{champ perturbateur,}

pour cela nous suppose-rons toutes les

_charges

_{négatives périphériques}

de l’atome diffuseur concentrées sur la

sphère

de rayon a; ceci est

_arbitraire,

_{mais suffit pour le but que} nous nous _{proposons :}

nous verrons en effet

_qu’en

_posant

r ==

Ca,

on vie

_changerait

rien aux résultats concernant la distribution des flux diffusés

_(3).

Donc

(1) Annalen der _Physik, t. 4 _{(1930), p. 409.}

(g) Les _{expressions asymptotiques employées} sont dérivables.

(3) Ceci nous conduit à un _{potentiel perturbateur égal} à

Ze (1 -

;}

limité à r = a. Dans cet article,

r a

nous ne _{parlons pas} de l’influence du facteur

i 2013 - ;

ceci revient à introduire une discontinuité de a

potentiel, sans _{signification physique,} dans le but de _simplifier les calculs. Les résultats essentiels obtenus ici _{subsistent, lorsqu’on} revient à la véritable _expression du potentiel, mais on obtiendra des conditions

l’égalité

des dérivées normales en

résultera,

au 2’ ordre

_près

_{(1). L’emploi}

des formules

asymptotiques

limitées au

_premier

terme nous

_oblige

à

_négliger

de telles

quantités.

Donc en

vertu de la remarque

1,

on

sera

_égal

à la différence de

_phase

entre

H~’)

1 et

R(l)

Pour assez

_grand

Déphasages

II. - Nous _avons à l’aide de la méthode de

Col,

établi les formules

_II’,

analogues

à II.

avec

l’angle b’

étant _{défini par} la relation

Lorsque 1

tend vers

_0,

on retrouve les formules

_I’,

en

_remplaçant

_{partout p 1}

_par 71,

qu’on

laissera constant.

Il faut

_cependant

_{que n} soit

_grand,

Comparons

II et

_{Il’ ;}

_pour

_cela,

on _posera

le facteur

_imaginaire

de deviendra

_(en

laissant de côté

_{l’exponentielle}

Dans II

_{remplaçons n}

_{P ar n}

+ -,

nous _poserons d n

= 1

ce

_qui

est licite comme n est

2

2 2

grand;

il faudra par suite

multiplier

II

_{précisément}

_par

e

z.

(1) L’égalité au 2e ordre est nécessaire _puisque les déphasages sont eux-mêmes du _premier ordre. Le

premier terme _négligé du développement asymptotique ne modifiera pas ce résultat.

737

Donc la différence de

_phase

entre Il’ et II est

avec

Il nous reste à montrer sur les formules II _{et Il’ que}

_{l’égalité}

de et

_entrainei

n+i

n

à des termes

_{négligeables}

_près,

_{l’égalité}

des dérivées normales. Cette vérification se fait

sans difficulté. Elle montre

_qu’il

faut exclure un

_petit

intervalle au

_voisinage

_de

= 1.

Cet intervalle sera d’autant

_{plus petit}

_{que p} sera

_{plus grand.}

Indices voisins ou

_supérieurs

_{2t p.} - La méthode de col _nous conduit à

adopter

pour

et R(2) des

_{expressions prises}

au

_voisinage

d’une même valeur de la variable

_complexe

d’intégration

et en ce

_point,

un calcul

_simple

montre _{que les}

_déphasages

sont nuls. Les

on

s’annulent

_tous,

ce _que laissait

_prévoir

le résultat obtenu par

_Debye.

Conclusion. - _{Si fi} est

_grand

et

z

est

_petit

_{l’expression}

du

_déphasage

en

fonction. Conclusion.

_{2013 Si p est}

_grand

et

P

est petit

l’expression

du

_déphasage

en fonction

de l’indice n sera donnée

asymptotiquement

par

Fig. 2.

La dérivée de

_log

La fonction It décroît de

+

oo à 0

La fonction I décroît

depuis

la

valeur -

_{Iog 2}

_{p jusqu’à}

la valeur

Z

_log

p (pour n

=

La

p

p

a PJ

2 P dérivée à

_l’origine

est infinie.

On a donc l’allure

_{indiquée figure}

2.

Lorsque p

croît. 10 La fonction II

_{représentera}

les p dans un interyalle

_qui

se

rappro-chera de

_plus

en

_plus

des

extrémités

= 0 i.

