1
Exercice 1
Soit f une fonction de IR vers IR.
Determiner l’ensemble de definition de f dans chacun des cas suivants : a) f(x) = 2|x|; b) f(x) = x2 2x
c) f(x)=
1 x
x
; d)f(x)=
x x1 Exercice 2
Soit la représentation graphique de la fonction f (x)x2
1) Dresser le tableau de variations de f.
2) Déterminer graphiquement le minimum de f
3) a)Résoudre graphiquement f (x) 1 ;f (x)4; f(x) < -1 b) Retrouver chaque résultat par le calcul
4) Soit la droite D d’équation g(x) x 2
a) Tracer D
b) Résoudre graphiquement f(x)=g(x) c) Retrouver le résultat par le calcul d) Résoudre graphiquement f(x)>g(x) Exercice 3
Soit la fonction :f (x) = x (1 – x)
1)Déterminer le domaine de définition de f 2)Montrer que f(x) 1
4
3)En déduire que f admet un maximum en 1
2
4)Vérifier l'égalité f (x) = 2
2 x 1 4
1
5)En déduire le sens de variation de f sur
, 2 sur 1 et 2 ,1
6)Dresser le tableau de variations.
Exercice 4
Soit le tableau de variations d’une fonction f.
x -5 -3 0 4 6
f(x) 4 5
-2 -3 1
2
1)Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elles sont vraies, fausses.
a) f (-4) < f (-3). b) f(-2) >f(-1)
c) f (-4) < f (4) d) f (-4) < f (0).
e) Le minimum de f sur [-5 ; 6] est-3. f) Le maximum de f sur [- 5 ; 2] est 5.
2) On suppose que la restriction de chaque intervalle représente une fonction affine, tracer f 3) Déterminer le nombre de solution tel que f(x)=0
Exercice 5 f (x) =
1 x
1 2x
1) Quel est l'ensemble de définition D de f ? 2) Vérifier l'égalité f (x) = 2 –
1 1 x
3) En déduire le sens de variation de f sur ,1et sur 1, Exercice 6
Soit f et g les fonctions définies par f(x) x1 et g(x) |x|1. a) Tracer la courbe de f
b) Montrer que f et g ont la même courbe représentative sur [0,+ ∞ [.
c) Montrer que g est une fonction paire.
d) Tracer alors la courbe de g.
3
Correction Exercice 1
a) f(x) = 2|x|
il faut que 2|x|0 donc 2|x| donc 2 x 2 Df=
2,2
b) f(x) = x22x il faut que x2+2x0 donc x(x+2) 0
x - 2 0
x - - 0 +
x+2 - 0 + 0 +
P + 0 - 0 +
Donc 𝐷𝑓 =
-,-2
0,
c) f(x)= 1 x x il faut que x0 et x10 𝐷𝑓 =
0,
\ 1 d) f(x)= x x1 = x 1 x x2 = x 1 x2 x - 1 0 1 x2-1 + 0 - - 0 +
x - - 0 + +
Q - 0 + - +
Donc 𝐷𝑓 =
1,0
1.
Exercice2 1) x - 0 f(x) 0
4
2) f admet 0 comme minimum 3) a)
Graphiquement f (x) 1 est l’ensemble des points de
f situés au-dessus de la droite d’équation y=1
SIR ] , 1] [1, [
Graphiquement f (x)4est l’ensemble des points de f
situés au-dessous de la droite d’équation y=4
SIR [ 2, 2]
Graphiquement il n’y a pas aucun point tel que
f (x) 1 donc SIR
b)
f (x) 1 x2 1 0 (x 1)(x 1) 0 x - 1 1
(x+1)(x-1) + 0 - 0 +
SIR ] , 1] [1, [
f (x) 4 x2 4 0 (x2)(x 2) 0
x - -2 2
(x+2)(x-2) + 0 - 0 +
SIR [ 2, 2]
f (x) 1 x2 1 0 impossible
SIR
4)a)
b)Graphiquement f(x)=g(x) pour x=-1 ou x=2 c) f (x)g(x)x2 x 2 x2 x 2 0
a b c 0 donc x ' 1 ; x '' ( 2) 2 1
x2 x 2 0
5
x - 1 2 x2 x 2 + 0 - 0 +
SIR ] , 1[ ]2, [
Exercice 3 1) Df IR
2)f(x)- 1
4=x(1-x)- 1
4= x-x2-1
4= -x2+x-1
4=-(x- 1
2)2 0 donc f(x) 1 4
3) f(x) 1
4 ; f ( )1 1
2 4 donc f admet un maximum en 1
2
4) f (x) = 2
2 x 1 4
1
2 x x(1 x)
4 x x 1 x2 4 2 1 2 x 1 4
1
5)
Soit a et b deux réels tel que tel que
2 b 1 a
2 b 1
a alors 0
2 b 1 2
a1 donc 2 )2
2 b 1 ( 2) a 1
( donc 2 )2
2 b 1 ( 2)
a 1
(
donc
2
2 )
2 b 1 4 ( ) 1 2 a 1 4 (
1 donc f(a)f(b)alors f est croissante sur
2 ,1
Soit a et b deux réels tel que tel que a b 2
1
alors
2 b 1 2 a 1
0 donc 2 )2
2 b 1 ( 2) a 1
( donc 2 )2
2 b 1 ( 2)
a 1
(
donc
2
2 )
2 b 1 4 ( ) 1 2 a 1 4 (
1 donc f(a)f(b)alors f est décroissante sur
, 2 1
6)
x -
2
1
f(x)
4 1
Exercice 4 1)
a) f (-4) < f (-3) V b) f(-2) >f(-1) V c) f (-4) < f (4) V d) f (-4) < f (0). F
e) Le minimum de f sur [-5 ; 6] est-3. V f) Le maximum de f sur [- 5 ; 2] est 5.F
6
2)
3) On cherche le nombre d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses graphiquement on a 3 solution.
Exercice 5
1// x 1
1 x ) 2 x (
f
il faut que x10 Df=\ 1
2/ f (x) = 2 –
1 1 x =
1 x
1 x 2 1 x
1 2 x 2 1 x
1 1 x
) 1 x ( 2
3/*Soit a et b deux réels tel que tel que ab1 1
b
a alors a1b10 donc
1 b
1 1 a
1
donc
1 b
1 1
a 1
donc
) b ( f ) a (
f alors f est croissante sur ,1
/*Soit a et b deux réels tel que tel que 1ab b
a 1
alors a1b1 donc
1 b
1 1 a
1
donc
1 b
1 1
a 1
donc
1 b 2 1 1 a 2 1
) b ( f ) a (
f alors f est croissante sur 1, 3/
x - -1
f(x)
Exercice 6
a/
Traçage de f :
Df [1,[
Tableau de valeur
7
x -1 0 1 2 3
f(x) 0 1 1.41 1.7 2
b/g(x) |x|1
Si x0alors g(x) |x|1 x1f(x)
c/
La fonction g est définie sur IR
g(x) |x|1 |x|1g(x)
donc la fonction g est pair d/
Traçage de g
Df IR
Si x appartient à [0,[ g(x)=f(x) (on garde la même courbe de f)
Si x appartient à],0[ g(x) est la symétrie de f par rapport à la droite x=0