~° Le

_déphasage

maximum,

qui

est voisin

de 1

log p

tend vers 0. Flux total diffusé. - Il est donné par

l’expression

(1)

si les 1 sont assez

_petits

pour être

_remplacés

par les sinus ou bien

en

écrivant ai:

_{pour on}

et

et en

_posant

avec

L’intervalle

correspondant

à 1 tendra vers 0 _{si p} -~ 00 et on _{pourra écrire}

asymptoti-quement

avec

e est donc un facteur

numérique

déterminé.

Distribution

_angulaire

du flux diffusé. - Nous _avons

montré que le flux

_diffusé,

compris

entre les cônes d’ouverture

01

et

02

(6

~ 0 est la direction de

_propagation

des

électrons)

est donné _par

739

Z2

assimilons les sinus aux arcs et mettons en

facteur 2

II vient

_après

_{simplifications.}

p

p

ayant

la même

signification qu’au

dernier

paragraphe.

On

_peut

évaluer 2

_{(2 n}

₊

_{1) q}

_Pn

à l’aide de la transformation d’Abel

_(~);

il viendra

Comme

Plrz

_{(cos 0)}

pour de

grandes n, p

étant un

_angle

consy

-tant.

_Adoptons

pour les cpn les

expressions (I)

et sommons de n = 0

_{à n == 00;}

comme

on a une série

convergente

partout,

sauf aux

_voisinages

de 0 == 0 et

~ _ ~. Nous avons démontré que la somme de cette

série,

est

_égale

à

démonstration fait intervenir à nouveau la transformation

d’Abel,

et de

_plus

la formule de

Heine,

pour le

développement

en

_polynômes

de

_Legendre

des fonctions de la forme

..

Nous passerons cette démonstration

ici.)

Ainsi la formule en

_exige:

-.

1° _{que p} soit Cette deuxième

_hypothèse

est nécessaire _pour

_{qu’on puisse}

remplacer

les sin

_(In

-

On’)

par

(ôn

-

On’)

et pour

qu’on

puisse développer

r

La formule de Born est bien valable

_{asymptotiquement}

et il _{n’est pas nécessaire de calculer}

l’approximation

suivante pour connaitre sa limite de validité : Il suffit de savoir

_jusqu’à

quel

terme on

_peut

_appliquer

les formules 1 et

_quel

sera le reste

_{correspondant}

de la série

_(’)

_{pour les diverses valeurs de}

_l’angle

6

_(1).

On voit de

_{plus qu’en}

_posant

r = _ca,

rien ne serait

_changé

à

_{l’expression}

du flux diffusé latéralement.

La presque totalité du flux diffusé est

comprise

dans un

_petit

cône entourant l’axe 6 =

0,

ce

_{qui correspond}

au fait intuitif

_qu’un

_pinceau

d’électrons de

_plus

en

_plus

_rapides

est de moins en moins déformé.

REMARQUE.

- Il _ne faut

pas confondre ce

_{problème (r}

= a,

champ perturbateur

limité)

avec celui traité par

Gordon,

Sommerfeld et où le

_champ

est illimité. Alors r est

(1) Voir _Lebesgue, Leçons sur les séries

_{trigonométriques,}

Gauthier-Villars _{1906, p.} 38 et suiv.

(2) Il faut étudier le reste de la série et le reste de S. _{Lorsqu’on porte} dans S les valeurs (II)

pour les çn, il apparait une difficulté au _voisinage de n =

p. On ne _peut pas donner de limite supérieure

du reste. Cette difficulté tient à la discontinuité de potentiel artificiellement introduit, et _disparaît

.00 ,

K étant

_quelconque.

Les

_{déphasages peuvent}

devenir infinis et le

_problème

est

complè-tement différent.

En

_terminant,

nous remercions infiniment M. L. de

Broglie qui,

_par son aide

constante,

nous a

_permis

de _pousser ce travail

_jusqu’au

bout.

Manuscrit reçu le 3 octobre 1933.

Erratum au dernier article.

Enfin,

page

322, ligne

8,

il est inexact de dire _que le flux

i sin 8

de devient très _{faible pour les}

_angles

_{différents de zéro. Il y} a bien une accumulation du flux suivant fJ - 0 et 0 = _7t, mais pour les autres valeurs de

_6,

le flux varie _{comme n cos 0.} On _{le voit} en utilisant les

_{expressions asymptotiques}

des

_polynômes

de

_Legendre

_{valables pour de}